高算数字课程妥媒课 北理工大罗理享> 第5节无穷小与无天 无穷小 无穷大 Http://www.heut.edu.cn
第5节 无穷小与无穷大 无穷小 无穷大
高算数字课程妥媒课 北理工大罗理享> 、无穷小 1.定:极限为零的变量称为无穷小 定义1如果对于任意给定的正数(不论它多么小), 总存在正数δ(或正数X),使得对于适合不等式 0X)的一切x,对应的函数值 ∫(x)都满足不等式∫f(x)x0(或x→0)时为无穷小 记作limf(x)=0(或im∫(x)=0) H tt p:// h e u t.e d u. c n
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在正数 (或正数X ),使得对于适合不等式 − 0 x x0 (或 x X )的一切 x ,对应的函数值 f ( x)都满足不等式 f ( x) , 那末 称函数 f ( x)当 0 x → x (或x → )时为无穷小, 记作 lim ( ) 0 ( lim ( ) 0). 0 = = → → f x f x x x x 或 极限为零的变量称为无穷小. 1.定义: 一、无穷小
高算数字课程妥媒课 北理工大罗理享> 例如, lim sinx=0,函数six是当x→0时的无穷小 lim=0,∴函数是当x→时的无穷小 →0x ∵Im =0,:数列二}是当n→时的无穷小 n→0 注1.无穷小是变量不能与很小的数混涌 意情2.是可以作为无穷小的唯一的数 H tt p:// h e u t.e d u. c n
例如, limsin 0, 0 = → x x 函数sin x是当x → 0时的无穷小. 0, 1 lim = x→ x . 1 函数 是当x → 时的无穷小 x 0, ( 1) lim = − → n n n } . ( 1) 数列{ 是当 → 时的无穷小 − n n n 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 2.零是可以作为无穷小的唯一的数. 注 意
高算数字课程妥媒课 北理工大罗理享> 2.无穷小与函数极限的关条: 定理1limf(x)=A分>f(x)=A+a(x) x→x 其中a(x)是x→x时的无穷小 证必要性设im∫(x)=A,令α(x)=f(x)-A, x→x0 则有ima(x)=0,∴f(x)=A+a(x) x→x0 充分性设∫(x)=A+a(x), 其中a(x)是当x→x时的无穷小 AI lim f(x)=lim(A+a(x))=A+ lim a(x)=A x→ H tt p:// h e u t.e d u. c n
证 必要性 lim ( ) , 0 f x A x x = → 设 令 (x) = f (x) − A, lim ( ) 0, 0 = → x x x 则有 f (x) = A+ (x). 充分性 设 f (x) = A+ (x), ( ) , 其中 x 是当x → x0时的无穷小 lim ( ) lim ( ( )) 0 0 f x A x x x x x = + → → 则 lim ( ) 0 A x x x = + → = A. 1 lim ( ) ( ) ( ) 0 f x A f x A x x x = = + → 定理 ( ) . 其中 x 是x → x0时的无穷小 2. 无穷小与函数极限的关系:
高算数字课程妥媒课 北理工大罗理享> 例1证明im 0 x→01+x 证:对v>0不妨设-,<x<1则 1+x1+ ∴要使 取δ=min{ 1+x <6,只要x< 22 则0<xk<8时,有,x-0<证完 1+x Http://www.heut.edu.cn
0 1 lim 0 = → + x x x 证明 2 1 2 1 证:对 0,不妨设− x 2 1 则 x x x x x x x 2 2 1 1 1 1 = − + = + 2 , 1 + x x x 要使 只要 } 2 1 , 2 min{ 取 = 则0 x 时, 有 − 证完 + 0 1 x x 例1
高算数字课程妥媒课 北理工大罗理享> 3.无穷小的运算性质: 定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小 证设a及β是当x→>时的两个无穷小 VE>0,丑N1>0,N2>0,使得 当x>N时恒有aN时恒有BN时,恒有 士Ba+B<2+2=8,B→0(x→0) H tt p:// h e u t.e d u. c n
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 证 设及是当x → 时的两个无穷小, 0,N1 0, N2 0,使得 ; 2 1 当 x N 时恒有 ; 2 2 当 x N 时恒有 max{ , }, 取 N = N1 N2 当 x N时,恒有 + 2 2 + = , → 0 (x → ) 3. 无穷小的运算性质:
高算数字课程妥媒课 北理工大罗理享> 注 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小 意 例如n→>∞时,是无穷小, 但n个之和为不是无穷小 n 定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证设函数在U(x0,81有界, 则彐M>0,81>0,使得当0<x-x0<81时 恒有lu≤M. 又设c是当x→x时的无穷小 Http://www.heut.edu
无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 例如 时 是无穷小， n n 1 , → , 1 . 1 但 个 之和为 不是无穷小 n n 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 设函数u在U 0 (x0 ,1 )内有界， . 0, 1 0, 0 0 1 u M M x x − 恒有 则 使得当 时 , 又设是当x → x0时的无穷小 注 意
高算数字课程妥媒课 北理工大罗理享> >0,362>0使得当0<x-x<时恒有al<2 取8=min{81,682},则当0<x-x0<8时,恒有 ua=l·a<M.6=8, .当x→x时,u·a为无穷小 Http://www.heut.edu.cn
0, 0, 0 . 2 0 2 M x x 使得当 − 时恒有 min{ , }, 1 2 取 = 则当0 x − x0 时,恒有 u = u M M = , , . 当x → x0时 u 为无穷小
高算数字课程妥媒课 北理工大罗理享> 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2常数与无穷小的乘积是无穷小 推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小 例如: 当x→0时,xsin 2 x arctan 都是无穷小 H tt p:// h e u t.e d u. c n
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. x x x x x 1 , arctan 1 0 , sin : 当 时 2 例 如 → 都是无穷小
高算数字课程妥媒课 北理工大罗理享> 绝对值无限增大的变量称为无穷大 定义2如果对于任意给定的正数M(不论它多么小) 总存在正数δ(或正数X),使得对于适合不等式 0X) 的一切x,所对应的函数值∫(x)都满足不等式 ∫(x)>M 则称函数f(x)当x→x0(或x→)时为无穷大 记作 im∫(x)=(或limf(x)=∞) x→x0 x→0 H tt p:// h e u t.e d u. c n
定义 2 如果对于任意给定的正数M (不论它多么小), 总存在正数(或正数X ),使得对于适合不等式 − 0 0 x x (或 x X ) 的一切 x , 所 对 应 的 函 数 值 f ( x) 都 满 足 不等式 f ( x) M , 则称函数 f ( x)当x → x0(或x → )时为无穷大, 记作 lim ( ) ( lim ( ) ). 0 = = → → f x f x x x x 或 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 二、无穷大