SF01(数) Ch2数列极限 计划课时:20时 P1020 2004.09.18
S F 01（数） Ch 2 数列极限 计划课时： 2 0 时 P 10—20 2004．09．18
Ch2数列极限(12时) §1数列极限(8时) 数列: 数列定义 整标函数.数列给出方法:通项,递推公式(循环级数) 数列的几何意义.特殊数列:常驻列,有界列,单调列和往后单调列. 数列极限:以an=1+(-1)为例 定义( lim a=a的“E-N”定义) 定义(数列{an}收敛的“E-N”定义) E的正值性,任意性与确定性,E以小为贵;N的存在性与非唯一性,对N只要 求存在,不在乎大小 lim a=a的几何意义.[jP34图221 用定义验证数列极限:思路与方法 例1lim-=0 例2imq”=0 例3linn2+1_1 n+2n2-7 例4li n 例5lima=1,a 证法一令Va-1=an,有an>0.用 Bernau不等式,有 a=(1+an)”≥1+nan=1+m(an-1),或0 证法二(用均值不等式)
Ch 2 数列极限 （ 1 2 时 ） § 1 数列极限 （ 8 时 ） 数列： 数列定义 —— 整标函数. 数列给出方法: 通项, 递推公式（ 循环级数 ）. 数列的几何意义. 特殊数列: 常驻列, 有界列, 单调列和往后单调列. 二. 数列极限: 以 n a n n ) 1 ( 1 − += 为例. 定义 ( aan n = ∞→ lim 的 “ε − N ”定义 ) 定义 ( 数列{an }收敛的“ε − N ”定义 ) ε 的正值性, 任意性与确定性, ε 以小为贵; N 的存在性与非唯一性, 对 只要 N 求存在, 不在乎大小. aan n = ∞→ lim 的几何意义. [1]P34 图 2.2.1. 用定义验证数列极限： 思路与方法. 例 1 .0 1 lim = n ∞→ n 例 2 = .1 ,1lim∞→ a a n n 证法一 令 n ,1 n a =− α 有 α n > .0 用 Bernoulli 不等式，有 ),1(11)1( 1 −+=+≥+= n n n n a α α ann 或 . " 1 10 1 n a n a a n < − ≤−< 证法二 （用均值不等式） 10
0b,则彐N,)Vn>N,→a>b,(证) 系1设 lim a=a, lim b=b若丑N,Ⅶn>N时有an<bn,→a≤b.(注 意“=”;并注意b≡b和b=0的情况) 系2设lima 0(或<0).则对v0< (或
n N n n aa 1个 1110 − ⋅=− ba , 则 . , , ∀ >⇒> baNnN nn ∃ ∋ （ 证 ） 系 1 设 n bbaa .lim ,lim n n n = = ∞→ ∞→ 若∃ ∀ > ( 0 ∞→ aan n 或< )0 . 则对∀0 < < ar (或 < < Nra ∋∃ , ),0 11
yn>N,→an r(或anN,→|an|>F. 绝对值收敛性见后 迫敛性(双逼原理) Th2(双逼原理)(证) 绝对值收敛性 Th3Iman=a,→ lim a=|a(注意反之不确) lima=0.eli (证) 系设数列{an}和{bn}收敛,则 lim max( a,, b,)=max lim a,, lim b,i, lim mini a bi= min lima,, limb, i (证明用到以下6所述极限的运算性质 四则运算性质 Th4(四则运算性质,其中包括常数因子可提到极限号外)(证 7.子列收敛性:子列概念 Th5(数列收敛充要条件){an}收敛{an}的任何子列收敛于同一极限 Th6(数列收敛充要条件){an}收敛子列{a2n1}和{a2n}收敛于同一极限 Th7(数列收敛充要条件){an}收敛分子列{a2k-}、{a2x}和{a3k}都收敛 简证 利用数列极限性质求极限: 两个基本极限:lim=0,limq"=0,(q|<1) n-0pn 利用四则运算性质求极限:
, n >⇒>∀ raNn (或 ra ). n ⇒>∀∃<<∀ raNnNar . , , , 0 绝对值收敛性见后. 迫敛性 ( 双逼原理 ): Th 2 ( 双逼原理 ). ( 证 ) 绝对值收敛性: Th 3 n aaaa . lim ,lim n n n ⇒= = ∞→ ∞→ ( 注意反之不确 ). ⇔= = .0 lim ,0lim∞→ ∞→ n n n n a a ( 证 ) 系 设数列{ } an 和{ } bn 收敛, 则 }.lim , lim { min } , { min lim }, lim , lim max{} , max{lim n n n n nn n n n n n nn n ba ba ba ba ∞→ ∞→ ∞→ ∞→ ∞→ ∞→ = = ( 证明用到以下 6 所述极限的运算性质 ). 四则运算性质: Th 4 ( 四则运算性质, 其中包括常数因子可提到极限号外 ). ( 证 ) 7. 子列收敛性: 子列概念. Th 5 ( 数列收敛充要条件 ) { an }收敛 ⇔ { }的任何子列收敛于同一极限. an Th 6 ( 数列收敛充要条件 ) { an }收敛 ⇔ 子列{ }和{ }收敛于同一极限. a n−12 a2n Th 7 ( 数列收敛充要条件 ) { an }收敛 ⇔ 子列{ }、{ }和{ 都收敛. a k−12 a2k } a3k ( 简证 ) 利用数列极限性质求极限: 两个基本极限： ). 1 ( ,0lim ,0 1 lim = <= ∞→ ∞→ qq n n n n 利用四则运算性质求极限： 12
例9 3n+1n+10 n→1-2n2n+5 关于n的有理分式当 时的极限情况 填 (2)1m≌3-3n+an-2a3 k int 例11limn(Vn2+1-√m2-1) 例12求极限lim 例13求证:当a>0时,lima=1.(与例5联系) 例14lim +1 Ex[P445-9 双逼基本技法:大小项双逼法,参阅[4]P53 求下列极限 )lim(√3-1)sin(2n2+1); lim 1 4n2+2 例16limv.(1≤vn=m√m12≤ 2√n+n-2 0, k).求证 lim"+a2+…+a=max{a,a2,…,a1}
例 9 . 52 10 21 13 lim + + ⋅ − + ∞→ n n n n n 註： 关于n 的有理分式当 时的极限情况 n ∞→ . 填空: ⑴ ______________; )12( )12()2( lim 102 62 8 = + −+ ∞→ n nn n ⑵ , ._________ 8 1 2 73 3 2 lim 2 2 3 223 3 =+= +−+ −+− ∞→ ka ananna ananan k n 例 11 ). 11 (lim 2 2 −−+ ∞→ nnn n 例 12 求极限 n n n n n 3253 )2(5 lim 1 ⋅ ⋅+ −− + ∞→ . 例 13 求证: 当 a > 0 时, = .1lim∞→ n n a ( 与例 5 联系) 例 14 .1 . 1 lim ≠ ∞→ + a a a n n n Ex [1]P44 5 — 9 双逼基本技法: 大小项双逼法，参阅[4]P53. 求下列极限: ⑴ );12sin( ) 13 (lim 2 − + ∞→ n n n ⑵ ∑= ∞→ + n i n 0 in2 ; 3 1 lim ⑶ . 12 1 24 1 14 1 lim 2 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ++ + + + n ∞→ n n n " 例 16 .lim n n n ∞→ ( .)1 22 1 1 2 → −+ ≤⋅=≤ − n nn nnn n n n 例 17 ai ≤> ≤ ki ).1( ,0 求证 lim }.,,, max{ 21 21 k n n k nn n " =+++ " aaaaaa ∞→ 13
例18设lm存在.若limb=0,则 lim a=0 例19设an>0.1man=a求证:mya2…an=a Ex[1jP4410(,12;(提示101)和12,见下面) 4]P81-8282,84(1),108,109,11,112 提示:100:设a1+a2+…+an=Sn,则有∑k=nSn-∑S,和 Sk-S 注意利用均值极限定理, n k= iSn=lm=∑S,lm=0,即得所证 设a1+a2+…+an=Sn,有一→a,注意利用下式 Sn sn- ns,-Sn-nsn-I na,-sni-a, (n-Dam -sm- a, 1 sn nn H(n-1) n(n-1) n(n-1) n nn-1 n→∞时,上式左端趋于零,右端第二项也趋于零,→一→0 无穷大量:先介绍三种无穷的直观意义 无穷大量的定义: 例20设|q|>1,证明:{q"}是无穷大量 例21证明 是正无穷大量 n+5 2.无穷大量的性质 Th1设{xn}是无穷大量,{y}是数列,且彐δ>0和N,Vn>N时ynP, 则数列{xnyn}是无穷大量 系设{xn}是无穷大量,imyn=b≠0.则数列{xyn}和{}都是无穷大量 同号无穷大的和是无穷大量,两个无穷大量的积是无穷大量
例 18 设 n n n b a ∞→ lim 存在. 若 = ,0lim∞→ n n b 则 = .0lim∞→ n n a 例 19 设a aa .lim ,0 求证: n n n > = ∞→ lim . n 21 n aaaa n = ∞→ " Ex [1]P44 10⑴，12；（ 提示 10⑴和 12， 见下面） [4]P81—82 82，84⑴，108，109，111，112. 提示：10⑴： 设 , + 21 " =++ Saaa nn 则有 ∑ ∑ , 和 = − = −= n k n k nk k SnSka 1 1 1 n S S n SSS n Ska n n n k nn k n k n k n k k ⎟ +−= ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ −= ∑ − ∑ =1 =1 =1 1 1 1 . 注意利用均值极限定理, ∑= ∞→ ∞→ = n k k n n n S n S 1 1 limlim , = 0lim∞→ n Sn n , 即得所证. 设 , + 21 +"+ = Saaa nn 有 a, n Sn → 注意利用下式: , 1 1 )1( )1( )1(1 )1( 1 1 1 1 1 − −= − − − = − − − = − − − = − − − − − − − n S nn a nn San nn aSna nn nSSnS n S n S nn nnn nnn nn n n n ∞→ 时，上式左端趋于零，右端第二项也趋于零， →⇒ 0 n an . 无穷大量：先介绍三种无穷的直观意义 无穷大量的定义： 例 20 设 ，证明： 是无穷大量 | q > 1 | }{ . n q 例 21 证明: ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + − 5 1 2 n n 是正无穷大量. 2. 无穷大量的性质: Th 1 设 是无穷大量 xn }{ , yn }{ 是数列, 且 ∃δ > 0 和 ∋ , ∀ > NnN 时 ≥ δ ,|| n y 则数列 }{ 是无穷大量. nn yx 系 设 是无穷大量 }{ , n x lim = ≠ 0 ∞→ byn n . 则数列 和}{ nn yx ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n y x 都是无穷大量. 同号无穷大的和是无穷大量, 两个无穷大量的积是无穷大量. 14
3.无穷大量与无穷小量的关系 Th2无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大 例2求极限lm(-5+√) Stolz定理: Ih3设yn+∞,且limm=a(有限或为无穷)则mxn=a 例23设lman=a(有限或为无穷)试证明:lima+a++an=a n→① 1+2k+…+nk 例24求极限Iim (k为自然数)[1jP49E4 a1+2a2+…+na 例25设 lim a=a,求极限lim []P50E Ex[jP50-511(1)(4,2(2)(注意用双逼原理),3,4(1,5(2)(注意用 数学归纳法),8 §2收敛准则(4时) 数列收敛的一个充分条件—单调有界原理:回顾单调有界数列 单调有界原理: Th1(单调有界原理) 证) x=√2,xn=√3+2xn,n=12,…证明数列{an}收敛,并求极限 证00→x 因此,数列{x}单调递增有上界.由单调有界原理,{xn}收敛,设 lim x=a, 对x 3+2xn两端取极限,得a=√3+2a,解得a=3,即 lim x=3
3. 无穷大量与无穷小量的关系: Th 2 无穷大的倒数是无穷小; 非零无穷小的倒数是无穷大. 例 22 求极限 ( nn ) n +− ∞→ 5lim . Stolz 定理: Th 3 设 ↗↗ n y + ∞ , 且 a yy xx nn nn n = − − − − ∞→ 1 1 lim (有限或为无穷), 则 a y x n n n = ∞→ lim . 例 23 设 aan n = ∞→ lim (有限或为无穷), 试证明: a n aaa n n = + + + ∞→ 21 " lim . 例 24 求极限 k n n k kk k n ( , 21 lim +1 ∞→ "+++ 为自然数) [1]P49 E4 例 25 设 n aa ,limn = ∞→ 求极限 2 2 21 lim n naaa n n +++ ∞→ " . [1]P50 E5 Ex [1]P50.—51 1⑴⑷，2⑵（注意用双逼原理），3 ，4⑴，5⑵（注意用 数学归纳法），8. § 2 收敛准则（4 时 ） 数列收敛的一个充分条件 —— 单调有界原理：回顾单调有界数列. 1. 单调有界原理: Th 1 ( 单调有界原理 ). ( 证 ) 1 = xx n+1 n nx =+= ,2,1 ,23 ,2 "证明数列{ }收敛, 并求极限. an 证 x1 ++ − + + =−+=− ↗. 因此, 数列 单调递增有上界 }{ . 由单调有界原理, 收敛, 设 , n x }{ n x axn n = ∞→ lim 对 n n x 23 x +1 += 两端取极限, 得 += 23 aa ,解得 a = ,3 即 = 3lim . ∞→ n n x 15
例2设x1>0,xn=1+ n=1,2,3,…证明数列{an}收敛,并求 极限 解n≥2时,10,x>0.xm=1xn+a求mxn,(计算、a的逐次逼近 法,亦即迭代法 解由均值不等式,有xm2(+x/ a.→{xn}有下界 注意到对n有xn≥√a,有=/1+Q1(1=1.→x" 例4设a=1+1+1 (a≥2).证明数列{an}收敛 三个重要常数 180° 例5Ln=nsin=,证明数列{n}收敛.记该数列的极限为z.[l]Ps5E5 例6x.-(+1),证明数列{收敛起该数列的板限为ePB 例7b=1++1 3…+1-lnn,证明数列{bn}收敛.称该数列的极限为 Euler常数c,c=0.57721566490 []P9E9和E10留为阅读,并注意以后更一般地解法 数列收敛的充要条件— Cauchy收敛准则: chy列: 2. Cauchy收敛准则: Th2数列{an}收敛,台VE>0,N,m,n>N,→am-an|<E
例 2 设 . , 3 , 2 , 1 , 1 1 ,0 1 1 = " + + +=> n x x xx n n n 证明数列{ }收敛, 并求 极限. an 解 n ≥ 2时, > n n n x a xxxa 求 n .lim ( 计算 n x ∞→ a 的逐次逼近 法, 亦即迭代法 ). 解 由均值不等式, 有 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + += n n n x a xx 2 1 1 }{ . n n n xa x a x ⇒=⋅≥ 有下界; 注意到对 有 ∀n, ax , n ≥ 有 n n n n x a a x a x x .1 ) ( 1 2 1 1 2 1 2 2 1 ⇒=⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +≤⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ += + ↘···, lim ax . n n = ∞→ 例4 设 ). 2 ( , 1 3 1 2 1 1 ++++= α ≥ αα α n an " 证明数列{ }收敛. an 三个重要常数: 例5 n n nL D 180 = sin ，证明数列 收敛 Ln }{ . 记该数列的极限为π . [1]P55 E5. 例6 n n n x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += 1 1 , 证明数列 收敛 }{ . 记该数列的极限为 . [1]P56 E6 n x e 例7 ,ln 1 3 1 2 1 1 n n bn " −++++= .证明数列 收敛 bn }{ . 称该数列的极限为 Euler 常数 cc = 90 664 215 577.0 , ". [1]P59 E9 和 E10 留为阅读，并注意以后更一般地解法。 二. 数列收敛的充要条件 —— Cauchy 收敛准则： 1. Cauchy 列： 2. Cauchy 收敛准则： Th 2 数列{ an }收敛， ε ∀∃>∀⇔ ε. , , , ,0 aaNnmN nm 16
(或数列{an}收敛,分VE>0,N,Vn>N,vp∈N a<8 ih2又可叙述为:收敛列就是 Cauchy列(此处“就是”理解为“等价于”) (简证必要性 例8设0<q<1,xn= qing+qsin√q+…+q"sin《q.试证明数列 例9设xn=1+11 证明{xn}是 Cauchy列[ljP63E2 设 证明{xn}不是Cacl列.[]P63E2 压缩数列的收敛性 称数列{xn}是压缩数列是指:存在0<k<1,使对Ⅶn≥2,有 skI 压缩数列是收敛数列 []P65E2414 1)(2)(4),2,3,4,6 习题课(2时) 设lmx2n=limx 证明:lin 设lim(a1+a2+…+an)存在,证明:lim-(a1+2a2+…+mn)=0 月→2n 证设a1 Sn,则有∑知a=nSn-∑Sk,和 S,-S=S Sk+·注意利用均值极限定理, iSn=im∑S4,im=0,即得所证 a1+a,+…+a 数列{an}满足lim a(-0<a<+∞),证明:
（ 或 数列{ an }收敛， ε ∀∃>∀⇔ ε. ,p , , ,0 + npn NnN N aa } Th 2 又可叙述为：收敛列就是 Cauchy 列. (此处“就是”理解为“等价于”). ( 简证必要性 ) 例 8 设 sin ,10 sin .sin 2 n n n +=<< "++ qqqqqqxq 试证明数列 { }收敛. n x 例 9 设 . 1 3 1 2 1 1 22 2 n xn "++++= 证明 是}{ Cauchy 列. [1]P63 E12. n x 设 n xn 1 3 1 2 1 1 "++++= . 证明 不是 }{ Cauchy 列. [1]P63 E 2.4 n x 压缩数列的收敛性: 称数列 xn }{ 是压缩数列是指: 存在 < k < 10 , 使对∀n ≥ 2 , 有 |||| +1 − nn ≤ − nn −1 xxkxx . 压缩数列是收敛数列 . [1]P65 E 2.4.14. Ex [1]P67—68 1⑴⑵⑷，2，3，4，6 . 习 题 课 （ 2 时 ） 设 axx n n n n = + = ∞→ ∞→ 2 12 lim lim . 证明: axn n = ∞→ lim . 设 (lim ) 21 n n + + + aaa ∞→ " 存在, 证明: 2( 0) 1 lim 21 =+++ ∞→ n n naaa n " . 证 设 , + 21 +"+ = Saaa nn 则有 ∑ ∑ , 和 = − = −= n k n k nk SnSka k 1 1 1 n S S n SSS n Ska n n n k nn k n k n k n k k ⎟ +−= ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ −= ∑ − ∑ =1 =1 =1 1 1 1 . 注意利用均值极限定理, ∑= ∞→ ∞→ = n k k n n n S n S 1 1 limlim , = 0lim∞→ n Sn n , 即得所证. 数列 an }{ 满足 lim ( ) 21 +∞<<∞−= +++ ∞→ aa n aaa n n " ，证明： 17
证设a1+a2+…+an=Sn,有一→>a,注意利用下式 S n n-1 n(n-1) n(n- n nn-l n→∞时,上式左端趋于零,右端第二项也趋于零,→→>0 例4设{xn}是无穷大量, lim y=b≠0.则{xnyn}和{}都是无穷大量 例5设x.=5.+2+ n=1,2,3,…证明数列{xn}收敛并求极限 证易见x>0 2+x.2+ {xn}是压缩的 例6设S是非空有上界的数集,SupS=agS.试证明在数集S中可取出严 格单调增加的数列{xn},使 lim x=a §3实数系基本定理简介(6时) 实数系连续性简介: 实数系:整数、有理数、有理数稠密但不是密接的; Hippasus发现 √2不是有理数,证明√2不是有理数;算术连续统假设及其破灭.实数系的建立 2.实数系连续性的直观描述: 实数系基本定理: 1.确界存在定理: 定义1最大数与最小数 定义2(上确界——最小上界) 定义2′(上确界——上界性与最小性)
= 0lim∞→ n an n . 证 设 , + 21 +"+ = Saaa nn 有 a, n Sn → 注意利用下式: , 1 1 )1( )1( )1(1 )1( 1 1 1 1 1 − −= − −− = − −− = − −− = − − − − − − − n S nn a nn San nn aSna nn nSSnS n S n S nn nnn nnn nn n n n ∞→ 时，上式左端趋于零，右端第二项也趋于零， →⇒ 0 n an . 例 4 设 }{ 是无穷大量, n x lim = ≠ 0 ∞→ byn n . 则 yx nn }{ 和 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n y x 都是无穷大量. 例 5 设 , 3 , 2 , 1 , " 2 1 1 , 2 1 = + = + = n x xx n n .证明数列{ }收敛,并求极限. n x 证 易见 > 0 . n x 1 1 1 1 1 4 1 )2)(2(2 1 2 1 − − − − + −≤ ++ − = + − + =− nn n n nn n n nn xx xx xx xx xx }{ n ⇒ x 是压缩的. 例 6 设 S 是非空有上界的数集, sup = α ∉ SS . 试证明在数集 中可取出严 S 格单调增加的数列 xn }{ , 使 = α.lim∞→ n n x § 3 实数系基本定理简介( 6 时 ) 实数系连续性简介： 实数系：整数 、有理数 、有理数稠密但不是密接的；Hippasus 发现 2 不是有理数 ，证明 2 不是有理数 ；算术连续统假设及其破灭 . 实数系的建立 . 2. 实数系连续性的直观描述 ： 二. 实数系基本定理： 1. 确界存在定理 ： 定义 1 最大数与最小数 . 定义 2 （ 上确界—— 最小上界 ）. 定义 2′ （ 上确界—— 上界性与最小性 ） . 18