高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第二节对 ●问题的提出 ◎对坐标曲线积分的概念 ◎对坐标曲线积分的计算 Http://www.heut.edu.cn
第二节 对坐标的曲线积分 问题的提出 对坐标曲线积分的概念 对坐标曲线积分的计算
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 问题的提出 B M 实例变力沿曲线所作的功 △ L:A→B, M山 A F(x, y)=P(x,y)i+o(c,y)jo 常力所作的功W=FAB 分割A=M,M1(x1,y),…,Mn1(xn1,yn,Mn=B M;=1M1=(△x)i+(4y) Http://www.heut.edu.cn
o x y A B L Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 i x i 变力沿曲线所作的功 y L: A → B, F x y P x y i Q x y j ( , ) = ( , ) + ( , ) 常力所作的功 分割 , ( , ), , ( , ), . A = M0 M1 x1 y1 M n−1 x n−1 yn−1 M n = B ( ) ( ) . 1 M M x i y j i i i i − = + W = F AB. 实例 一、问题的提出
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 取F(1,m)=P(1,m)+Q(;,m;)j, F(5,1) M △W≈F(5,mn)·M1M1 lAri M M 即△W≈P(51,m7)x+Q(1,m)Ay,° 求和W=∑△W 近似值 ≈∑P(5,m),Ax+Q5,m,)4;l 取极限W=m∑P(5,m),Ax1+Q(5,m)4 精确值 Http://www.heut.edu.cn
求和 [ ( , ) ( , ) ]. 1 = + ni i i i i i i P x Q y 取极限 lim [ ( , ) ( , ) ]. 1 0 = → = + ni i i i i i i W P x Q y 近似值 精确值 F( , ) P( , )i Q( , ) j, i i i i i i 取 = + ( , ) , Wi F i i Mi−1Mi ( , ) ( , ) . i i i i i i i 即 W P x + Q y = = ni W Wi 1 o x y A B L Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) F i i xi i y
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、对坐标曲线积分的概念 设L为xoy面内从点4到点B的一条有 向光滑曲线弧函数P(x,y,Q(x,y)在L 上有界.用L上的点M1(x1,y1),M2(x2,y2), ,Mn1(xn1,yn1)把L分成n个有向小弧段 1=1M;(=1,2,…,n;M0=A,Mn=B) 设Ax;=x2-x11,△y1=y2-y11,点(1,n;)为 M1M2上任意取定的点如果当各小弧段 长度的最大值→0时, Http://www.heut.edu.cn
0 , . , , ( , ) ( 1,2, , ; , ). , ( , ) . ( , ), ( , ), , ( , ), ( , ) 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 长度的最大值 时 上任意取定的点 如果当各小弧段 设 点 为 把 分 成 个有向小弧段 上有界 用 上的点 向光滑曲线弧 函 数 在 设 为 面内从点 到 点 的一条有 → = − = − = = = − − − − − − − i i i i i i i i i i i i n n n n M M x x x y y y M M i n M A M B M x y L n L M x y M x y P x y Q x y L L xoy A B 定义1 二、对坐标曲线积分的概念
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> ∑P(5,m)Ax的极限存在,则称此极限为函 i=1 数P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线 积分(或称第二类曲线积分),记作 P(x,y)dx=lim∑P(5,m)△ L ->0 类似地定义Q(x,y)=lim∑Q(5,m)y ->0 其中P(x,y),Q(x,y)叫做被积函数,L叫积分弧段 Http://www.heut.edu.cn
( , ) lim ( , ) . ( , ( , ) ( , ) , 1 0 1 i i n i i L n i i i i P x y dx P x P x y L x P x = = → = 积分 或称第二类曲线积分） 记作 数 在有向曲线弧 上对坐标 的曲线 的极限存在 则称此极限为函 类似地定义 ( , ) lim ( , ) . 1 0 i i n i i L Q x y dy = Q y = → 其中P(x, y), Q(x, y)叫做被积函数, L叫积分弧段
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 2.存在条件: 当P(x,y),Q(x,y)在光滑曲线弧 上连续时,第二类曲线积分存在 3.组合形式 P(x,yd+』(xyp LP(x, y)dx+O(x,y)dy=F ds 其中F=P+c,d=xi+ Http://www.heut.edu.cn
上连续时 第二类曲线积分存在 当 在光滑曲线弧 , P(x, y), Q(x, y) L = + + L L L P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) F Pi Qj, ds dxi dyj. 其中 = + = + . = L F ds 2. 存在条件： 3. 组合形式
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 4.推广 空间有向曲线弧rgP++Rd P(x,y,z)=im∑P(5,,5△x ->0 i=1 rO(,, )dy=lim 2e(s, ni, S: )4y R(x, y, 4) m∑R 入→>0 ig,)vi i=1 Http://www.heut.edu.cn
空间有向曲线弧 ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i P x y z dx = P i x = → . Pdx + Qdy + Rdz ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i i Q x y z dy = Q y = → ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i i R x y z dz = R z = → 4. 推广
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 5.推广 (1)如果把L分成L和L2,则 S Pdx+Ody=L, Pdx +edy+Pdx+ody (2)设L是有向曲线弧,L是与L方向相反的 有向曲线弧,则 ∫,P(x,y)x+(x,y)=-P(x,y)+g(x,y) 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关 Http://www.heut.edu.cn
. (1) , 1 2 1 2 + = + + + L L L Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy 如果把L分成L 和L 则 有向曲线弧 则 设 是有向曲线弧 是 与 方向相反的 , (2) L ,−L L 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. + = − + −L L P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy 5. 推广
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 三、对坐标曲绲积分的计箕 定理设P(x,y,Q(x,y)在曲线弧上有定义且连 续,的参数方程 x=o(t), 当参数单调地由a变 y=y(t), 到∫时,点M(x,y)从L的起点4沿L运动到终点B, q(t),v(t)在以a及为端点的闭区间上具有阶连 续导数且g2()+y2(1)≠0,则曲线积分 P(x,y)dx+Q(x,y)d存在, Http://www.heut.edu.cn
( , ) ( , ) , , ( ) ( ) 0, ( ), ( ) , ( , ) , ( ), ( ), , ( , ), ( , ) 2 2 存 在 续导数 且 则曲线积分 在 以 及 为端点的闭区间上具有一阶连 到 时 点 从 的起点 沿 运动到终点 续 的参数方程为 当参数 单调地由 变 设 在曲线弧 上有定义且连 + + = = L P x y dx Q x y dy t t t t M x y L A L B t y t x t L P x y Q x y L 定 理 三、对坐标曲线积分的计算
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 且P(x,y)dx+Q(x,y) L ={Pp(,v()m'(t)+Q|m(),v()wy()t 特殊情形 (1)L:y=y(x)x起点为a,终点为b 则「PQ={Px,y(x)+Qx,y(x)y(x) L (2)L:x=x(y)y起点为c,终点为l 则∫Pd+Qb=Px,y()+Qx(y2y小 Http://www.heut.edu.cn
P t t t Q t t t dt P x y dx Q x y dy L { [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( )} ( , ) ( , ) = + + 且 (1) L : y = y(x) x起点为a，终点为b. Pdx Qdy {P[x, y(x)] Q[x, y(x)]y (x)}dx. b L a 则 + = + (2) L : x = x( y) y起点为c，终点为d. Pdx Qdy {P[x( y), y]x ( y) Q[x( y), y]}dy. d L c 则 + = + 特殊情形