Ch20重积分的计算及应用 计划课时:12时 P254294 2005.09.26. Ch20重积分的计算及应用(12时) §0二重积分概念(2时) 、矩形域上的二重积分:从曲顶柱体的体积引入.用直线网分割 定义二重积分 例1用定义计算二重积分 用直线网x=,y=,(≤,j≤n)分割该正方形,在每个正方形上取其右 n 上顶点为介点 =lim∑ =im∑∑2j= nn n =lm∑2∑/=lm1.1mn+012n+1,m+ 6 可积条件:D=[a,b;c,d].大和与小和 Th∫∈R(D),「= Th2f∈R(D),sVE>0,3T,3∑o,△a,<6 Th3∫在D上连续,→f在D上可积 Th4设[a,月c[a,b],q:[a,B→R为[a,上的可积函数 E={(x,y)y=q(x),x∈[a,B}∈D (或E={(x,y)x=(y),y∈[,川c[c,dl}∈D).若∫在D上有界 且在D\E上连续,则∫在D上可积 三、一般域上的二重积分:
Ch 2 0 重积分的计算及应用 计划课时： 1 2 时 P 254—294 2005. 09 .26. Ch 20 重积分的计算及应用 ( 1 2 时 ) § 0 二重积分概念 ( 2 时 ) 一、 矩形域上的二重积分 : 从曲顶柱体的体积引入. 用直线网分割 . 定义 二重积分 . 例 1 用定义计算二重积分 . ∫∫ ]1,0;1,0[ 2 ydx σ 用直线网 nji ),1( , , n j y n i x ≤≤== 分割该正方形 , 在每个正方形上取其右 上顶点为介点 . 解 ∫∫ ∑∑ ∑∑= = ∞→ = = ∞→ ⎟ =⋅⋅⋅ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = n i n j n n i n j n D ji nnn n j n i 1 1 2 5 1 1 2 1 lim 11 lim ∑ ∑ = ∞→ = ∞→ = + ⋅++⋅=⋅= n i n n j n nn nnn n ji 1 5 1 2 6 1 2 )1( )12)(1( 6 11 lim lim . 二. 可积条件: D = dcba ] , ; , [ . 大和与小和. Th 1 ∈ DRf )( , ⇔ . −− ∫∫ = − DD Th 2 ∈ DRf )( , ⇔ ε T , , 0 ∑ ii ∀ εσω . Th 3 f 在 D 上连续 , ⇒ f 在 D 上可积 . Th 4 设 α β ⊂ ba ] , [] , [ , ϕ α β ] , [ : → R 为 α β ] , [ 上的可积函数. = = ϕ xxyyxE α β ⊂∈ ]} , [ , )(|),( { D, ( 或 = = ϕ yyxyxE λ μ dc ]} , [] , [ , )(|),( { ⊂⊂∈ D ) . 若 在 D 上有界 , 且在 D \ f E 上连续 , 则 在f D 上可积 . 三、一般域上的二重积分：
定义:一般域上的二重积分 2.可求面积图形:用特征函数定义 例2(不可求面积图形的例) 四、二重积分的性质 性质14f=kf 性质2关于函数可加性 性质3intD1∩intD2=p,D=D∪D2.则∫在D上可积∫在D1 和D2可积,且∫=「+ 性质4关于函数单调性 性质5js∫f 性质6m≤f≤M,→m△D≤|f≤MAD 性质7中值定理 Th若区域D的边界是由有限条连续曲线(y=(x),x∈[a,b]或 x=v(y),y∈le,d])组成,∫在D上连续,则∫在D上可积 例3去掉积分「x2-yddy中的绝对值 §1二重积分的计算(6时) 化二重积分为累次积分: 1.矩形域D=[a,b]×[c,d]上的二重积分: 用“体积为幂在势上的积分”推导公式.一般结果 例3(x+y)2dxdh ), 1x0, 11 例4∫xydh 2.简单域上的二重积分:简推公式,一般结果 例5』d 解D为三角形,三个顶点为(0,0),(1,2),(2,1) d=D上=2l= 3 Ex P27 237
1．定义： 一般域上的二重积分. 2．可求面积图形: 用特征函数定义. 例 2 (不可求面积图形的例 ) 四、二重积分的性质 : 性质 1 . ∫ ∫ = D D fkkf 性质 2 关于函数可加性 . 性质 3 , intint . 1 ∩ 2 = φ ∪= DDDDD 21 则 在f D 上可积 ⇔ 在 和 可积 , 且 . f D1 D2 ∫∫∫ += 1 DDD 2 性质 4 关于函数单调性 . 性质 5 . ∫ ∫ ≤ D D ff || || 性质 6 DMfDmMfm . D Δ≤≤Δ⇒≤≤ ∫ , 性质 7 中值定理 . Th 若区域 D 的边界是由有限条连续曲线 ( = ϕ ∈ baxxy ],[ , )( 或 =ψ ∈ dcyyx ],[ , )( )组成 , f 在 D 上连续 , 则 在f D 上可积 . 例 3 去掉积分 中的绝对值 . ∫∫ − ]1,0;1,0[ 2 || dxdyyx § 1 二重积分的计算 ( 6 时 ) 一. 化二重积分为累次积分: 1．矩形域 ×= dcbaD ] , [ ] , [ 上的二重积分: 用“ 体积为幂在势上的积分”推导公式. 一般结果. 例 3 . ∫∫ × + ]1,0[]1,0[ 2 )( dxdyyx 例 4 ( 8 ) ∫∫ ]3,1;2,0[ xydxdy 2. 简单域上的二重积分: 简推公式, 一般结果. 例 5 , ∫∫ D dxdy = = + yxyxxyD = 3 , 2 , 2 : . 解 D 为三角形, 三个顶点为 ) 1 , 2 ( , ) 2 , 1 ( , ) 0 , 0 ( , ∫∫ D dxdy 2 3 112 121 100 2 1 D || == = . Ex P272. 237
16/=[xe"dxdy, D:x=0,y=l,y=x 例7求底半径为R的两直交圆柱所围立体的体积 二重积分换元 换元公式:设变换x=x1),y=y1)的0Mxy)≠0,则 a(,v) f(x,y)dxdy=If(r(u, v),y(u, v) a(x, duds a(l,) 其中D’是在该变换的逆变换u=u(x,y),v=v(x,y)下XY平面上的区域D在 U平面上的象.由条件y)≠0,这里的逆变换是存在的 a(,v) 般先引出变换=(x,y),v=v(x,y),由此求出变换 x=x(u, v ),y=y(u,,) a(x,=au, v)- a(u,v)a(x,y) 例 dxd 0,x+y=1 D 註当被积函数形如∫(a1x+by+c1,a2x+b2y+c2)(a1b2≠a2b1),积分 区域为直线型时,可试用线性变换l=a1x+by+c1,v=a2x+b2y+c2 例9「x 解设n=2,y=xy,则(n,y)∈[,2;1,3] x a(u,v) X a(,y) a(u, v) 2y 註若区域D是由两组“相似”曲线(即每组中的两条曲线仅以一个参数不同 的取值相区别)围成的四线型区域,可引进适当的变换使其变成矩形区域.设 区域D由以下两组曲线围成 第一组:F(x,y,p)=0,F(x,y,q)=0,(p<q) 238
例 6 , ∫∫ − = D y dxdyexI 2 2 = = , 1 , 0 : = xyyxD . 例 7 求底半径为 R 的两直交圆柱所围立体的体积 . 二. 二重积分换元: 1. 换元公式: 设变换 = = vuyyvuxx ),( , ),( 的 Jacobi 0 ),( ),( ≠ ∂ ∂ vu yx , 则 ( ) ∫∫ ∫∫′ ∂ ∂ = D D dudv vu yx vuyvuxfdxdyyxf ),( ),( ),( ),( , ),( , 其中 是在该变换的逆变换 D′ = = yxvvyxuu ),( , ),( 下 XY 平面上的区域 在 平面上的象. 由条件 D UV 0 ),( ),( ≠ ∂ ∂ vu yx , 这里的逆变换是存在的. 一般先引出变换 = = yxvvyxuu ),( , ),( , 由此求出变换 = = vuyyvuxx ),( , ),( .而 1 ),( ),( ),( ),( − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂ yx vu vu yx . 例 8 ∫∫ + − D yx yx dxdye , == + yxyxD = 1 , 0 , 0 : . 註 当被积函数形如 ( , ) ( ) 1221222111 ++ + + ≠ babacybxacybxaf , 积分 区域为直线型时, 可试用线性变换 111 222 = + + , = + + cybxavcybxau . 例 9 , ∫∫ dxdyyx 22 D x y x yxyxyD 3 , 1 , 2 , 2 1 : ==== . 解 设 xyv x y u , == . 则 ] 3 , 1 ; 2 , 2 1 vu ∈ [) , ( . x y xy x x y yx vu 2 1 ),( ),( 2 = − = ∂ ∂ ， ⇒ uy x vu yx 2 1 2),( ),( == ∂ ∂ . 因此 , ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ′ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⋅=⋅= D D u v u du dvvdudv u v 3 1 2 2 1 2 2 1 3 1 3 2 2 2ln 3 26 ln 32 1 2 1 2 1 . 註 若区域 是由两组“相似”曲线 ( 即每组中的两条曲线仅以一个参数不同 的取值相区别 ) 围成的四线型区域 , 可引进适当的变换使其变成矩形区域. 设 区域 由以下两组曲线围成 : D D 第一组: = qyxFpyxF = < qp ) ( , 0),,( , 0),,( ; 238
第二组:G(x,y,a)=0,G(x,y,b)=0,(aa>0) 239
第二组: = byxGayxG = > − = 1 0 ) 0 ( . ln abdx x xx I ab
ExP273-275 重积分可积性与换元公式(2时) (一).可积性:回顾一元函数可积条件的讨论 h函数f(x,y)在ⅪOy平面上可求面积区域D上(R)可积分对VE>0 存在区域D的分割T,使得∑0,AD0,存在区间[a1,b]的分法T和区间[a2b2]的分法72,使 ∑ ()Ax,<,∑o()Ay<E 这里o(1)=sup|f(x)-f(x"), r rEr-i,rI (2)=sup|2()-/2() y',yElyr-1 ',I 71×72构成D的一个分割,在第订个小矩形Ax1×△y/上,注意到 lf(x)f2(y)-f1(x")2(y) =f1(x)(y)-f(x”)f2(y)+f1(x")f2(y)-f1(x")2(y”)≤ ≤|f2(y")‖f(x)-f(x”)+|f1(x)‖f2(y)-f2(y”) →2O)=sup|f(x)2(y)-f1(x”)2(y”) (x,y')(x",y)e△x ≤sup|f2(y")‖f(x)-f1(x")+ supI f(x”)‖f2(y)-f2(y” ≤Mo,()+Mo,(/2),其中f1(x)M,|f2(y)M 于是在D的分割71×T2之下,有
Ex P273—275. 三、二重积分可积性与换元公式 ( 2 时 ) （一）． 可积性：回顾一元函数可积条件的讨论. Th 函数 yxf ),( 在 XOY 平面上可求面积区域 D 上(R)可积 ⇔ 对 ∀ε > 0 , 存在区域 的分割 D T , 使得 ∑ Dii ∀ 0 , 存在区间 的分法 和区间 的分法 ba 11 ],[ T1 ba 22 ],[ T2 , 使 ∑ , ∑ . = <Δ n i i i xf 1 1 ω )( ε = <Δ m j j j yf 1 2 ω )( ε 这里 |)()(|sup)( 1 1 ],[, 1 1 f xfxf ii xxxx i = ′ − ′′ ∈ − ′′′ ω , |)()(|sup)( 2 2 ],[, 2 1 f yfyf jj yyyy j = ′ − ′′ ∈ − ′′′ ω . ×TT 21 构成 的一个分割 D , 在第 个小矩形 ij ji Δ × Δyx 上 , 注意到 21 ′′ − ′′ 21 yfxfyfxf ′′ |)()()()(| = = 21 ′′ − 21 ′′′ + ′′ 21 ′ − ′′ 21 yfxfyfxfyfxfyfxf ′′ |)()()()()()()()(| ≤ |)()(||)(||)()(||)(| 2 1 1 1 2 2 ≤ ′′′ − ′′ + ′′ ′ − yfyfxfxfxfyf ′′ . ⇒ ω ij f )( = )()()()(|sup | 21 21 ),(),,( yfxfyfxf ji yxyxyx ′ ′ − ′′ ′′ ′′′′′′ ΔΔ∈ |)()(||)(|sup|)()(||)(|sup 2 1 1 1 2 2 ≤ ′′ ′ − ′′ + ′′ ′ − yfyfxfxfxfyf ′′ )()( 1 2 ≤ ωi + ω j fMfM , 其中 ≤ |)(| , |)(| ≤ MyfMxf1 2 . 于是在 的分割 之下 D ×TT 21 , 有 240
分°,(Ax4≤∑∑M(a()+())Ax△y M C∑0,(AxA,+M∑∑o,(Ax4y ≤M∑∑oGAx+M∑oG2)∑△r ≤M(b2-a2)E+M(b1-a1)=M[(b2-a2)+(b1-a1 因此,函数∫(x,y)=f1(x)f2(y)在矩形域D=[a1,b1]×{a2,b2]上可积,且 J/=m∑∑(5)(mAxA m∑()文5A=不广 (二).二重积分换元公式的证明(简证) 主要是证明换算公式ddp=(x,y)ddhv a(u, v) 设函数u=l(x,y),v=v(x,y)在XOY平面上的区域D内有连续的偏导数 在此变换之下,YOY平面上的区域D变为U平面上的区域D’,且设 a(x,y) 引理=l(x,y),v=v(x,y)如上所述,又设在XOY平面上有一块包含点 (x,y)的区域σ,点(x,y)和σ都在D内.通过变换u=l(x,y),v=v(x,y) 将点(x,y)变换为UV平面上一点(,v),将变换为U平面上包含点(,v)的 一块区域σ’那么当G无限地向点(x,y)收缩时,它们的面积之比的极限 为|J|,即 σ*(a) y)lo1 a(x,y) 证明思路 i>在D内取出一点A(x,y),作一个矩形ABCD(边与坐标轴平行,字母
∑∑= = ≤ΔΔ⋅ m j n i ij ji yxff 1 1 21 ω )( ∑∑ ( ) = = ΔΔ+ m j n i i j ji yxffM 1 1 1 2 ωω )()( ≤ ∑∑ + = = ΔΔ m j n i i ji M yxf 1 1 1 ω )( ∑∑= = ΔΔ m j n i j ji M yxf 1 1 2 ω )( ≤ ∑ ∑ = = Δ +Δ m j n i ij i xfyM 1 1 1 ω )( ∑ ∑ = = ΔΔ m j n i j ij xyfM 1 1 2 ω )( )]()[()()( 22 11 1122 ε ε =−+−≤ ε − + − ababMabMabM . 因此 , 函数 = 21 yfxfyxf )()(),( 在矩形域 ],[],[ 2211 = × babaD 上可积 , 且 ∫ → = D T f 0|||| lim ∑∑= = ΔΔ m j n i jiji yxff 1 1 21 ηξ )()( . 0|||| 0|||| 2 1 lim → → = T T ∑ ∑ ∫ ∫⋅=Δ⋅Δ = = 1 1 2 2 21 1 1 2 1 )()( b a b a m j n i jj ii η ξ ffxfyf （二）. 二重积分换元公式的证明 ( 简证 ): 主要是证明换算公式 dudv vu yx dxdy ),( ),( ∂ ∂ = . 设函数 在 平面上的区域 内有连续的偏导数 . 在此变换之下 , 平面上的区域 变为 UV 平面上的区域 = = yxvvyxuu ),( , ),( XOY D XOY D D′ , 且 设 0 ),( ),( ≠ ∂ ∂ = vu yx J . 引理 如上所述, 又设在 平面上有一块包含点 的区域 = = yxvvyxuu ),( , ),( XOY yx ),( σ , 点 和yx ),( σ 都在 D 内 . 通过变换 = = yxvvyxuu ),( , ),( 将点 变换为 yx ),( UV 平面上一点 vu ),( , 将σ 变换为UV 平面上包含点 的 一块区域 .那么当 vu ),( * σ σ 无限地向点 收缩时 yx ),( , 它们的面积之比 || || * σ σ 的极限 为 J || , 即 ),( ),( || |*| lim ),( yx vu yx ∂ ∂ = → σ σ σ . 证明思路: ⅰ> 在 D 内取出一点 yxA ),( , 作一个矩形 ABCD ( 边与坐标轴平行, 字母 241
ABCD依逆时针标记).设四个顶点的坐标为 A(x,y), B(x+dx, y), C(x+dx, y+dy), D(x, y+dy 则其面积分为axdy ⅱ〉变换u=l(x,y),v=v(x,y)把该矩形变为U平面上的一个曲边四边形 A'B'CD’,设四个顶点的坐标为 A(l1,v1),B(l2V2),C'(u3,V3),D(4,v4) ⅲ)用7 aylor公式把曲边四边形ABCD的四个顶点坐标用x和y表示出来 u(x,y), v,=v(x, y) u(x+dx,y)=u(x,y)+u(x, y)dx+o(dx) =v(x,y)+v (x, y)dx +o(dx) C: u3=u(x+dx,y+dy=u(x,y)+u,(x, y)dx+,(x, y)dy +o(dx)+o(dy) V3=v(x+dx, y+dy=v(x, y)+v(x, y)dx+v, (x, y)dy +o(dx)+o(dy) D: u=u(x, y+dy)=u(x, y)+u, (x, y)dy +o(dy) v4 =v(x, y+dy)=v(x,y)+v,(x, y)dy +o(dy) ⅳv〉略去o(dx)和o(dy),得仿射变换.在该仿射变换之下,矩形ABCD变为 平行四边形.用该平行四边形的面积近似代替曲边四边形ABCD'的面积平 行四边形的顶点坐标是上述A',B’,C’,D’的顶点坐标表达式中略去o(dx)和 o(dy)所剩的式子 该平行四边形的面积=±2v2l= u(x, y) v(x, y) u(x,y)+u(x, y)dx ,y)+v(x, u(x,y)+u,(x,y)dx+u, (x,y)v(,y)+v,(x,y)dx+v, (x, y) a(x,y 242
ABCD依逆时针标记 ) . 设四个顶点的坐标为 yxA ),( , + + + + dyyxDdyydxxCydxxB ) , ( , ) , ( , ) , ( . 则其面积分为 dxdy . ⅱ> 变换 = = yxvvyxuu ),( , ),( 把该矩形变为UV 平面上的一个曲边四边形 DCBA ′′′′ ，设四个顶点的坐标为 ′ vuA 11 ),( ， ′ vuB 22 ),( ， ′ vuC 33 ),( ， ),( 44 ′ vuD . ⅲ> 用 Taylor 公式把曲边四边形 ′′ ′DCBA ′的四个顶点坐标用 x 和 y 表示出来: ),( , ),( : 1 1 ′ = = yxvvyxuuA ; , )(),(),() , ( :′ 2 +=+= x + D dxdxyxuyxuydxxuuB ; )(),(),() , ( 2 dxdxyxvyxvydxxvv x +=+= + D )()(),(),(),() , ( :′ 3 +=++= x + y + + DD dydxdyyxudxyxuyxudyydxxuuC )()(),(),(),() , ( 3 dydxdyyxvdxyxvyxvdyydxxvv x y +=++= + + + DD ; )(),(),() , ( :′ 4 +=+= y + D dydyyxuyxudyyxuuD , )(),(),() , ( 4 dydyyxvyxvdyyxvv y +=+= + D . ⅳ> 略去 和 , 得仿射变换. 在该仿射变换之下, 矩形 变为 平行四边形 . 用该平行四边形的面积近似代替曲边四边形 D dx)( D dy)( ABCD ′ ′ ′DCBA ′的面积. 平 行四边形的顶点坐标是上述 ′′′ ,,, DCBA ′ 的顶点坐标表达式中略去 和 所剩的式子. D dx)( D dy)( 该平行四边形的面积= ± = 1 1 1 33 22 11 vu vu vu = = + + + + ± + + 1),(),(),(),(),(),( ),(),( 1),(),( ),( ),( 1 yxvdxyxvyxvyxudxyxuyxu dxyxuyxu dxyxvyxv yxu yxv x y x y x x dxdy yx vu dyvdyu dxvdxu vu y y x x ),( ),( 0 0 1 ∂ ∂ ±= = . 242
引理的证明.(由上述分析给出简证) §2三重积分的计算(3时) 三重积分的定义: 1.长方体[a,b]×[c,d]×[k,h上的积分: 2.一般可求体积立体上的积分: 重积分的计算 长方体[a,b×[c,d]×[k,l上的积分 f(r,y, z)dxdydz= dx dyl, f(r,y,=)d= 2.Z-型体上的积分 (1)内一外二 f(r,y, r)dxdyde=dxdy f(x, y, =)d= 其中={(x,y,=)1(x,y)≤2≤2(x,y),(x,y)∈D},D为V在Y平面 上的投影就函数∫(x,y,)为点密度的情况解释该公式 内二外-:f(x,x)dh-」dtJ/(x,y)d k D 其中V介于平面z=k和=h之间,D.是用平面Z=截V所得的截面.内 外一多用于围成V的闭合曲面由一个方程给出的情况 dxdvdz 例 解V={(x,y,z)|0≤z≤y,0≤y≤x,1≤x≤2}, dx 例2 dxdyde, V dxdvdz+ drdyd:+[-2drdyds 243
引理的证明 . ( 由上述分析给出简证 ). § 2 三重积分的计算 ( 3 时 ) 一． 三重积分的定义： 1．长方体 ×× hkdcba ],[],[],[ 上的积分： 2．一般可求体积立体V 上的积分： 二． 三重积分的计算： 1． 长方体 × × hkdcba ],[],[],[ 上的积分： . ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ = V b a d c h k ),,( dxdydzzyxf ),,( dzzyxfdydx 2. Z − 型体上的积分: ⑴ 内一外二 : = , ∫∫∫ V ),,( dxdydzzyxf ∫∫ ∫ D yxz yxz dzzyxfdxdy ),( ),( 2 1 ),,( 其中 }),( , ),(),(|),,( { = 1 ≤≤ 2 ∈ DyxyxzzyxzzyxV , D 为V 在 XY 平面 上的投影.就函数 为点密度的情况解释该公式 zyxf ),,( . ⑵ 内二外一 : = , ∫∫∫ V ),,( dxdydzzyxf ∫ ∫∫ h k Dz ),,( dxdyzyxfdz 其中V 介于平面 = kz 和 = hz 之间 , Dz 是用平面 Z = z 截V 所得的截面. 内 二外一多用于围成V 的闭合曲面由一个方程给出的情况. 例 1 ∫∫∫ + V yx dxdydz 22 , V : == = = , , 0 , 2 , 1 = yzxyzxx . 解 = ≤ ≤ ≤≤ ≤ xxyyzzyxV ≤ } 21 , 0 , 0|),,( { , ∫∫∫= V ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ = + = + = + 21 ,0 0 21 ,0 2 1 0 22 22 22 x xy y x xy x yx ydy dx yx ydxdy yx dz dxdy ∫ ∫ = + = = = = 2 1 2 1 0 22 .2ln 2 1 2ln 2 1 )ln( 2 1 dxyx dx xy y 例 2 ∫∫∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ V dxdydz c z b y a x 2 2 2 2 2 2 , V : 1 2 2 2 2 2 2 ≤++ c z b y a x . 解 ∫∫∫= V ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ + + VVV dxdydz c z dxdydz b y dxdydz a x 2 2 2 2 2 2 . 243
法一(内二外一) ∫a -drdyd==2=zdx[dyd= 其中D为椭圆域+-,≤1 a2即椭圆域 1 b|1 其面积为rb 因此 ryde= 2 同理得2=13m加,二 dv=-tabc 因此 lbc bc 法二(内一外二)V上下对称 为z的偶函数 dady== 2 其中V’为V在OY平面上方的部分,其在XOY平 面上的投影为椭圆二+2≤1.于是 dxdvdz=2 r=arcose, y= sine 8 abcl cos2eo「r3√1-r2dh Icos208=30+sin 20 r3√l-r2d 2
法一 ( 内二外一 ) ∫∫∫ ∫ ∫∫ = V a Dx dydzdx a x dxdydz a x 0 2 2 2 2 2 , 其中 为椭圆域 Dx 2 2 2 2 2 2 1 a x c z b y −≤+ , 即椭圆域 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ≤ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − a x c z a x b y , 其面积为 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −=⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 2 2 2 2 1 1 1 a x bc a x c a x π b π . 因此 ∫∫∫ ∫ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − V a dx abc a x x a bc dxdydz a x 0 2 2 2 2 2 2 15 4 12 π π . 同理得 ∫∫∫ = V dV abc b y π 15 4 2 2 , ∫∫∫ = V dV abc c z π 15 4 2 2 . 因此 ∫∫∫ abc =⋅= ππ abc 5 4 15 4 3 . 法 二 ( 内一外二 ) V 上下对称 , 2 2 a x 为 z 的偶函数 , ⇒ ∫∫∫ ∫∫∫′ = V V dxdydz a x 2 2 2 , 其中V 为V 在 平面上方的部分, 其在 平 面上的投影为椭圆 ′ XOY XOY 1 2 2 2 2 ≤+ b y a x . 于是 ∫∫∫ ∫∫∫∫∫ = = =−− ≤+ −− ≤+ V b y a x b y a x c b y a x dxdy b y a x a x dxdy cdz a x dxdydz a x 2 2 2 2 2 2 1 1 0 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∫ ∫ ============ − = = 2 0 1 0 2 3 2 sin , cos cos8 1 π θ θ θθ drrrdabc bryarx . ∫ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += 2 0 2 0 2 4 2sin 2 1 2 1 cos π π π d θθθθ , ∫ ∫ − ===== =− −= 1 0 1 0 22 1 3 2 15 2 1 )1( 2 dtttdrrr rt . 244
dady= sabc 415152bc.同理 4 于是 3·mbc=-mbc 例3设f(x)d=√2.计算积分 ∫(x)f(y)f(c) )dxdydz,V:0≤x≤1,0≤y≤x,0≤≤x 解=f(x(0)/)k=jf(x)∫(y)j/( 0 0≤y≤x [/()dy d/o)d) 5/() =//d=la.5 2 三.三重积分换元公式: 柱坐标 例4∫(x2+y2)dd,:2(x2+y2)=,=4 2.球坐标 例5 EP285 §3曲面的面积(1时) 设曲面方程为==f(x,y),(x,y)∈D.∫有连续的一阶偏导数.推导曲面面 积公式 s= dxdy E* S=1+/(x,y)+/(x,y)dxdy 245
因此 ∫∫∫ =⋅⋅= V dxdydz abc abc a x π π 15 4 15 2 4 8 2 2 . 同理 ……. 于是 ∫∫∫ abc =⋅= ππ abc 5 4 15 4 3 . 例 3 设 ∫ = 1 0 dxxf 2)( . 计算积分 , V : ∫∫∫ V )()()( dxdydzzfyfxf ≤ x ≤ ≤ ≤ 0 , 0 , 10 ≤ ≤ xzxy . 解 ∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ≤≤ ≤≤ = = = V xyx x x x dzzfdyyfdxxfdzzfyfxf 0 ,10 1 0 00 0 )()()()()()( ∫ ∫ ∫ ∫ == ∫ ⎟ ======== ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = 2 0 2 0 2 3 1 0 )( 0 2 0 2 3 2 | 3 1 )( )( 0 dyyfddyyf tdtt x dyyft x x . 三. 三重积分换元公式: Th 1. 柱坐标: 例 4 , V : . ∫∫∫ + V )( dxdydzyx 22 4 , )(2 22 zzyx ==+ 2. 球坐标: 例 5 Ex P285. § 3 曲面的面积 ( 1 时 ) 设曲面方程为 . 有连续的一阶偏导数. 推导曲面面 积公式 = ),( , ),( ∈ Dyxyxfz f ∫∫ = D zn dxdy S |),cos(| , 或 S dxdyyxfyxf D ∫∫ x ++= y ),(),(1 2 2 . 245
