高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 第三章中值定理与导数的应用 ⊙中值定理 ⊙函数的极值及其求法 罗比达法则 ⊙最大值最小值问题 泰勒中值定理 ⊙曲线的凹凸与拐点 函数单调性的判定法函数图形的描绘 H tt p /www.heut.edu
第三章 中值定理与导数的应用 中值定理 罗比达法则 泰勒中值定理 函数单调性的判定法 函数的极值及其求法 最大值最小值问题 曲线的凹凸与拐点 函数图形的描绘
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 第一节 中理 罗尔定理 批格朗日定理 柯西定理 H tt p /www.heut.edu
第一节 中值定理 罗尔定理 拉格朗日定理 柯西定理
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 罗尔(Role定理 罗尔(Role)定理 定理:设(1)函数f(x)在闭区间[a,b连续, (2)在开区间(a,b)内可导, (3)f(a)=∫(b 则在(a,b)内至少有一点号(a<2<b) 使得函数∫(x)在该点的导数等于零, 即(5)=0 H tt p /www.heut.edu
定理：设 (1) 函数 在闭区间 连续, （2）在开区间 内可导, （3） f (x) [a,b] (a,b) f (a) = f (b) 则在(a,b)内至少有一点(a b), 使得函数 f (x)在该点的导数等于零， 即 ( ) 0 ' f = 罗尔（Rolle）定理 一、罗尔(Rolle)定理
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 例如,∫(x)=x2-2x-3=(x-3)x+ 在[-1,3上连续,在(-1,3)上可导,且f(-1)=f(3)=0 f(x)=2(x-1),取ξ=1,(1∈(-1,3)f(2)=0 H tt p /www.heut.edu
例如, ( ) 2 3 2 f x = x − x − = (x − 3)(x + 1). 在[−1,3]上连续, 在(−1,3)上可导, 且 f (−1) = f (3) = 0, f (x) = 2(x −1), 取 = 1, (1(−1,3)) f () = 0
高数学课趕媒课件 北理工大理等>> 几何解释: f(x 在曲线弧AB上至少有 点C,在该点处的切线是 水平的 a51 2 物理解释: 变速直线运动在折 返点处,瞬时速度等 于零 点击图片任意处播放暂停 H tt p /www.heut.edu
点击图片任意处播放\暂停 变速直线运动在折 返点处,瞬时速度等 于零. a 1 2 b x y o y = f (x) . , 水平的 点 在该点处的切线是 在曲线弧 上至少有一 C AB C 几何解释: 物理解释:
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 证∵f(x)在a,b连续,必有最大值M和最小值m (1)若M=m.则∫(x)=M 由此得f(x)=0.V号∈(a,b),都有∫'(ξ)=0. (2)若M≠m.∵f(a)=∫(b), 最值不可能同时在端点取得 设M≠∫(a), 则在(a,b)内至少存在一点ξ使f(4)=M f(5+△x)≤f(ξ),∴∫(ξ+△x)-f(ξ)≤0, H tt p /www.heut.edu
证 (1) 若 M = m. f (x) 在[a,b]连续, 必有最大值 M 和最小值 m. 则 f (x) = M. 由此得 f (x) = 0. (a,b), 都有 f () = 0. (2) 若 M m. f (a) = f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a), 则在 (a,b)内至少存在一点 使 f ( ) = M. f ( + x) f (), f ( + x) − f () 0
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 若Ax>0,则有f(5+Ax)-f()≤0 △x 若△x-0 △x ∫()=Jim∫(ξ+Ax)-f(5) ≤0;∵∫(ξ)存在, △v ∫"(ξ)=∫() 只有∫'(2)=0 H tt p /www.heut.edu
若 x 0, 0; ( ) ( ) + − x f x f 则有 若 x 0, 0; ( ) ( ) + − x f x f 则有 0; ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = →− − x f x f f x 0; ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = →+ + x f x f f x f ()存在, () = (). − + f f 只有 f () = 0
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 注意若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论 可能不成立 例如,y=x,x∈[-2,2l; 在[-2,2上除f'(0)不存在外,满足罗尔定理的 切条件但在内找不到一点能使f(x)=0 又例如, y=1-x,x∈(0,1,f(0)=0; y=x,x∈[0,1 H tt p /www.heut.edu
若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论 可能不成立. 例如, y = x , x[−2,2]; , [ 2,2] (0) , 一切条件 在 − 上除f 不存在外 满足罗尔定理的 但在内找不到一点能使f (x) = 0. y = 1− x, x(0,1], f (0) = 0; y = x, x[0,1]. 又例如, 注意
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 例1证明方程x3-5x+1=0有且仅有一个小于 1的正实根 证设r(x=x-5x+1,则f(x)在0,1连续, 且∫(0)=1,∫(1)=-3 由介值定理 彐x0∈(0,1),使f(x0)=0.即为方程的小于1的正实根 设另有x1∈(0,1),x1≠x0,使∫(x1)=0. f(x)在x0,x1之间满足罗尔定理的条件, 至少存在一个5(在x0,x1之间),使得f(ξ)=0 但∫(x)=5(x4-1)<0,(x∈(0,1)矛盾,为唯一实根 H tt p /www.heut.edu
例1 1 . 5 1 0 5 的正实根 证明方程 x − x + = 有且仅有一个小于 证 ( ) 5 1, 5 设 f x = x − x + 则 f (x)在[0,1]连续, 且 f (0) = 1, f (1) = −3. 由介值定理 (0,1), ( ) 0. x0 使 f x0 = 即为方程的小于1的正实根. (0,1), , 设另有 x1 x1 x0 ( ) 0. 使 f x1 = ( ) , , f x 在 x0 x1 之间满足罗尔定理的条件 至少存在一个 (在 x0 , x1 之间),使得 f () = 0. ( ) 5( 1) 4 但 f x = x − 0, (x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根
高数学课趕媒课件 文工大罗理罗即> 二、拉格朗日( Lagrange)中值定理 拉格朗日( Lagrange)中值定理 理若(1)函数八x)在闭区间a,b上连续 (2)f(x)在开区间(a,b)内可导, 则在(a,b)内至少有一点(a<号<b) 使得f(b)-f(a)=f(2)(b-a) 注!与罗尔定理相比条件怯掉了f(a)=f(b) 结论亦可写成 f(b)-∫(an) f∫"(ξ) b-a H tt p /www.heut.edu
若（1）函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续, （2） f (x)在开区间(a,b)内可导, 则在(a,b)内至少有一点(a b)， 使得 ( ) ( ) ( )( ) ' f b − f a = f b − a 与罗尔定理相比条件中去掉了f (a) = f (b). ( ). ( ) ( ) = − − f b a f b f a 结论亦可写成 拉格朗日（Lagrange）中值定理 定理 注 意 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理