《高等数学》课程教学资源：第二章 导数与微分（2.5）函数的微分

第五节函数的微分 一、微分的定义 微分的几何意义 三、基本初等函数的微分公式与微分运 算法则 四、微分在近似计算中的应用 ②0∞

第五节 函数的微分 二、微分的几何意义 三、基本初等函数的微分公式与微分运 算法则 四、微分在近似计算中的应用 一、微分的定义

微分的定义 引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其 边长由x变到x0+△x,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为x,面积为A,则A=x2,当x在x0取 得增量Δx时,面积的增量为 △4=(x0+Ax)2-x 04 x 2x0△x+(△x)2 关于x的△x→>0时为x 线性主部高阶无穷小 故△A≈2 称为函数在x0的微分 ②0∞

边长由 一、微分的定义 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 , 2 A = x 面积的增量为 0 x x x x 0 2 0 A = x x x 0 2 (x) 关于△x 的 线性主部 高阶无穷小 x →0 时为 故 称为函数在 x0 的微分 当 x 在 0 x 取 得增量 x 时, 0 x 变到 , 0 x + x 其

定义:若函数y=f(x)在点x的增量可表示为 △y=f(x0+Ax)-f(x0)=AAx+O(△x) (A为不依赖于△x的常数) 则称函数y=f(x)在点x可微,而A△x称为f(x)在 点x的微分记作d或df,即 dy= AAx 定理:函数y=f(x)在点x可微的充要条件是 y=f(x)在点x0处可导,且A=f(x0),即 dy=f(xo)a ②0∞

定义: 的微分, 若函数 在点 x0 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 y = f (x) 而 Ax 称为 记作 即 dy = Ax 定理: 函数 在点 x0 可微的充要条件是 = Ax + o(x) 即 dy = f (x )x 0 在点 可微

重要结论: 1、函数y=f(x)在点x可微的充要条件是 y=f(x)在点x处可导,且A=f(xo),即 dy=f(xo)△x 证:“必要性 已知y=f(x)在点x可微,则 △y=f(x0+△x)-f(x0)=A△x+O(△x) lim by=im(4+(△x) Ax→>0△xAx→>0 △ 故y=f(x)在点x的可导,且∫(x0)=A

1、函数 证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则 ( ) ( ) 0 0  y = f x + x − f x ) ( ) lim lim ( 0 0 x o x A x y x x   = +     →  → = A 故 = Ax + o(x) 在点 的可导, 且 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 dy = f (x )x 0 重要结论：

2、函数y=f(x)在点x可微的充要条件是 y=f(x)在点x处可导,且A=f"(x0),即 dy=f(xo)△x “充分性”已知y=f(x)在点x0的可导,则 △ Im f(x0) Ax→>0△x △ =f(xo)+a( lim a=0) △x->0 故△y=f(xo)Ax+a△x=f(x0)△x+O(△x) 线性主部((x0)≠O时) 即dy=f(x0)△x

2、函数 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 dy = f (x )x 0 “充分性” 已知 lim ( ) 0 0 f x x y x =     → =  +    ( ) 0 f x x y ( lim 0 ) 0 =  →  x y = f (x )x +x 故 0 ( ) ( ) 0 = f  x x + o x  线性主部 即 dy = f (x )x 0 在点 的可导, 则

说明:△y=f(xo)△x+o(△x) dy=f(xo)△x 当f"(x)≠0时 △ lim =Im x>0dy△x>0f(xo)△x lim ay f(x0)Ax→0△x 所以Ax→>0时△y与dy是等价无穷小,故当△x 很小时,有近似公式 △y≈d ②0∞

说明: f (x0 )  0 时 , dy = f (x )x 0 ( ) ( ) 0 y = f  x x + o x y y x d lim 0   → f x x y x    =  → ( ) lim 0 0 x y f x x    =  →0 0 lim ( ) 1 =1 所以 x → 0 时 y dy 很小时, 有近似公式 x y  dy 与 是等价无穷小, 当 故当

二、微分的几何意义 切线纵坐标的增量 dy=f(xo)Ax=tana△x d y=f(x 当△x很小时,△y≈dy 当y=x时,38 △ν=△x 0 称Δx为自变量的微分,记作dx x0+△x 则有dy=f(x)dx 从而=f(x)导数也叫作微商 ②0∞

二、微分的几何意义 dy = f (x )x 0 x + x 0 x y o y = f (x)  0 x y = tan x dy 当 x 很小时, y  dy 当y = x 时， 则有 dy = f (x)dx 从而 ( ) d d f x x y =  导数也叫作微商 切线纵坐标的增量 称x为 自变量的微分, 记作 dx y = x = dx 记

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 设u(x),vx)均可微,则 1.d(±v)=dd2.dC)=Cd(C为常数) 3. d(uv)=vdu+udv 4.d() vau- uav (v≠0) 5.复合函数的微分 y=f(u),=q(x)分别可微, 则复合函数y=f[y(x)]的微分为 dy=yx dr=f'luo'(x)dx-du dy=flu du 微分形式不变

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则 (C 为常数) 分别可微 , 的微分为 = f (u)(x)dx du dy = f (u)du 微分形式不变 5. 复合函数的微分 则复合函数 = du  dv = vdu + udv

例1、y=ln(1+e),求d y 解:1+e d(1+e) d(x2) 1+ 1+ 2 re e ②0∞

例 1 、 求 解 : 2 1 1 d x e y + = d ( 1 ) 2 x + e  + = 2 1 1 x e d ( ) 2 x e x x e x x 2 d 1 1 2 2   + = x e x e xx d 12 22 + = 2 x e

四、微分在近似计算中的应用 △y=f(x)Ax+o(△x) 当Ax很小时得近似等式 △y=f(x0+△x)-f(x0)≈f"(x0)△x f(x+Ax)≈f(x0)+f(x)△x 令x=x0+△x f(xaf(xo)+f()(x-xo) 使用原则:1)f(x),∫(x)好算 2)x与xo靠近 ②0∞

四、 微分在近似计算中的应用 ( ) ( ) 0 y = f  x x + o x 当 x 很小时, ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x  f (x )x 0 f (x + x)  f (x ) + f (x )x 0 0 0 x = x + x 令 0 使用原则: 1) ( ), ( ) ; f x0 f  x0 好算 2) . x 与x0 靠近 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 f x  f x + f  x x − x 得近似等式: