第四节几种特殊类型函数的积分 巴一、有理函数的积分 四二、三角函数有理式的积分 巴三、简单无理函数的积分 四、小结思考题
生一有理函数的积分 有理函数的定义: 两个多项式的商表示的函数称之 P(x) n ax+ax n-1 …+an-1x+a Q(x)b0x+bx"、…+b、如m 工工工 其中m、n都是非负整数;a,a1 l9·· 及 bn,b1,…,b灬都是实数,并量 0≠0,b0≠0 上页
有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之. m m m m n n n n b x b x b x b a x a x a x a Q x P x + + + + + + + + = − − − − 1 1 0 1 1 1 0 1 ( ) ( ) 其 中m 、n 都是非负整数； n a , a , , a 0 1 及 m b ,b , ,b 0 1 都是实数，并且 0 a0 ， 0 b0 . 一、有理函数的积分
假定分子与分母之间没有公因式 c(1) n<m,这有理函数是真分式 王(2)m≥m,这有理函数是假分式 利用多项式除法,假分式可以化成一个 午多项式和一个真分式之和 工工工 例 x+x十 x十 x2+1 x2+1 c难点将有理函数化为部分分式之和 上页
假定分子与分母之间没有公因式 (1) n m, 这有理函数是真分式； (2) n m, 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和. 例 1 1 2 3 + + + x x x . 1 1 2 + = + x x 难点 将有理函数化为部分分式之和
上有理函数化为部分分式之和的一般规律: (1)分母中若有因式(x-a),则分解后为 (x-) (x-0)+…+了 其中A1,A2,…,A都是常数 上特殊地:k=1,分解厉为、A; x一a 上页
（1）分母中若有因式 ，则分解后为 k (x − a) , ( ) ( ) 1 1 2 x a A x a A x a A k k k − + + − + − − 有理函数化为部分分式之和的一般规律： 其中A A Ak , , , 1 2 都是常数. 特殊地： k = 1, 分解后为 ; x a A −
(2)分母中若有因式(x2+px+q),其中 p2-4q<0则分解后为 (x+m+y×M2x+N2+“1)xt+M M,x+NI M k (x+ px+q -1 x t pxtq 工工工 其中M;,N都是常数i=12,…,k) 上特殊地:k=1,分解后为Ax+N x t px t q 上页
（2）分母中若有因式 ，其中 k (x px q) 2 + + 4 0 则分解后为 2 p − q x p x q M x N x p x q M x N x p x q M x N k k k k + + + + + + + + + + + + 2 −1 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) 其中Mi Ni , 都是常数(i = 1,2,,k) . 特殊地： k = 1, 分解后为 ; 2 x p x q Mx N + + +
真分式化为部分分式之和的待定系数法 x十 3 x+3 例1 A B x2-5x+6(x-2)x-3)x-2x-3 x+3=A(x-3)+B(x-2) x+3=(4+B)x-(3A+2B) A+B=1, A=-5 → (3A+2B)=3, B=6 x+3 5 6 = 十 x2-5x+6x-2x-3 上页
真分式化为部分分式之和的待定系数法 5 6 3 2 − + + x x x ( 2)( 3) 3 − − + = x x x , 2 − 3 + − = x B x A x + 3 = A( x − 3) + B( x − 2), x + 3 = (A + B)x − (3A + 2B), − + = + = (3 2 ) 3, 1, A B A B , 6 5 = = − B A 5 6 3 2 − + + x x x . 3 6 2 5 − + − − = x x 例1
B C 例2 十 x(x-1) x(x-1)2x-1 1=A(x-1)2+BC+(x-1)(1) 代入特殊值来确定系数A,B,C 取x=0,→A=1取x=1,→B=1 取x=2,并将A,B值代入(1)→C=-1 n=+ 2 ror 上页
2 ( 1) 1 x x− , ( 1) 1 2 − + − = + x C x B x A 1 ( 1) ( 1) (1) 2 = A x − + Bx + Cx x − 代入特殊值来确定系数 A,B,C 取 x = 0, A= 1 取 x = 1, B = 1 取 x = 2, 并将 A,B 值代入 (1) C = −1 . 1 1 ( 1) 1 1 2 − − − = + x x x 2 ( 1) 1 − x x 例2
Bx+c 例3 3(1+2x)(1+x2)1+2x1+x2 l=A(1+x)+(Bx+C(1+2x) 整理得1=(A+2B)x2+(B+2C)x+C+A, A+2B=0, 4 2 工工工 B+2C=0,→A=,B=-=,C==, 54 5 5 A+C=1, 21 (1+2x)(1+h=5 1 +5 5 )1+2x1 A12 上页
例3 . 1 5 1 5 2 1 2 5 4 2 x x x + − + + + = (1 2 )(1 ) 1 2 + x + x 1 (1 ) ( )(1 2 ), 2 = A + x + Bx +C + x 1 ( 2 ) ( 2 ) , 2 = A+ B x + B+ C x +C + A + = + = + = 1, 2 0, 2 0, A C B C A B , 5 1 , 5 2 , 5 4 A = B = − C = , 1 2 1 2 x Bx C x A + + + + = (1 2 )(1 ) 1 2 + x + x 整理得
例4求积分 dx 解 l d d d =Inx In(x-1)+C. x-1
例4 求积分 . ( 1) 1 2 d x x x − d x x x − 2 ( 1) 1 d x x x x − − − = + 1 1 ( 1) 1 1 2 d x x d x x d x x − − − = + 1 1 ( 1) 1 1 2 ln( 1) . 1 1 ln x C x x − − + − = − 解
例5求积分∫ (1+2x)(1+x 2 解 (1+2x1+k2dx= 5 5 dx+「,3a dx 1+2x 1+x 2 2x in(1+2x) dx+ . dx 5·1+x2 51+x 2 -In(1+ 2x)-=In(1 +x)+arctan x+C. 5 5 5 上页
例5 求积分 解 . (1 2 )(1 ) 1 2 + + d x x x d x x x d x x + − + + + = 2 1 5 1 5 2 1 2 5 4 + + d x (1 2 x)(1 x ) 1 2 d x x d x x x x + + + = + − 2 2 1 1 5 1 1 2 5 1 ln(1 2 ) 5 2 arctan . 5 1 ln(1 ) 5 1 ln(1 2 ) 5 2 2 = + x − + x + x + C
