第二节导数的运算 一、案例 ■二、概念和公式的引出 进一步练习 click Here
第二节 导数的运算 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步练习
、案例[气球体积关于半径的变化率] 现将一气体注入某一球状气球,假定气体的 压力不变.问当半径为2cm时,气球的体积关于 半径的增加率是多少? 解气球的体积半径之间的函数关系为 3 气球的体积关于半径的变化率为 dr=lim 4p d △→>0△ 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回
一、案例[气球体积关于半径的变化率] 现将一气体注入某一球状气球，假定气体的 解 气球的体积V与半径r之间的函数关系为 3 3 4 V = r 气球的体积关于半径的变化率为 r V r V r = →0 lim d d 半径的增加率是多少？ 压力不变．问当半径为2cm时，气球的体积关于
其中△ 4-34 丌(r+△r)3-mr3=(r+Ar)3 丌(3r2△r+3Ar2+△3) d △ 丌(3r2△r+37Ay2+△y3) 所以 lim lim d △r→>0 △ △r =4m 半径为2cm时气球的体积关于半径的变化率为 dv d-1=2=4x×22=16丌≈503(cm) 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回
其中 所以 2 = 4r 半径为2cm时气球的体积关于半径的变化率为 4 4 3 3 ( ) 3 3 = + − V r r r 4 3 3 [( ) ] 3 = + − r r r 4 2 2 3 (3 3 ) 3 = + + r r r r r r V r V r = →0 lim d d 2 2 3 0 4 (3 3 ) 3 lim r r r r r r r → + + = 2 2 d 4 2 16 50.3 d r V r = = = (cm)
→二、概念和公式的引出 1、基本初等函数的求导公式 sInd COSx (cos x) -1 tan x sec x cot x sec x tan x a a In a (csc x) csc x cot x (log x) (arcsinx arccos x (arctan x) (arc cot 1+x 高等应用数学CAⅠ电子教案 土页压页回
二、 概念和公式的引出 (c) = 0 (sin x) cos x = (cos x) sin x = − ( x) x 2 tan = sec ( x) x 2 cot = −csc (sec x) = sec x tan x (csc x) = −csc x cot x ( ) −1 = x x (a ) a a x x = ln (e ) e x x = ( ) x a a x ln 1 log = ( ) x x 1 ln = (arcsin x) x = − 1 1 2 ( ) 2 1 1 arccos x x − = − ( ) 2 1 1 arctan x x + = ( ) 2 1 1 arc cot x x + = − 1、基本初等函数的求导公式
2、函数的和、差、积、商的求导法贝 设l=u(x),=v(x)都是的可导函数,则 Z±1 (cz)=ct(c为常数) (uv)=u'v+uv u v-uv (其中v≠0) 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回
2、 函数的和、差、积、商的求导法则 设u=u(x) , v=v(x)都是的可导函数，则 (u v) u v = (cu) = cu (c为常数) (uv) u v uv = + （其中 v 0 u v u v uv v = − 2 ）
3、复合函数的求导法贝 设y=f(u),l=(x)y=f(x可导,则 复合函数的导数为 dy du 或 dx du dx {f[(x)]}=f[q(x)]e(x) 此法则又称为复合函数求导的链式法则 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回
3、复合函数的求导法则 { [ ( )]} [ ( )] ( ) f x f x x = 此法则又称为复合函数求导的链式法则． 设 y = f (u)，u = (x) y = f[(x)] 可导，则 d d d d d d y y u x u x 复合函数的导数为 = 或
进一步练习 练习1[电流电路中某点处的电流是通过该点处的 电量q关于时间的瞬时变化率,如果一电路中的电量为 q()=t+ (1)求其电流函数(t)? (2)3时的电流是多少? 3)什么时候电流为28? 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回
三、进一步练习 练习1 [电流]电路中某点处的电流i是通过该点处的 (1)求其电流函数i(t) ？ (2)t=3时的电流是多少？ (3) 什么时候电流为28？ 电量q关于时间的瞬时变化率，如果一电路中的电量为 q t = t +t 3 ( )
解()0()d=(2+)=(ry+() =3t2+1 (2)(3)=(312+1)3=3×32+1=28 (3)解方程i(t)=3t2+1=28得t=3 即当t=3i()=28 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回
解 d ( ) d q i t t (1) = = ( 3 t t + ) 3 = + （ ) t t ( ) 2 = + 3 1 t (2) 2 3 (3 1) t t + = i(3) = 2 = + = 3 3 1 28 (3) 解方程 2 i(t) = 3 1 28 t + = 得 t = 3 即当 t = 3 i t( ) 28 =
练习2[速度]已知某物体做直线运动,路程(单位:m) 与时间单位:s)的关系为s=(t2+1)(t+1),求物体在 t=35时的速度? 解物体运动的速度为 乘积的求导 法则 ds =d+(2+X+1)=(+1(+)+2+)(+y =3t2+2t+1 l3=3=(32+2+1)=3=3×9+2×3+1=34 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回
练习2 [速度]已知某物体做直线运动，路程(单位:m) 与时间t(单位:s)的关系为 2 s t t = + + ( 1)( 1) ，求物体在 解 物体运动的速度为 d d s v t = = 2 [( 1)( 1)] t t + + 2 2 = + + + + + ( 1) ( 1) ( 1)( 1) t t t t 2 = + + 3 2 1 t t 乘积的求导 法则 t = 3 s时的速度？ 3 3 d d t t s v t = = = 2 3 (3 2 1) t t t = + + = = + + 3 9 2 3 1= 34
练习3[电压的变化率]一个电阻为39,可变电阻 R为的电路中的电压由下式给出: 6R+25 R+3 求在R=79时电压关于可变电阻R的变化率 解电压关于可变电阻R的变化率为商的求导 、6R+25,6(R+3)-(6R+25) R+3 (R+3)2 (R+3) 在R=79时电压关于可变电阻R的变化率为 0.07 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回
R为的电路中的电压由下式给出： 3 6 25 + + = R R V 解电压V关于可变电阻R的变化率为： 2 6 25 6 3 3 3 R R R V R R + + + = = + + （ ）-（6 25） （ ） （ ） 2 R 3 = + -7 （ ） 商的求导 法则 在 R = 7 时电压关于可变电阻R的变化率为： 7 2 7 0.07 10 V R= = − = − 练习3 [电压的变化率] 一个电阻为 3 ，可变电阻 求在 R = 7 时电压关于可变电阻R的变化率．