第二节函数的求导法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、基本求导法则与导数公式 ②0∞
第二节 函数的求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、基本求导法则与导数公式 一、函数的和、差、积、商的求导法则
函数的和、差、积、商的求导法则 定理1.函数=l(x)及v=v(x)都在x具有导数 →l(x)及v(x)的和、差积、商(除分母 为0的点外)都在点x可导,且 (1)[v(x)±v(x)y=l(x)±v(x) (2)[(x)v(x)=l(x)w(x)+l(x)v(x) u(x (3) )′a(x)v(x)-l(x)v(x (v(x)≠0) v(x 1(x ②0∞
一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理1. 的和、差、积、商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且 (v(x) 0)
(1)(ty)y=l± 证:设f(x)=l(x)±w(x),则 f(x)=lim f(x+h)-f(x) h->0 h [(x+h)±v(x+h)]-[(x)±v(x)] m h->0 h -lim u(x+h)-u(x) ±lim v(x+h)-v(x) h->0 h h->0 h l(x)±y(x) 故结论成立 此法则可推广到任意有限项的情形例如 例如,(u+y-w)=+v-w ②0∞
此法则可推广到任意有限项的情形. 证: 设 , 则 (1) (u v) = u v f (x) = u(x) v(x) h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → h u x h v x h u x v x h [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] lim 0 + + − = → h u x h u x h ( ) ( ) lim 0 + − = → h v x h v x h ( ) ( ) lim 0 + − → = u (x) v (x) 故结论成立. 例如
(2)(uv=u'v+uv 设f(x)=l(x)(x),则有 f(x)=lim/(x+)-1(x) lin u(x+h)v(x+h-u(x)v(x) h→>0 h h→>0 u(x+)u( v(x+h)+u(x) (x+h)-v(x) m h h l(x)v(x)+u(x)(x)故结论成立 推论:1)(Cu)=Cl’(C为常数) 2)(uvw)=u'vw+uv'w+uvw ②0∞
(2) (uv) = u v +uv 证: 设 f (x) = u(x)v(x) , 则有 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → h u x h v x h u x v x h ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 + + − = → = u (x)v(x) + u(x)v (x) 故结论成立. + − = → h u x h h ( ) lim 0 u(x) v(x + h) − + h v(x) u(x) v(x + h) 推论: 1) (Cu ) = 2) (uvw) = Cu u vw+ uv w+ uvw ( C为常数 )
(3)(4) uy-uy 证:设f(x) 则有 u(x+h u(x f(x)=lim f(x+h)-f(x v(x+h) v(x) m h→>0 h h->0 h u(x+h)-u(x) v(x+h)-v(x) u(x h m h→>0 v(x+h)v(r) u(xv(x-u(xv(x) 故结论成立 C y2(C为常数) ②0∞
推论 h : u(x)v(x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v x h v x u x h v x u x v x h + + − + (3) ( ) 2 v u v u v v u − = 证: 设 f (x) = 则有 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → h h lim →0 = , ( ) ( ) v x u x ( ) ( ) v x h u x h + + ( ) ( ) v x u x − + = → ( ) ( ) lim h 0 v x h v x h u(x + h) − u (x) v(x) h v(x + h) − u(x) − v(x) 故结论成立. ( ) 2 v Cv v C − = ( C为常数 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 v x u x v x − u x v x =
例、求证(tanx)=secx,(cscx)=- csc x cot x 证:(tanx)y sin x_(sin x)'cos x-sin x(cos x) COSX COS X cos x+sin x COs X (sin x) COS x (cSc x) Sin x SIn x cscx cotx 类似可证:(cotx)=-csc2x,( sec x)= secx tan x
例、 (csc x) = sin x 1 x 2 sin = − (sin x) x 2 sin = 求证 证: = x x x cos sin (tan ) = x 2 cos (sin x)cos x − sin x (cos x) = x 2 cosx 2 cos x 2 + sin x 2 = sec − cos x = −csc xcot x 类似可证: (cot ) csc , 2 x = − x (sec x) = sec x tan x
二、反函数的求导法则 定理2.设y=f(x)为x=f(y)的反函数,f(y)在 y的某邻域内单调可导,且[f(y)≠0 或 d f(x) If r dx 证:在x处给增量Δκ≠0,由反函数的单调性知 △ △y=f(x+△x)-f(x)≠0 △ 且由反函数的连续性知Ax→>0时必有y→>0,因此 f(x)=lin△y Im △x->0 Ax4y0△y[f(y) ②0∞
二、反函数的求导法则 f (x) = 定理2. y 的某邻域内单调可导, 证: 在 x 处给增量 由反函数的单调性知 且由反函数的连续性知 因此 ( ) ( ) , 设 y = f x 为x = f −1 y 的反函数 f −1 ( y) 在 [ ( )] 0 1 − 且 f y d d = x y 或 x 0, y = f (x + x) − f (x) 0, = x y y x x → 0时必有y → 0, x y f x x = →0 ( ) lim lim →0 = y y x y x d d = 1 [ ( )] 1 − f y 1 1 [ ( )] 1 − f y 1 1
例、求反三角函数及指数函数的导数 解:1)设y= arcsinx,则x=siny,y∈(-x,x) cosy>0,则 arcsine SIn COS SIn 利用 (arccos x) arccos arcsinx 2 类似可求得 (arctan x) (arccot x) 1+x 1+x
例、 求反三角函数及指数函数的导数. 解: 1) 设 则 ) , 2 , 2 ( y − (sin y) cos y 1 = y 2 1 sin 1 − = 类似可求得 x arcsin x 2 arccos = − 利用 cos y 0 , 则
设y=a(a>0,a≠1),则x= loga y,y∈(0,+∞) yIna=a Ina (loga y) yIna 特别当a=e时,(e)’=ex 小结 arcsin x arccos ( arctan x (arc cot x) 1+x 1+x (a=a Ina e e
2) 设 y = a (a 0 , a 1) , x 则 x = log y , y(0 , + ) a (log ) 1 = y a 1 = y ln a 1 = y ln a x x (e ) = e (arcsin x) = (arccos x) = (arctan x) = (arccot x) = a a a x x ( ) = ln x x (e ) = e 特别当 a = e 时, 小结:
三、复合函数求导法则 定理3=g(x)在点x可导,y=f()在点=g(x) 可导复合函数y=fg(x)在点x可导,且 d y =f()g(x) d 证:y=f(x)在点可导故 lim ay=r( △→>0△ Ay=f()A+aAM(当△→>0时a→>0) △ 故有 y ∫( +a (△x≠0 △x △—△ x d △ Il △l lim f(u)+a dxAx→>0△xAx->o f'(u)g'(x) △x△x
三、复合函数求导法则 在点 x 可导, = → lim x x 0 y x y x = →0 lim d d 定理3. 在点 可导 复合函数 且 ( ) ( ) d d f u g x x y = 在点 x 可导, 证: y = f (u) 在点 u 可导, 故 lim ( ) 0 f u u y u = → y = f (u)u +u （当 时 ) 故有 = f (u)g (x) u y = f (u) + ( ) ( 0) + = x x u x u f u x y