《高等数学》课程教学资源：第六章定积分的应用.doc_大学文库

《高等数学》Ⅱ一I课程教案第六章定积分的应用本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题,其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式,而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法教学目标与基本要求使学生掌握定积分计算基本技巧:使学生用所学的定积分的微元法 (元素法)去解决各种领域中的一些实际问题掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等) 、本章各节教学内容及学时分配第一节定积分的元素法 1课时第二节定积分在几何学上的应用3课时第三节定积分在物理学上的应用2课时、本章教学内容的重点难点: 找出未知量的元素(微元)的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法四、本章教学内容的深化和拓宽: 指导学生用元素法解决其本专业的实际问题。五、本章的思考题和习题: 第二节279页习题6-22,(1)、(3);3,4,5,11,12,19,25,28。第三节287页习题6-31,3,4,5,11。第一节定积分的元素法、内容要点 1、复习曲边梯形的面积计算方法,定积分的定义面积A=lm∑rAx=Mh 面积元素d4=f(x)dx vosa xI 2、让算面积的元素法步骤 (1)画出图形; (2)将这个图形分割成n个部分,这n个部分的近似于矩形或者扇形; (3)计算出面积元素 (4)在面积元素前面添加积分号,确定上、下限。二、教学要求与注意点掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一个实际问题的步骤。第二节定积分在几何学上的应用内容要点 1、在直角坐标系下计算平面图形的面积第六章定积分的应用第1页共6页

《高等数学》Ⅱ—Ⅰ课程教案第六章定积分的应用第 1 页共 6 页第六章定积分的应用本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。一、教学目标与基本要求：使学生掌握定积分计算基本技巧；使学生用所学的定积分的微元法（元素法）去解决各种领域中的一些实际问题；掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等）二、本章各节教学内容及学时分配：第一节定积分的元素法 1 课时第二节定积分在几何学上的应用 3 课时第三节定积分在物理学上的应用 2 课时三、本章教学内容的重点难点：找出未知量的元素（微元）的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法四、本章教学内容的深化和拓宽：指导学生用元素法解决其本专业的实际问题。五、本章的思考题和习题：第二节 279 页习题 6—2 2，（1）、（3）；3，4，5，11，12，19，25，28。第三节 287 页习题 6—3 1，3，4，5，11。第一节定积分的元素法一、内容要点 1、复习曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义面积 A   =  = = → b a n i lim f ( i ) xi f (x)dx 1 0   面积元素 dA = f (x)dx 2、计算面积的元素法步骤：（1）画出图形；（2）将这个图形分割成 n 个部分，这 n 个部分的近似于矩形或者扇形；（3）计算出面积元素；（4）在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。二、教学要求与注意点掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一个实际问题的步骤。第二节定积分在几何学上的应用一、内容要点 1、在直角坐标系下计算平面图形的面积 Y y=f(x) x0= a x1 x2 x3 xn= b X

《高等数学》Ⅱ—Ⅰ课程教案第六章定积分的应用第 2 页共 6 页方法一面积元素 dA =[ (x) (x)]dx 2 −1 ，面积 A = x x x b a [2 ( ) −1 ( )]d  第一步：在 D 边界方程中解出 y 的两个表达式 ( ) 1 y =  x ， ( ) 2 y =  x . 第二步：在剩下的边界方程中找出 x 的两个常数值 x = a ， x = b ；不够时由 ( ) 1  x ( ) 2 =  x 解出， a  x  b， ( ) ( ) 1 2  x  y   x ，面积 S = x x x b a [2 ( ) −1 ( )]d  方法二面积元素 dA =[ (y) (y)]dy 2 −1 ，面积 A = y y y d c [2 ( ) −1 ( )]d  第一步：在 D 边界方程中解出 x 的两个表达式 ( ) 1 x =  y ， ( ) 2 x =  y . 第二步：在剩下的边界方程中找出 y 的两个常数值 y = c ， y = d ；不够时由 ( ) 1  y ( ) 2 =  y 解出， c  y  d ， ( ) ( ) 1 2  y  x   y ，面积 S = y y y d c [2 ( ) −1 ( )]d  例 1 求 2 2 y = x − ， y = 2x +1 围成的面积解     = + = − 2 1 2 2 y x y x ， 2 2 1 2 x − = x + ， x = −1， x = 3 。当 −1  x  3 时 2 2 1 2 x −  x + ，于是面积 − = + − − = − + − = 3 1 3 1 2 2 3 3 2 3 ) 10 3 1 [(2x 1) (x 2)]dx (x x x 例 2 计算 2 , 4 2 y = x y = x − 围成的面积解由 2 x = 0.5y ， x = y + 4 得， y = −2, y = 4 ，当 −2  y  4 时 0.5 4 2 y  y + 面积= − + − 4 2 2 [ y 4 0.5y ]dy =18。 2、在曲边梯形 y = f (x) 、 y = 0、x = a 、x = b （ f (x)  0,a  b ）中，如果曲边 y = f (x) 的方程为参数方程为    = = ( ) ( ) y t x t   ，则其面积 A ydx b a = = (t)'(t)dt   ，其中 a = (),b = () 例 3 求 x 轴与摆线    = − = − (1 cos ) ( sin ) y a t x a t t , 0  t  2 围成的面积解面积  = −  2 0 2 a(1 cost) dt  + = − + 2 0 2 ) 2 1 cos2 (1 2cos dt t a t 2 0 2 ) 2 1 cos2 2sin 2 3 ( t a t t + = − + 2 = 3a 例 4 星形线     = = y a t x a t 3 3 sin cos ( a  0 )围成的面积. 解面积   = = − a ydx a t t t dt 0 0 2 2 3 2 4 4  sin (3cos )( sin ) =  2 − = 0 2 4 6 3 8 3 12 (sin sin )   a t t dt a y ( ) 2 y =  x D ( ) 1 y =  x a x b X Y d ( ) 1 x =  y ( ) 2 x =  y y D c x y x

《高等数学》Ⅱ—Ⅰ课程教案第六章定积分的应用第 3 页共 6 页 3、极坐标系下计算平面图形的面积。极坐标曲线  = () 围成的面积的计算方法：解不等式 ()  0 ，得到     。面积=      d 2 [ ( )] 2 1  4、平行截面面积为已知的空间物体的体积过 x 轴一点 x 作垂直于 x 轴的平面，该平面截空间物体的截面面积为 A(x) ， a  x  b ,则该物体的体积 V A x dx b a ( )  = 例 1 一空间物体的底面是长半轴 a = 10 ，短半轴 b = 5 的椭圆，垂直于长半轴的截面都是等边三角形，求此空间体的体积。解截面面积 ) 100 2 3 3 25(1 2 1 ( ) 2 x A x =  y y =  − − = = 10 10 V A(x)dx 25 3 − − = 10 10 2 3 3 100 ) 100 (1 dx x 5、旋转体体积在 [a,b] 上 f (x)  0 ，曲线 y = f (x) 、直线 x = a, x = b, y = 0 围成的曲边梯形 1）绕 x 轴旋转一周形成旋转体，其截面面积 ( ) ( ) 2 A x = f x ，旋转体体积  = b a V f (x)dx 2  。 2）绕 y 轴旋转一周形成旋转体：位于区间 [x,x+dx] 上的部分绕 y 轴旋转一周而形成的旋转体体积 ( ) ( ) ( ) 2 2 v   x + dx  f x −x f x  2xf (x)dx ，原曲边梯形绕 y 轴旋转一周形成的旋转体体积 V xf x dx b a 2 ( )  =  。例 2 摆线    = − = − (1 cos ) ( sin ) y a t x a t t (0  t  2) 与 x 轴围成的图形 1）绕 x 轴旋转形成的旋转体体积 V y dx a 2 2 0 =   a t dt 3 3 2 0 = (1− cos )    3 = a (1 3cost 3cos t cos t)dt 2 3 2 0 − + −   = 2 2 5 a 2）绕 y 轴旋转形成的旋转体体积    2 2 2 0 =  =  V x ydx a a t t t dt 3 2 2 0 ( − sin )(1− cos )   = a t t dt 2 2 0 3 2 [ (1− cos )    sin (1 cos ) ] 2 2 0 − t  − t dt   3 3 = 6 a 3）绕 y = 2a 旋转形成的旋转体的截面面积 [(2 ) (2 ) ] (4 ) 2 2  a − a − y = y a − y 。绕 y = 2a 旋转形成的旋转体体积 V y a y dx a (4 ) 2 0 = −    a (1 cost)(3 cost)(1 cost)dt 3 2 0 = − + −    a (3 5cost cos t cos t)dt 2 3 2 0 3 = − + +    2 3 = 7 a 例 3 求心形线  = 4(1+ cos) 与射线  = 0、 =  / 2 围成的绕极轴旋转形成的旋转体体积解心形线的参数方程为 x 4(cos cos ) 2 =  +  ， y = 4sin(1+ cos) ，旋转体体积 V y dx 2 8 0 =  =        64 sin (1 cos ) sin (1 2cos )d 2 2 0 / 2 − +  +  =160 6、平面曲线的弧长曲线方程自变量的范围弧微分 2 2 ds = dx + dy 弧长 s ds b a = y y=2a O 2a x

《高等数学》Ⅱ—Ⅰ课程教案第六章定积分的应用第 4 页共 6 页 y x 显函数 y = f (x) a  x  b ds 1 f ' (x)dx 2 = + s f x dx b a 1 ' ( ) 2 = +  参数方程    = = ( ) ( ) y y t x x t   t   ds x' (t) y' (t)dt 2 2 = + s x' (t) y' (t)dt 2 2 = +    极坐标 r = r()     ds r r d 2 2 = + '    s r r d 2 ' 2 = +  表中当 r = r() 时， x = r cos ， y = rsin ， x' = r'()cos − r()sin ， y' = r'()sin + r()cos ，弧微分 ds x y d 2 2 = ' + ' r r d 2 2 = + ' 。例 1 求摆线    = − = − (1 cos ) ( sin ) y a t x a t t (0  t  2)(a  0) 的长解 dx = a(1−cost)dt ，dy = asintdt ，ds dx dy a (1 2cost 1)dt 2a 2 2 2 = + = − + = dt t 2 sin 。弧长 a t dt a t s a 8 2 4 cos 2 2 sin 2 0 2 0 = = − =    例 2 摆线    = − = − (1 cos ) ( sin ) y a t x a t t 上求分摆线第一拱成 1：3 的点的坐标解设 A 点满足要求，此时 t = c 。根据例 2 摆线第一拱成弧长 8a ，ds = 2a dt t 2 sin 。由条件弧 OA 的长为 2a ，即 dt a t a c 2 2 2 sin 0 =  , 3 2 c = ,点 A 的坐标为 ) 2 3 ) , 2 3 3 2 (( − a a  例 3 求星形线 3 2 3 2 3 2 x + y = a 的全长解星形线的参数方程为     = = y a t x a t 3 3 sin cos , 0  t  2 , dx 3acos tsintdt 2 = − , dy a t tdt 2 = 3 cos sin ， ds a t t t t 4 2 2 4 = 3 cos sin + cos sin dt = 3a |sint cost | dt . 弧长 s 4 2 3asint costdt 6a 0 = =   sin t 6a 2 0 2 =  。例 4 求对数螺线   2 = e 上  = 0 到  = 2 的一段弧长解   2 ' = 2e ，弧长     s d 2 ' 2 2 0 = +  =    e d 2 2 0 5  = ( 1) 2 5 4 −  e 二、教学要求与注意点掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积第三节定积分在物理学中的应用一、内容要点 1、变力沿直线运动所做的功如左图，设 dx 很小，物体在变力 F(x) 的作用下从点 x 移动到点 x+dx 所做的功元素为 F(x)dx，从点 a 移动到点 b, 在变力 F(x) 所做的功 w F x dx b a ( )  = 例 1 一物体按规律 2 x = ct 直线运动，所受的阻力与速度的平方成正比，计算物体从 y A O 2a x F(x) . • • • • • O a x x+dx b x

《高等数学》Ⅱ一I课程教案 x=0运动到x=a时,克服力所做的功解位于x处时物体运动的速度=2=2,(=2√a,所受 o xx+dx 的阻力F=k4cx=4ckx。如图从点x运动到点x+dx所做的功元素 dh=4ckdx。物体从0运动到a时,克服力所做的功w=4ck=2kc 例2一个圆拄形水池,底面半径5米,水深10米,要把池中的水全部抽出来,所做的功等于多少?(水的密度p=1) 解如图,将位于x处、厚度为dx的薄层水抽出来,其质量 △M=密度x体积=p·x53dx=25x,当薄层水的厚度d很小时, 所做的功元素dh=25xd。要把池中的水全部抽出来,所做的功 =25mxax=25mp-=125×98×3.14p=38465p(k 例3一条均匀的链条长28m,质量20kg,悬挂于某建筑物顶部,需做多少功才能把它全部拉上建筑物顶部解如图,将位于x处、长度为t的一小段拉到顶部,其质量为2a=5a 所做的功元素d=xdx。全部拉上建筑物顶部所做的功v 5 xdx=x=280(k) 2、液体的压力例4一块矩形木板长10米,宽5米。木板垂直于水平面,沉没于水中,其一宽与水面一样高,求木板一侧受到的压力。(水的密度p=1) 解如图,木板在x处所受的压强为xp。位于x处、长为5米、宽为dx 米的小矩形受到的压力元素dF=xp5dk=5xdk(吨)。整块木板一侧受到的压力F=5x=20≈250(吨)。 x dx b x 例5如图一质量为m的质点位于原点,一根密度为ρ、长为的均匀细棒区间a+ 上,求细棒对质点的引力解位于x处、长为ax的小段,其质量为atkx,对质点的引力元素dF=k mpx 细棒对质点的引力F= k aa+/ a(a+n) 例6设星形线x=acos3t,y=asn3t上每一点处的线密度的大小等于该点到原点的距离的立方,求星形线在第一象限的弧段对位于原点处的单位质点的引力解如图,位于(xy)处、长为d的小段,到原点的距离r=x2+y2, 线密度为r3,其质量为rs,其中d=√x2+d2=3 asintcostdt。该小段y 对质点的引力元素=.→d=kn,其水平分量dF1=dF.x=kd,铅直分量d=dF=ks,因此F1=koso=06n2,,=062 第六章定积分的应用第5页共6页

《高等数学》Ⅱ—Ⅰ课程教案第六章定积分的应用第 5 页共 6 页 • • • • O a x dx b x • • • • O x x+dx a x x = 0 运动到 x = a 时，克服力所做的功。解位于 x 处时物体运动的速度 ct dt dx = 2 cx x c = 2c  = 2 ，所受的阻力 F = k4cx = 4ckx 。如图从点 x 运动到点 x+dx 所做的功元素 dw = 4ckxdx 。物体从 0 运动到 a 时，克服力所做的功 w kcxdx a kc a b 2 = 4 = 2  。例 2 一个圆拄形水池，底面半径 5 米，水深 10 米，要把池中的水全部抽出来，所做的功等于多少？（水的密度  =1）解如图，将位于 x 处、厚度为 dx 的薄层水抽出来，其质量 M = 密度  体积   5 dx 25dx 2 =   = ，当薄层水的厚度 dx 很小时，所做的功元素 dw = 25xdx 。要把池中的水全部抽出来，所做的功 125 9.8 3.14 38465 ( ) 2 25 25 10 0 2 10 0 k J x w = xdx = r =    =   例 3 一条均匀的链条长 28m ，质量 20kg ，悬挂于某建筑物顶部，需做多少功才能把它全部拉上建筑物顶部解如图，将位于 x 处、长度为 dx 的一小段拉到顶部，其质量为 dx dx 7 5 28 20 = ，所做的功元素 dw xdx 7 5 = 。全部拉上建筑物顶部所做的功 280( ) 14 5 7 5 28 0 2 28 0 w = xdx = x = k J  2、液体的压力例 4 一块矩形木板长 10 米，宽 5 米。木板垂直于水平面，沉没于水中，其一宽与水面一样高，求木板一侧受到的压力。（水的密度  =1）解如图，木板在 x 处所受的压强为 x 。位于 x 处、长为 5 米、宽为 dx 米的小矩形受到的压力元素 dF = x5dx = 5xdx （吨）。整块木板一侧受到的压力 250 2 5 5 10 0 2 10 0 = =  =  x F xdx （吨）。 3、引力例 5 如图一质量为 m 的质点位于原点，一根密度为  、长为 l 的均匀细棒区间 [a,a + l] 上，求细棒对质点的引力解位于 x 处、长为 dx 的小段，其质量为 dx ，对质点的引力元素 2 x m dx dF k  =  。细棒对质点的引力 dx x km F a l a 2   + = ( ) ) 1 1 ( a a l k ml a a l k m + = + =  −   例 6 设星形线 x a t 3 = cos ，y a t 3 = sin 上每一点处的线密度的大小等于该点到原点的距离的立方，求星形线在第一象限的弧段对位于原点处的单位质点的引力。解如图，位于 (x, y) 处、长为 ds 的小段，到原点的距离 2 2 r = x + y ，线密度为 3 r ，其质量为 r ds 3 ，其中 2 2 ds = dx + dy = 3asint costdt 。该小段对质点的引力元素 krds r r ds dF = k  = 2 3 ，其水平分量 kxds r x dFx = dF  = ，铅直分量 kyds r y dFy = dF  = 。因此 3 2 2 0 Fx = k acos t 3asint costdt = 0.6k a   , 2 F 0.6ka y = y ds x dx

《高等数学》课程教学资源：第六章 定积分的应用

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