高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第三节。格林公式及其应用自 ◎准备知识 ●格林公式 典型例题分析 格林公式在积分学中的地 Http://www.heut.edu.cn
第三节 格林公式及其应用（1） 准备知识 格林公式在积分学中的地位 格林公式 典型例题分析
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 准备知识 (1)区域连通性的分类 设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围 成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域 D D 单连通区域 复连通区域 Http://www.heut.edu.cn
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围 成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域. 单连通区域 复连通区域 D D （1）区域连通性的分类 一、准备知识
高数课程妥媒血课件 理工大理>> 特别地—简单区域[X一型] 积分区域为:a≤x≤b,q1(x)sy≤q2(x) =φ2(x) y=92(x) D y=P,(r) y=q,(r) 其中函数q1(x)、q2(x)在区间[a,b上连续 X型区域的特点:穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点 Http://www.heut.edu.cn
积分区域为： a x b, ( ) ( ). 1 x y 2 x 其中函数 ( ) 、 在区间 上连续. 1 x ( ) 2 x [a,b] ［X－型］ ( ) 2 y = x a b D ( ) 1 y = x D a b ( ) 2 y = x ( ) 1 y = x X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点. 特别地——简单区域
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> LY一型 积分区域为:c≤y≤d,q(y)sxs2(y) x=p,() q2(y) x=(p2(y) 其中函数q(y)、q2(y)在区间le,上连续 Y型区域的特点:穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点 Http://www.heut.edu.cn
积分区域为： c y d, ( ) ( ). 1 2 y x y ［Y－型］ ( ) 2 x = y ( ) 1 x = y D c d c d ( ) 2 x = y ( ) 1 x = y D 其中函数 1 ( y) 、 在区间 上连续. ( y) 2 [c, d] Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 设空间区域G,如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G,则称G是空间二维单连通域; 如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面,则称G为空间一维单连通区域 G G 一维单连通 维单连通 维不连通 二维单连通 二维不连通二维单连通 Http://www.heut.edu.cn
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域; 如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域. G G G 一维单连通 二维单连通 一维单连通 二维不连通 一维不连通 二维单连通
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> (2)閉区域D的这界C的正向 D D L由L1与L2连成 L由L1与L2组成 边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区 域D总在他的左边 Http://www.heut.edu.cn
（2）闭区域D的边界C的正向 L由L1与L2连成 L由L1与L2组成 边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区 域D总在他的左边. L2 D L1 L2 L1 D
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、格林公式 设闭区域D由分段光滑的曲线围 成,函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连 续偏导数,则有 00 aP )dxdy=t Pdx+ody (1) ax ay L 其中L是D的取正向的边界曲线, 公式(1)叫做格林公式 Http://www.heut.edu.cn
设闭区域D由分段光滑的曲线L 围 成,函数P(x, y)及Q(x, y)在D上具有一阶连 续偏导数, 则有 = + − L D dxdy Pdx Qdy y P x Q ( ) (1) 其中L是D的取正向的边界曲线, 公式(1)叫做格林公式. 定 理 二、格林公式
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 证明(1) B2(x) 若区域D既是X-型x=v B 又是Y-型,即平行于 坐标轴的直线和L至 xiv() 多交于两点 Cy=p(r) a D={(x,y)1(x)≤y≤q2(x),a≤x≤b} D={(x,y)1(y)≤x≤v2(y),c≤y≤l} Http://www.heut.edu.cn
{( , ) ( ) ( ), } D = x y 1 x y 2 x a x b 证明(1) 若区域 D既是 X − 型 又是 Y − 型,即平行于 坐标轴的直线和L 至 多交于两点. {( , ) ( ) ( ), } D = x y 1 y x 2 y c y d y x o a b D cd ( ) y = 1 x ( ) y = 2 x A B C E ( ) 2 x = y ( ) 1 x = y
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 00 v2()00 2dx ax Vi(y) ax d d 2(v2(), y)dy- 2(v,(), y)dy =l2(xyy-」c29(x,y)h VIlJ Q(x,y)dy+ 2(x, y)do CBE x=y2(y) o(, y)dy 丿L aP 同理可证 dxdy=k, P(x,y)dx Http://www.heut.edu.cn
dx xQ dxdy dy xQ yy dc D = ( ) ( ) 21 = − dc dc Q( ( y), y)dy Q( ( y), y)dy 2 1 = − CBE CAE Q(x, y)dy Q(x, y)dy = + CBE EAC Q(x, y)dy Q(x, y)dy = L Q ( x, y )dy 同理可证 = − L D dxdy P x y dx yP ( , ) y x od ( ) 2 x = y D c CE ( ) 1 x = y
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 两式相加得 00 aP dcy=,Pdx+Q小 证明(2) D, Ly 若区域D由按段光 滑的闭曲线围成.如图, D 将D分成三个既是X一型又是A Y一型的区域D;D2,D3 00 aP 00 aP Ddxdy= )dxdy ax a D1+D2+D3 ax a Http://www.heut.edu.cn
若区域 D由按段光 滑的闭曲线围成.如图, 证明(2) L L1 L2 L3 D D 1 D 2 D 3 两式相加得 = + − L D dxdy Pdx Qdy yP xQ ( ) 将D分成三个既是X −型又是 Y −型的区域D1 ,D2 ,D3 . + + − = − 1 2 3 ( ) ( ) D D D D dxdy yP xQ dxdy yP xQ