第十节 闭区间上连续函数的性质 有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理 三、一致连续忙 ②0∞
第十节 闭区间上连续函数的性质 一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理 三、一致连续性
有界性与最大值最小值定理 定理1在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界且 定能取得它的值和最小值. 即:设∫(x)∈C[a,b],则彐51;2∈[a2b]使 f(s= min f(x) a<x≤b V y=f(r) f(s2)=max f(x 0 a5 52 bx 注意:若函数在开区间上连续,或在闭区间内有间断 点,结论不一定成立 ②0∞
一、有界性与最大值最小值定理 注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 定理1.在闭区间上连续的函数 即: 设 f (x)C[a, b], o x y a b y = f (x) 1 2 则 , [ , ], 1 2 a b 使 ( ) min ( ) 1 f f x a xb = ( ) max ( ) 2 f f x a xb = 一定能取得它的值和最小值. 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有界且 点
例如 x+1.0<x<1 f(x) x+3.1<x<2 也无最大值和最小值 ②0∞
例如、 x o y 1 1 2 2 也无最大值和最小值
零点定理与介值定理 定理2(零点定理)f(x)∈C|a,b,y1,=f(x) 且f(a)f(b)<0 至少有一点 b ξ∈(a,b),使f()=0.(证明略) 定理3.(介值定理)设f(x)∈C[a,b],且f(a)=A, f(b)=B,A≠B,则对A与B之间的任数C,至少有 点∈(a,b),使∫(2)=C ②0∞
二、零点定理与介值定理 定理2. ( 零点定理 ) 且 至少有一点 使 x y o a b y = f (x) ( 证明略 ) 定理3. ( 介值定理 ) 设 f (x)C[a, b], 且 f (a) = A, f (b) = B, A B , 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 一点 使 至少有
: y=f(x) 作辅助函数 (x)=f(x)-C 则(x)∈C[a,b],且 p(a)y(b)=(4-C(B-C)<0 故由零点定理知,至少有一点∈(a,b),使()=0, 即 f(5)=C 推论:在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最 大值之间的任何值 ②0∞
证: 作辅助函数 (x) = f (x) −C 则 (x)C[a, b] , 且 (a) (b) = (A−C)(B −C) 故由零点定理知, 至少有一点 使 即 推论: A o b x y a y = f (x) B C 在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最 大值之间的任何值
例1、证明方程x3-4x2+1=0在区间(0,1)内至少有 个根 证:显然f(x)=x3-4x2+1∈C0.,1,又 f(0)=1>0,f(1)=-2<0 故据零点定理,至少存在一点∈(0,1),使f()=0,即 +1=0 ②0∞
例1、证明方程 一个根 . 证: 显然 又 故据零点定理, 至少存在一点 使 即 在区间 内至少有
*三.一致连续性 已知函数f(x)在区间I上连续,即 Vx0∈l,∨E>0,3δ>0,当x-x00,存在>0,对任意的 x1,x2∈I,当x1-x2|<8时,都有(x)-f(x2)<6 则称f(x)在I上一致连续 显然:f(x)在区间I上一致连续 f(x)在区间连续
*三. 一致连续性 已知函数 在区间 I 上连续, 即: 一般情形, , . 与 x0 都有关 就引出 了一致连续的概念 . 定义: 对任意的 都有 在 I 上一致连续 . 显然:
例如、 f(x)=1∈C(0,1,但不一致连续 因为VE>0(0E 这说明f(x)=1在(0,1]上不一致连续 定理.若f(x)∈Ca,b],则f(x)在[a,b上一致连续 ②0∞
例如、 但不一致连续 . 因为 取点 则 可以任意小 但 这说明 在 ( 0 , 1 ] 上不一致连续 . 定理. 上一致连续
内容小结 设f(x)∈C[a,b],则 1.f(x)在[a,b]上有界 f(x)在[a,b]上达到最大值与最小值, 3.f(x)在[a,b]上可取最大与最小值之间的任何值; 4.当f(a)f(b)<0时,必存在5∈(a,b),使f()=0 ②0∞
内容小结 在 上达到最大值与最小值; 上可取最大与最小值之间的任何值; 4. 当 时, 必存在 使 上有界; 在 在
