Ch18含参量广义积分 计划课时:6时 P233244 2005.10.29 Ch18含参量广义积分(6时) §1含参无穷积分 含参无穷积分: 含参无穷积分:函数∫(x,y)定义在[a,b]×[c,+∞)上([a,b]可以是 无穷区间)以/(x)=「(xy)b为例介组含参无穷积分表示的函数(x) 2.含参无穷积分的一致收敛性 逐点收敛(或称点态收敛)的定义:x∈[a,b],VE>0,彐M>c,使 f(x,y)l小0,3M>c,使[f(xy)0,彐M>0,VA1,A2>M f(x,y)0 但在区间(0,+)内非一致收敛 3.含参无穷积分与函数项级数的关系: Ih2积分1(x)=「f(x,y)在[a,b]上一致收敛,对任一数列
Ch 18 含参量广义积分 计划课时： 6 时 P 233—244 2005. 10 .29. Ch 18 含参量广义积分 (6 时 ) § 1 含参无穷积分 一. 含参无穷积分: 1． 含参无穷积分: 函数 yxf ),( 定义在 × cba + ∞ ) , [] , [ 上 ( 可以是 无穷区间 ). 以 为例介绍含参无穷积分表示的函数 . ba ] , [ ∫ +∞ = c ),()( dyyxfxI xI )( 2. 含参无穷积分的一致收敛性: 逐点收敛( 或称点态收敛 ) 的定义: x ∈∀ ba ] , [ , ∀ε > ∃ , 0 > cM , 使 ∃>∀ cM , 使 ∃>∀ , , 0 , 0 AAM M ⇒> , 0 . 但在区间 内非一致收敛 ∞+ ) , 0 ( 3. 含参无穷积分与函数项级数的关系: Th 2 积分 在 上一致收敛, ∫ +∞ = c ),()( dyyxfxI ba ] , [ ⇔ 对任一数列
A,}(4=c,4)+∞,函数项级数∑ f(x=2n(x)在[a 上一致收敛 含参无穷积分一致收敛判别法: Weierstrass m判别法:设有函数g(y),使在[a,b]×[c,+∞)上有 1f(x,y)卜g(y).若积分[g(y)0,b>a)
}{An )( 1 = cA , ↗ , 函数项级数 在 上一致收敛. An ∞+ ∑∫ ∑ ∞ = ∞ = + = 1 1 1 )(),( n A A n n n n xudyyxf ba ] , [ 二. 含参无穷积分一致收敛判别法: 1. Weierstrass M 判别法 : 设有函数 yg )( , 使 在 × cba + ∞ ) , [] , [ 上 有 . 若积分 , 则积分 在 一致收敛. ≤ ygyxf )(|),(| ∞+> − = 0 ) , 0 ( , sinsin abpdx x axbx eI px 247
四、含参瑕积分简介: ExP244-245. §2 euler积分(4时) 本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数,即r(s)和B(P,q).它们统称为 Eler积分.在积分计算等方面,它们是很有用的两个特殊函数 Gumm函数r(s)- Euler第二型积分: 1. Gamma函数:考虑无穷限含参积分 x e (s>0) 当00.利用非负函数积的 Cauchy判别法,注意到imx(xe-x)=1,1-s0时积 分收敛 x2·xex=x"e-x→0,(x→+∞)对Vs∈R成立因此积 分对s∈R收敛 综上,5>0时积分xe收敛,称该积分为Edr第二型积分.Edr 第二型积分定义了S∈(0,+∞)内的一个函数,称该函数为Gamm函数,记为 r(s),即 Ts dx (s>0) 一函数是一个很有用的特殊函数 2.T-函数的连续性和可导性 r(s)在区间(0,+∞)内非一致收敛.这是因为s=0时积分发散.这里利用了 下面的结果:若含参广义积分在y∈(a,b]内收敛,但在点y=a发散,则积分 在(a,b]内非一致收敛(证明参阅:复旦教案90-4-17和18(合)P368E1) 但r(s)在区间(0,+∞)内闭一致收敛即在任何[a,b]c(0,+∞)上,r(S)
四、 含参瑕积分简介: Ex P244—245. § 2 Euler 积分 ( 4 时 ) 本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数 , 即Γ s)( 和 . 它们统称为 Euler 积分. 在积分计算等方面, 它们是很有用的两个特殊函数. qpB ),( 一. Gamma 函数Γ s)( —— Euler 第二型积分： 1. Gamma 函数: 考虑无穷限含参积分 , ∫ +∞ −− 0 1 dxex xs s > ) 0 ( 当 时 , 点 还是该积分的瑕点 . 因此我们把该积分分为 来讨论其敛散性 . s −− xs ex , 11 , 1) (lim 1 1 0 ⇒ 0 ∫ 1 0 ∫ +∞ 1 : ) ( , 0 对 12 1 −− exexx −+ xsxs →=⋅ x +∞→ ∀s ∈R 成立,.因此积 分 对 R 收敛. ∫ +∞ 1 s ∈∀ 综上 , 时积分 收敛 . 称该积分为 Euler 第二型积分. Euler 第二型积分定义了 s > 0 ∫ +∞ −− 0 1 dxex xs s ∈ + ∞ ) , 0 ( 内的一个函数, 称该函数为 Gamma 函数, 记为 Γ s)( , 即 Γ s)( = , . ∫ +∞ −− 0 1 dxex xs s > ) 0 ( −Γ 函数是一个很有用的特殊函数 . 2. −Γ 函数的连续性和可导性: Γ s)( 在区间 内非一致收敛 ∞+ ) , 0 ( . 这是因为 s = 0 时积分发散. 这里利用了 下面的结果: 若含参广义积分在 ∈ bay ] , ( 内收敛, 但在点 = ay 发散, 则积分 在 内非一致收敛 ba ] , ( .( 证明参阅: 复旦教案 − −17490 和 18(合) P368 E1.) 但 Γ s)( 在区间 内闭一致收敛 ∞+ ) , 0 ( .即在任何 ba ],[ ⊂ + ∞ ) , 0 ( 上 , Γ s)( 248
致收敛因为00,→I()在区间(0,+)内严格下凸 r(1)=I(2)=1(参下段) r(s)在区间(0,+∞)内唯一的极限小 值点(亦为最小值点)介于1与2之间 4.(s)的递推公式T一函数表 r(s)的递推公式:r(s+1)=sI(s),(s>0). 证(s+1)=xedk=-x(e)h= x'eo +sh x-le"dx=sx"'e"dr=sr(s) r(=x-e"da 于是,利用递推公式得 r(2)=I(1+1)=(1)=1 r(3)=I(2+1)=2r(2)=21=21, r(4)=I(3+1)=3I(3)=3·2!=3!, 般地有r(n+1)=nI(n)=n(n-1)r(n-1) 可见,在Z上,I(S)正是正整数阶乘的表达式.倘定义s!=I(s+1),易见
一致收敛. 因 为 时 , 对积分 , 有 , 而积分 收敛.对积分 , , 而积分 收敛. 由 M—判法,它们都一致收敛, 积分 在区间 上一致收敛 . 0 ∫ +∞ −− dxxexs xs , ⇒ Γ s)( 在区间 + ∞ ) , 0 ( 内严格下凸. =Γ=Γ 1)2()1( ( 参下段 ), ⇒ Γ s)( 在区间 + ∞ ) , 0 ( 内唯一的极限小 值点( 亦为最小值点 ) 介于 1 与 2 之间 . 4. Γ s)( 的递推公式 Γ − 函数表: Γ s)( 的递推公式 : Γ=+Γ ssss > ) 0 ( ),()1( . 证 ∫ ∫ +∞ +∞ − − =+Γ −= ′ = 0 0 )1( )( dxexdxexs xs xs ∫ ∫ +∞ +∞ ∞+− −− −− +−= = Γ= 0 0 1 1 0 ssdxexsdxexsex )( xs xs xs . ∫ ∫ +∞ +∞ −− − =Γ = = 0 0 11 )1( dxedxex 1 x x . 于是, 利用递推公式得: =Γ=+Γ=Γ 1)1(1)11()2( , =⋅=Γ=+Γ=Γ ! 212)2(2)12()3( , =⋅=Γ=+Γ=Γ ! 3! 23)3(3)13()4( , …………, , 一般地有 Γ−=Γ=+Γ nnnnnn − = " = n! )1()1()()1( . 可见 , 在 + Z 上, Γ s)( 正是正整数阶乘的表达式 . 倘定义 = Γ ss + )1(! , 易见 249
对s>-1,该定义是有意义的因此,可视r(s+1)为(-1,+∞)内实数的阶乘 这样一来,我们很自然地把正整数的阶乘延拓到了(-1,+∞)内的所有实数上 于是,自然就有0=r(0+1)=I(1)=1,可见在初等数学中规定0!=1是很合理的 一函数表:很多繁杂的积分计算问题可化为r一函数来处理.人们仿三角函数 表、对数表等函数表,制订了r一函数表供查.由r一函数的递推公式可见,有 了r一函数在00,求得I(s)的值.通常把 1.00≤s≤2.00内r一函数的某些近似值制成表,称这样的表为r一函数表(如 北京矿业学院编《数学手册》1973年版P308-309.也有在00时,r(s+1)=sr(s,→rs)=(s+1D.该式 S 右端在-1令x=p(P>0),有I( = p dt,因此, 250
对 s −> 1,该定义是有意义的. 因此, 可视 Γ s + )1( 为 − + ∞ ) , 1 ( 内实数的阶乘. 这样一来, 我们很自然地把正整数的阶乘延拓到了 − + ∞ ) , 1 ( 内的所有实数上, 于是,自然就有 +Γ= = =Γ 1)1()10(!0 , 可见在初等数学中规定 = 1!0 是很合理的. −Γ 函数表: 很多繁杂的积分计算问题可化为Γ − 函数来处理. 人们仿三角函数 表、对数表等函数表, 制订了 −Γ 函数表供查. 由Γ − 函数的递推公式可见, 有 了 −Γ 函数在 内的值 s 0 , 求得 Γ s)( 的值. 通常把 s ≤≤ 00.200.1 内 函数的某些近似值制成表 −Γ , 称这样的表为Γ − 函数表 ( 如 北京矿业学院编《数学手册》1973 年版 P308—309. 也有在 0 时, +Γ = Γ sss ),()1( ⇒ . )1( )( s s s Γ + =Γ 该式 右端在 s 令 pptx >= )0( , 有 Γ s)( = ,因此, ∫ +∞ −− 0 1 dxex xs ∫ +∞ −− = 0 1 dtetp ptss 250
edx=pr(s),(p>0, s>0) 且)令x=1,→【()=2[r-e-d 注意到结果e-d=y,得r)的一个特殊值 2Vr≈1772454 i令x=-lnt(x>0),得r(s)="[ln1t2-dh.取2=1,得 r(s)=In- dt=[(Int)-dt 例2计算积分[x2"edx,其中n∈Z 解 obo 2e dt=r(n+3) (2n-1)!!1 Bea函数B(p,q)-Eler第一型积分 Beta函数及其连续性 称(含有两个参数的)含参积分x(1-x)dx(p>0,q>0)为Elr第 一型积分.当p和q中至少有一个小于1时,该积分为瑕积分.下证对 p>0,q>0,该积分收敛.由于P,q<1时点x=0和x=1均为瑕点.故把 积分分成2和考虑 p≥1时为正常积分;0<p<1时,点x=0为瑕点由被积函数 0+)和1-p (由 Cauchy判法)→积分2收敛.(易见P=0时积分2发散) q≥1时为正常积分,0<p<1时,点x=1为瑕点.由被积函数非负 (1-x)(1-x)xP→1,(x→1)和1-q<1
, . ∫ +∞ −− − Γ= 0 1 spdxex )( pxs s sp >> ) 0 , 0 ( ⅱ> 令 , ⇒ . 2 = tx ∫ +∞ −− =Γ 0 12 2 2)( dtets ts 注意到结果 ∫ ∞+ − = 0 2 2 π dxe x , 得 的一个特殊值 Γ s)( 2 2 1 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ 772454.1 2 2 0 2 ≈=⋅= ∫ ∞+ − π π dte t . ⅲ> 令 −= λ tx λ > )0( ln , 得 Γ s)( ∫ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 0 1 1 1 ln dtt t s s λ λ . 取λ =1, 得 Γ s)( ∫ ∫ − − ⎟ −= ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 0 1 0 1 1 )ln( 1 ln dttdt t s s . 例 2 计算积分 , 其中 . ∫ +∞ − 0 2 2 dxex xn + ∈ Zn 解 I ∫ ∞+ + − = − − =Γ − ==== ⋅=+Γ= 0 1 2 1 2 !)!12( ) 2 1 ( 2 !)!12( 2 1 ) 2 1 ( 2 1 2 1 2 π n n t xt n n n ndtet . 二. Beta 函数 qpB ),( ——Euler 第一型积分： 1． Beta 函数及其连续性： 称( 含有两个参数的 )含参积分 为 Euler 第 一型积分. 当 ∫ − − − 1 0 1 1 )1( dxxx p q qp >> ) 0 , 0 ( p 和 中至少有一个小于 1 时, 该积分为瑕积分. 下证对 , 该积分收敛. 由于 q qp >> 0 , 0 qp < 1 , 时点 x = 0和 x = 1均为瑕点. 故把 积分 分成 ∫ 1 0 ∫ 2 1 0 和 ∫ 1 2 1 考虑. ∫ 2 1 0 : p ≥ 1时为正常积分; < p < 10 时, 点 x = 0为瑕点. 由被积函数 非负, ) 0 ( , 1)1( 和 −− 11 −1 →→− + xxx x pp q − p < 11 , ( 由 Cauchy 判法) ⇒ 积分 ∫ 2 1 0 收敛 . ( 易见 p = 0 时积分 ∫ 2 1 0 发散 ). ∫ 1 2 1 : q ≥ 1时为正常积分; p << 10 时, 点 x = 1为瑕点. 由被积函数非负, ) 1 ( , 1)1()1( 和 1− −− 11 →→ − −− xxx x q pq − q < 11 , 251
(由camy判法)=积分上收敛,(易见q=0时积分」发散 综上,P>0,q>0时积分收敛设 D={(P,q)100,q>0) 不难验证,B-函数在D内闭一致收敛.又被积函数在D内连续,因此,B-函 数是D内的二元连续函数 2.B-函数的对称性:B(P,q)=B(q,p) 证B(P,q)-[x-"(l-x)d (1-1)2r9d Sra-np-dt=B(q,p) 由于B-函数的两个变元是对称的,因此,其中一个变元具有的性质另一个变元 自然也具有 3.递推公式:B(p+1,q+1)=-9B(p+1,q) p+q 证B(P+1,q+1)=x(1-x)yd= (1-x)d(xP+) (1-x) r)9-ldx=q (1-x) +1 if Cx(-x)o-dx=[x-x(1-x)(-x)o-idx =[x(1-x)dx-xP(1-x)atx=B(P+1,q)-B(p+1,q+1) 代入*)式,有 B(p+1,q+1) g-B(P+1, q) B(P+1,q+1) P P 解得B(P+1,q+1)= B(p+1,q) 252
( 由 Cauchy 判法) ⇒ 积分 ∫ 1 2 1 收敛 . ( 易见 q = 0 时积分 ∫ 1 2 1 发散 ). 综上, qp >> 0 , 0 时积分 收敛 ∫ . 设 1 0 D = > ) 0 , 0 ( 不难验证, B − 函数在D内闭一致收敛. 又被积函数在D内连续, 因此 , B − 函 数是 D 内的二元连续函数. 2. B − 函数的对称性: qpB ),( = pqB ),( . 证 qpB ),( = ∫ − − − 1 0 1 1 )1( dxxx p q ∫ −−===== = −− −= 0 1 11 1 )1( dttt qp tx . ∫ =−= − − 1 0 1 1 pqBdttt ),()1( q p 由于 B − 函数的两个变元是对称的, 因此, 其中一个变元具有的性质另一个变元 自然也具有. 3. 递推公式: ) , 1 ( 1 ) 1 , 1 ( qpB qp q qpB + ++ =++ . 证 ∫ ∫ − = + =−=++ + 1 0 1 0 1 )()1( 1 1 )1() 1 , 1( p q pq xdx p dxxxqpB dxxx p q dxxx p q xx p pq p q p q ∫ ∫ + + − + − − + =− + − + + = 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 )1( 1 )1( 1 )1( 1 1 ) * 而 ∫ ∫ =−−−=− + − − 1 0 1 1 0 1 1 )1)](1([)1( dxxxxxdxxx p q pp q , ∫ ∫ ++−+=−−−= − 1 0 1 0 1 )1( qpBqpBdxxxdxxx )1 , 1() , 1()1( p q p q 代入 式, 有 ) * ) 1 , 1 ( 1 ) , 1 ( 1 ) 1 , 1 ( ++ + −+ + =++ qpB p q qpB p q qpB , 解得 ) , 1 ( 1 ) 1 , 1 ( qpB qp q qpB + ++ =++ . 252
由对称性,又有B(p+1,q+1)=-PB(p,q+1) p+q+ 4.B-函数的其他形式 i〉令y=x",有[x(1-x")dx (1-y)dy B+1 因此得(x(=xb+1 1+>0,B>-1 i>令y=cosx,可得 sin"xcos xdx= a+1B+1 a>-1,B>-1 特别地 n+11 sin" xdx= ∈Z if)令x 14、有B(B)=[x(1-xyd dt (P-l dt=B(P,q),(p>0,q>0) iv>令t= 可得 b-a b (x-a)"(b (m,n),m>0,n>0. B(m,n),a≠0,-1;m>0,n>0 (a+x) a"(1+a 三.I-函数和B-函数的关系:-函数和B-函数之间有关系式 t(pra B(p,q)-T(p+q) (p>0,q>0) 以下只就p和q取正整数值的情况给予证明.p和q取正实数值时,证明用到 F-函数的变形和二重无穷积分的换序 证反复应用B一函数的递推公式,有 B(m,)=~n-1 B(m,n-1)= B(m,1), m+n-1 m+n-1m+n-2 而B(m,1)=xmax= 253
由对称性, 又有 ) 1 , ( 1 ) 1 , 1 ( + ++ =++ qpB qp p qpB . 4. B − 函数的其他形式: ⅰ> 令 , 有 α = xy ∫ ∫ =− − = 1 − 0 1 0 1 1 )1( 1 )1( dyyyydxxx α β α γ γ βα α ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = − = −+ − + 1 0 11 1 1 1 , 11 )1( 1 β α γ α α α β γ Bdyyy , 因此得 ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + =− 1 0 1 , 11 )1( β α γ α γ βα Bdxxx , 1 , 0 1 −>> + β α γ . ⅱ> 令 y = cos x , 可得 ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ = 2 0 2 1 , 2 1 2 1 cossin π α β βα Bxdxx , α > − β > −1 , 1 . 特别地 , ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 0 2 1 , 2 1 2 1 sin π n Bxdx n , . + ∈ Zn ⅲ> 令 t t x + = 1 , 有 qpB ),( = = ∫ − − − 1 0 1 1 )1( dxxx p q ∫ ∞+ + − 0 + 1 )1( dt t t qp p , 即 ∫ ∞+ + − = 0 + 1 ),( )1( qpBdt t t qp p , qp >> ) 0 , 0 ( ⅳ> 令 ab a ab x t − − − = , 可得 . ∫ − − −+ −=−− b a m n nm nmBabdxxbax ),,()()()( 1 1 1 nm >> 0 , 0 ⅴ> ∫ + = + − + − − 1 0 1 1 ),( )1( 1 )( )1( nmB aa dx xa xx nm n n m n , a ≠ − nm >> 0 , 0 ; 1 , 0 . 三. −Γ 函数和 B − 函数的关系: Γ − 函数和 B − 函数之间有关系式 )( )()( ),( qp qp qpB +Γ ΓΓ = , qp >> ) 0 , 0 ( 以下只就 p 和 q 取正整数值的情况给予证明. p 和 取正实数值时, 证明用到 函数的变形和二重无穷积分的换序. q −Γ 证 反复应用 B − 函数的递推公式, 有 )1 , ( 1 1 2 2 1 1 )1,( 1 1 ),( mB mnm n nm n nmB nm n nmB + ⋅⋅ −+ − ⋅ −+ − =− −+ − = " , 而 = ∫ ⇒= − 1 0 1 , 1 )1 , ( m dxxmB m 253
B(m, n) m+n-1m+n-2m+1m(m-1 (n-1)!(m-1)r(n)r(m) (m+n-1)!T(n+m) 特别地,p>0,q>0且p+q=1或P+q=2时,由于r(1)=I(2)=1,就有 B(p, a=r(pr 余元公式——-函数与三角函数的关系:对00,查表 求得r(s)的近似值 四、利用 Euler积分计算积分 例3利用余元公式计算 2 解(1(乙 例4求积分 dx 1+x 解令t=x°,有 dt 6(66 (1+1)66 1)1 6)6 例5计算积分a 254
= − − ⋅⋅ + ⋅⋅ −+ − ⋅ −+ − = )!1( )!1(1 1 1 2 2 1 1 ),( m m mmnm n nm n nmB " )( )()( )!1( )!1()!1( mn mn nm mn +Γ ΓΓ = −+ − − = . 特别地, qp >> 0 , 0 且 或 qp =+ 1 + qp = 2 时, 由于Γ = Γ = 1)2()1( , 就有 ΓΓ= qpqpB )()(),( . 余元公式—— 函数与三角函数的关系： −Γ 对 0, 查表 求得 的近似值 Γ s)( . 四、利用 Euler 积分计算积分: 例 3 利用余元公式计算 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ 2 1 . 解 π π π ⎟ ==⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ −Γ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ Γ=⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ 2 sin 2 1 1 2 1 2 2 1 , ⇒ ⎟ = π ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ 2 1 . 例 4 求积分 ∫ ∞+ 0 + 6 1 x dx . 解 令 = xt 6 , 有 I ∫ ∫ ∞+ ∞+ + − − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + = + = 0 0 6 5 6 1 1 6 1 6 5 6 5 , 6 1 6 1 )1( 6 1 16 1 Bdt t t dt t t 3 6 sin 6 1 6 1 1 6 1 6 1 π π π ⎟ =⋅=⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ −Γ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ= . 例 5 计算积分 ∫ − 1 0 4 4 1 x dx . 254
√1 解田如=x=P=41,→该积分收:(可不进行判 敛,把该积分化为B-函数在其定义域内的值,即判得其收敛.) d(x2) t4(1-1)4dt= t+(1-1)4a=!3 例6f(x)= Sin x cOS°x,求积分 f(x)f()f(a)dxdydc 其中V:0≤x≤x,0≤y≤x,0≤z≤x 解∫-)0y/=八(C0m)= 而jf(x)=[ sin xcosxdx 1(7+16+1)1n,7 2 r(4)I(=) 3×2.5×1.5×0.5×r(0.5) 2r(15)265×55×45×35×25×15×05×r(05563 3(563)(563 255
解 , 2 1 1 1 lim 4 4 4 1 = − − → − x x x 1 4 1 p <= , ⇒ 该积分收敛 . ( 亦可不进行判 敛 ,把该积分化为 B − 函数在其定义域内的值 , 即判得其收敛 . ) I ∫ ∫ ∫ ==== =− −⋅ = −⋅ = = − − 1 0 4 1 4 1 3 0 3 4 4 1 4 0 3 4 4 3 )1( 4 1 1 )( 4 1 1 4 dttt xx xd xx dxx xt ⎟ ==⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟Γ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ Γ=⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = =− ∫ − − 4 sin 4 1 4 3 4 1 4 1 4 3 , 4 1 4 1 )1( 4 1 1 0 1 4 3 1 4 1 π π Bdttt 4 2π . 例 6 xxxf , 求积分 67 = cossin)( , ∫∫∫ V )()()( dxdydzzfyfxf 其中 V : x 0 , 0 , ≤≤≤≤≤≤ xzxy 2 0 π . 解 ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = V x x x dxdttfxfdzzfdyyfdxxf 2 0 00 2 0 2 0 )()()()()( π π ∫∫ ∫ ∫ ∫ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 0 0 3 2 0 2 0 3 0 2 0 )( 3 1 )( 3 1 )()( π π π x x x dttfdttfddttf dxxf . 而 ∫ ∫ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ = = 2 0 2 0 67 2 7 , 4 2 1 2 16 , 2 17 2 1 cossin)( π π dxxf Bxdxx B 563 3 )5.0(5.05.15.25.35.45.55.6 )5.0(5.05.15.2 !3 2 1 ) 2 15 ( ) 2 7 ()4( 2 1 . = Γ××××××× Γ×××× ⋅= Γ ΓΓ ⋅= . 因此, 3 3 . )563( 9 563 3 3 1 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫∫∫ V . 255