第二节平面图形的面积 一、直角坐标系情形 四二、极坐标系情形 巴三、小结思考题
、直角坐标系情形 y=∫(x) J y2(x) f1(x) 0 xx+△x b x△xb 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 b A= f(rdx A=I(x)-f(xldx 上页
x y o y = f ( x) a b x y o ( ) 1 y = f x ( ) 2 y = f x a b 曲边梯形的面积 = b a A f (x)dx 曲边梯形的面积 = − b a A [ f (x) f (x)]d x 2 1 一、直角坐标系情形 x x + x xx
例1计算由两条抛物线y2=x和y=x2所围成的 图形的面积 解两曲线的交点 (0,0)(1,1) P=s 选x为积分变量x∈0,1 面积元素d4=(x-x2)dx A=LOx-xdx=i=r-t> 2 3 3 3 王页下
例 1 计算由两条抛物线 y = x 2 和 2 y = x 所围成的 图形的面积. 解 两曲线的交点 (0,0) (1,1) 面积元素 dA ( x x )dx 2 = − 选 x 为积分变量 x [0,1] A ( x x )d x 2 1 0 = − 1 0 3 3 3 2 2 3 = − x x . 3 1 = 2 y = x 2 x = y
庄例2计算由曲线y=x一6X和二所国成 的图形的面积 6x 解两曲线的交点 y=x-6x = →>(0,0),(2,4),(3,9) 选x为积分变量x∈[-2,3l (1)x∈[-2,01dA4=(x3-6x-x2)dx (2)x∈10,3,d42=(x2-x3+6x)dx 上页 圆
例 2 计算由曲线y x 6 x 3 = − 和 2 y = x 所围成 的图形的面积. 解 两曲线的交点 (0,0), (−2,4), (3,9). = = − 2 3 6 y x y x x 选 x 为积分变量 x [−2, 3] (1) x [−2, 0], d A ( x 6x x )d x 3 2 1 = − − (2) x [0,3], d A ( x x 6x)d x 2 3 2 = − + 2 y = x y x 6x 3 = −
于是所求面积A=A1+A2 A=(x'-6x-x)dx+l(x-x+6x)dx 253 12 说明:注意各积分区间上被积函数的形式 问题:积分变量只能选x吗? 上页
于是所求面积 A = A1 + A2 A (x 6x x )d x 2 0 2 3 = − − − (x x 6x)d x 2 3 3 0 + − + . 12 253 = 说明:注意各积分区间上被积函数的形式. 问题:积分变量只能选 x 吗?
例3计算由曲线y=2x和直线y=x-4所围 成的图形的面积 解两曲线的交点 y=2x J=x-4 →(2,-2,(8,4).2 y=2x 选y为积分变量 y∈|-2,44=y+4-yl A=|dA=18 上页
例 3 计算由曲线y 2 x 2 = 和直线 y = x − 4 所 围 成的图形的面积. 解 两曲线的交点 (2,−2), (8,4). = − = 4 2 2 y x y x 选 y 为积分变量 y [−2, 4] d y y d A y = + − 2 4 2 18. 4 2 = = − A dA y 2x 2 = y = x−4
如果曲边梯形的曲边为参数方程 x=o(t) y=y(t) t2 曲边梯形的面积A=∫v(tlg() tL (其中和对应曲线起点与终点的参数值) 在t121(或,1)上x=9()具有连续导数, y=v(t)连续 上页
如果曲边梯形的曲边为参数方程 = = ( ) ( ) y t x t 曲边梯形的面积 ( ) ( ) . 2 1 = t t A t t dt (其中1 t 和2 t 对应曲线起点与终点的参数值) 在[ 1 t , 2 t ]( 或[ 2 t , 1 t ])上 x = (t) 具有连续导数, y = (t)连 续
2 例4求椭圆2+2=1的面积 b x= acos t 解椭圆的参数方程 y=bint 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积 A=4 ydx=4. b sin td(a cos t) =4absin'tdt =tab 0 上页
例 4 求椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a x 的面积. 解 椭圆的参数方程 = = y b t x a t sin cos 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积. = a A ydx 0 4 = 0 2 4 b sin td(a cos t) ab tdt = 2 0 2 4 sin = ab
二、极坐标系情形 6+d6 设由曲线r=p(0)及射线 r=q(6) 0=a、6=B围成一曲边扇 6=B d 形,求其面积,这里,0() 工工工 在 a,B上连,9()≥0 面积元素d4=|l()2de°=a0 曲边扇形的面积A=l()2d0 上页
设由曲线r = ( ) 及射线 = 、 = 围成一曲边扇 形,求其面积.这里, ( ) 在 [ , ]上连续,且 ( ) 0 . o x = d = + d 面积元素 d A d 2 [ ( )] 2 1 = 曲边扇形的面积 [ ( )] . 2 1 2 A d = 二、极坐标系情形 r = ( )
例5求双纽线p=a2c0s26所围平面图形 的面积. 解由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积 4=4 A A=4 - cos 20d0=a p=a cos 28 102 圆[回 上页
例 5 求双纽线 cos 2 2 2 = a 所围平面图形 的面积. 解 由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积 1 A = 4A A a cos 2 d 2 1 4 4 0 2 = . 2 = a cos 2 2 2 = a A1