2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 基础部分 第一课微积分 第3章导数概念、性质与计算 3.1导数概念 导数定义与概念是一元函数微分学的核心内容,对它的背景与概念,应从极限的角度去认识, 并且应把导数的定义看作一种标准极限模式 由导数概念本身,可以得到一系列重要性质,而这些性质是研究函数性态的重要依据与工具。 在计算方面,应训练准确快速的导数计算能力。在学习中要掌握好基本初等函数的导数公式,导 数的四则运算法则和复合函数的求导法则,以及反函数、隐函数和由参数方程确定的函数的求导 公式及要点 3.1.1导数定义及其变形形式 定义31设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义 △x=x-x0,Ay=f(x0+△x)-f(x0) △ lim f(x0+△x)-f(x0) f(x0) △x→>0△ f(xo=lim f(x-f(o) 导数(x0)的几何意义:切线斜率 等价性描述: △y(x0)=A+a(A) △ 且A=f(x0).其中a(△x)是△x→>0时的无穷小量进一步可改写为 4f(x0)=∫(xo)x+a(△x)·Ax ek f(x)=f(xo)+f(xo )Ax+ B(Ax) 其中/(△x)=a(△x)·△x为△x→>O时的高阶无穷小量 导数定义的描述,还可以扩展理解为 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 1-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 基础部分 第一课 微积分 第 3 章 导数概念、性质与计算 3.1 导数概念 导数定义与概念是一元函数微分学的核心内容，对它的背景与概念，应从极限的角度去认识， 并且应把导数的定义看作一种标准极限模式。 由导数概念本身，可以得到一系列重要性质，而这些性质是研究函数性态的重要依据与工具。 在计算方面，应训练准确快速的导数计算能力。在学习中要掌握好基本初等函数的导数公式，导 数的四则运算法则和复合函数的求导法则，以及反函数、隐函数和由参数方程确定的函数的求导 公式及要点。 3．1．1 导数定义及其变形形式 定义 3.1 设函数 y = f (x) 在点 的某邻域内有定义， 0x 0 ∆x = x − x ， ( ) ( ) 0 0 ∆y = f x +∆x − f x ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 f x x f x x f x x y x x = ′ ∆ +∆ − = ∆ ∆ ∆ → ∆ → 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x x f x f x f x x − − ′ = ∆ → 导数 ( ) 0 f ′ x 的几何意义:切线斜率。 等价性描述： ( ) ( ) 0 A x x f x = + ∆ ∆ ∆ α , 且 ( ) 0 A = f ′ x 。其中α(∆x)是∆x → 0时的无穷小量。 进一步可改写为 ∆f (x ) = f ′(x )∆x + (∆x)⋅∆x 0 0 α 或 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 f x = f x + f ′ x ∆x + β ∆x 其中 β (∆x) =α(∆x)⋅∆x 为∆x → 0时的高阶无穷小量。 导数定义的描述，还可以扩展理解为 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 1 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 f(xo)=lim f(xo+a(△x)-f(x0) △x->0 a(Ar) 定义3.2如果 △ f(xo+△x)-f(x0) m Ax→>0△x△x→>0 存在,则称此极值为(x)在x处的左导数,记为( 0):如果 △ y f(x0+△x)-f(x0) Ax→>0△xAx->0 △x 存在,则称此极值为f(x)在x0处的右导数记为f(x) 显然由极限存在的充要条件,f(x)在x0处可导的充分必要条件是∫(x)在x0处 的左、右导数都存在,且相等 f(b)=f4(a) 当我们说∫(x)在闭区间[a,b]上可导时,是指∫(x)在(a,b)内每一点都可 导,并且f(a)与厂(b)均存在 例3.1 im x[sinIn(1+-)-sinIn(1+J= X 【解】令 sinIn(1+ 3t)-sin In(1+t) 原极限=1m [sinIn(1+3t)-sinIn(1+ort=0=2 例32若广"(a)=k存在,则 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com -2-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 ( ) ( ( )) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x f x x f x f x x ∆ + ∆ − ′ = ∆ → α α 定义 3.2 如果 x f x x f x x y x x ∆ +∆ − = ∆ ∆ − → − ∆ → ∆ ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 存在，则称此极值为 f (x)在 处的左导数，记为 ；如果 0x ( ) 0 f x − ′ x f x x f x x y x x ∆ +∆ − = ∆ ∆ + → + ∆ → ∆ ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 存在，则称此极值为 f (x)在 处的右导数，记为 。 0x ( ) 0 f x + ′ 显然由极限存在的充要条件， f (x)在 处可导的充分必要条件是 0x f (x)在 处 的左、右导数都存在，且相等 0x f− ′(b) = f (a) + ′ 。 当我们说 f (x)在闭区间[a,b]上可导时，是指 f (x)在 内每一点都可 导，并且 (a,b) f (a) + ′ 与 f (b) − ′ 均存在。 例 3.1 + − + = →∞ )] 1 ) sin ln(1 3 lim [sin ln(1 x x x x 。 【解】令 x t 1 = ，则 原极限＝ t t t t sin ln(1 3 ) sin ln(1 ) lim 0 + − + → = [sin ln(1+ 3t) − sin ln(1+ t)]′ | t=0= 2。 例 3.2 若 f ′(a) = k 存在，则 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 2 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 lim h f(a-5)-f(a h (A)-k。(B)k。(c)0.(D)不存在。 解】,imhf(a-7)-f(a) h→》+0 f(a-)-f(a) f(a+1)-f( t→>0 f(a)=-f(a)=-k 上述第最后用到了导数存在的充要条件:左右导数存在且相等,因此应选(A) x arctan >0 例3.3设f(x 兀,sinx-1).x≤0 讨论∫(x)的可微性,若可微,求广(x)并讨论其连续性 解1首先(x)在x=O处连续。再由初等函数可导性的结论,只须讨论∫(x)在 x=0处的可微性,为此考虑极限 x arctan f(0)=1im x丌 存在, >0 X SInx f(0= lim 丌 f(0 x 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 3-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − →+∞ ) ( ) 1 lim ( f a h h f a h （ ）。 （A）− k 。 （B）k 。 （C）0。 （D）不存在。 【解】 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − →+∞ ) ( ) 1 lim ( f a h h f a h h f a h f a h 1 ) ( ) 1 ( lim − − − = − →+∞ t f a t f a t ( ) ( ) lim 0 + − = − → − = − f ′(a) = − f ′(a) = −k. − 上述第最后用到了导数存在的充要条件：左右导数存在且相等，因此应选（A）。 例 3.3 设 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − ≤ > = ( 1), 0 2 , 0 1 arctan ( ) sin e x x x x f x π x , 讨论 f (x)的可微性，若可微，求 f ′(x) 并讨论其连续性。 【解】 首先 f (x)在 x = 0 处连续。再由初等函数可导性的结论, 只须讨论 f (x)在 x = 0 处的可微性，为此考虑极限 2 1 arctan (0) lim 0 π ′ = = + → + x x x f x 存在， 2 1 lim 2 (0) sin 0 π π = − ′ = − → − x e f x x = (0) +f ′ 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 3 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦100清华大学理科楼1ll电话:627381785 因此 f(x)在x=0 处可微,结论为 f∫(x)在(∞,+∞)上处处可微 arctan x>0 x x=0 T COSX sIn x e x0 ∫(x)处处连续 例34设∫(O)=0,则f(x)在x=0处可导的充要条件为() t bh2/(I-cosh) hmh/d-e) (c) lim-f(h).o lim [f(2h)-f(h)] h→>0h h→>0h 【解】答案应为(B),因为(B)的极限存在等价于极限 h lim h f(0 um h→>0 h→>0h 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 4-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 因此 f (x)在 x = 0 处可微，结论为： f (x)在(−∞,+∞)上处处可微。 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + − ′ = , 0 2 cos , 0 2 , 0 2( 1) 1 arctan ( ) sin 2 3 e x x x x x x x f x π x π ， (0) 2 lim ( ) 0 f x f x ′ = = ′ → π ，于是 f ′(x) 在 x = 0 处连续。结论为： f ′(x) 处处连续。 例 3.4 设 f (0) = 0，则 f (x)在 x = 0 处可导的充要条件为（ ）。 (A) (1 cos ) 1 lim 2 0 f h h h − → 。 (B) (1 ) 1 lim 0 h h f e h − → 。 (C) ( ) 1 lim 3 2 0 f h h→ h 。(D) [ (2 ) ( )] 1 lim 0 f h f h h h − → 。 【解】答案应为(B)，因为(B)的极限存在等价于极限 h e e f e h h h h − − − → 1 1 (1 ) lim 0 h e e f e f h h h h h − ⋅ − − − = → → 1 lim 1 (1 ) (0) lim 0 0 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 4 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 h h 存在,而1m = Im 1又存在,故极限 h→>0h h im0 零的方式是任意的。可知 ∫(0)存在 并且有 f(1-e")-f(0) Im f'(0) h→>0 i对,是因为h→>0时,h2→>0+,不合导数定义。考虑(0,极限 lim-f(h') h→>0h limf(h).lim h-0 h h→>0 hh im,3f(h3)·0存在,不能保证 hl h→>0 lim,3f(h3)的存在,因此(亦不对,至于选项0,极限表达式中缺少 h→>0h f(O),由极限运算法则,考虑 +【(f(2h)-f(0)-(f(h)-f(0) Im f(2h f(h 的存在不能保证llm 或lim 的存在性,所以①)亦不对 h→>0hh→>0h 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 5-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 存在， 而 lim 1 1 lim 0 = − − = − → h h h e h h 又 存 在，故 极 限 h h h e f e f − − − → 1 (1 ) (0) lim 0 存在，若记 h α(h) = 1− e ，则α(h) 趋于 零的方式是任意的。可知 f ′(0) 存 在 ，并且有 (0) 1 (1 ) (0) lim 0 f e f e f h h h = ′ − − − → 。 (A)不对，是因为h → 0时， → + 0 2 h ，不符合导数定义。考虑(C)，极限 = → ( ) 1 lim 3 2 0 f h h h ( ) 1 lim 3 3 0 f h h→ h = 2 3 0 lim h h h ⋅ → ⋅ ( ) 0 1 lim 3 3 0 = ⋅ → f h h h 存在，不能保证 ( ) 1 lim 3 3 0 f h h→ h 的存在，因此 (C)亦不对。至于选项(D)，极限表达式中缺少 f (0) ，由极限运算法则，考虑 [( (2 ) (0)) ( ( ) (0))] 1 lim 0 f h f f h f h h − − − → 的存在不能保证 h f h h (2 ) lim →0 或 h f h h ( ) lim →0 的存在性，所以(D)亦不对。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 5 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 1-cos x>0 例35设(x)三 其中g(x)是有界函数,则f(x) x2g(x)x≤0 在x=0处有(D)。 (A)极限不存在。(B)极限存在,但不连续。 (C)连续,但不可导。(D)可导 【解】首先考查x=0处的左右极限。 COS x lim f(x)=lim lim 0 x→>0 0 x>02√x limf(x)=limx2g(x)=0(因为g(x)有界) 0 因此limf(x)=f(0)=0,故f(x)在x=0处连铁。再考查 x->0 x=0处的左右导数是否存在。 f(x)-f(0 lim xg(x)=0 x->0 f(x)-f(0 0+ COSX lim lim 0 >0+x.√x 2x 3/2 因此f(0)与f(0)均存在,且相等 于是f(x)在x=0处可导,且"(0)=0 答案为(D)。 3.1.2由函数在一点可导决定的函数局部性质 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com -6-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 例 3.5 设 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > − = ( ) 0 0 1 cos ( ) 2 x g x x x f x x ，其中 g(x) 是有界函数，则 f (x) 在 x = 0 处有（ D ）。 (A) 极限不存在。 (B)极限存在，但不连续。 (C) 连续，但不可导。(D) 可导。 【解】首先考查 x = 0处的左右极限。 0 2 lim 1 cos lim ( ) lim 2 0 0 0 = = − = → + → + → + x x x x f x x x x lim ( ) lim ( ) 0(因为 2 0 0 = = → − → − f x x g x x x g(x) 有界) 因此 lim ( ) (0) 0 0 = = → f x f x ，故 f (x)在 x = 0 处连续。 再 考 查 x = 0 处的左右导数是否存在。 lim ( ) 0 ( ) (0) lim 0 0 = = − → − → − xg x x f x f x x x f x f x ( ) (0) lim 0 − → + 0 2 lim 1 cos lim 3/ 2 2 0 0 = = ⋅ − = → + → + x x x x x x x 因此 (0) +f ′ 与 (0) _f ′ 均存在，且相等。 于是 f (x)在 x = 0 处可导，且 f ′(0) = 0 ， 答案为(D)。 3．1．2 由函数在一点可导决定的函数局部性质 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 6 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 性质1当f(x)在x0处可导时,f(x)必然存在x0处连续。但必须注意到:f(x) 在x0处连续时,却不一定在x0处可导 性质2设函数∫(x)连续,且f(O)>0,则存在O>0,使得对任意的 x∈(0,。δ)有∫(x)>∫(0),对任意的x∈(-0,0)有 f(x)0,则由极限保序性可推断 0x-0 存在δ>0,使当x∈(-6,0)或x∈(0,6) f(x)-f(0 0 0 即f(x)-f(0)与x应保持同号,因此对任意的x∈(0,8)有 f∫(x)>f(0),对任意的X∈(-0,0)有f(x)0x Sin x 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 7-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 性质 1 当 f (x)在 处可导时， 0x f (x)必然存在 处连续。 但必须注意到： 0x f (x) 在 处连续时，却不一定在 处可导。 0x 0x 性质 2 设函数 f (x) 连续，且 f '(0) > 0 ，则存在δ > 0 ，使得对任意的 x ∈(0,δ ) 有 f (x) > f (0) ， 对 任意的 x ∈(−δ ,0) 有 f (x) − − ′ = → x f x f f x ，则由极限保序性可推断 存 在 δ > 0 ， 使 当 x ∈(−δ ,0) 或 x ∈(0,δ ) 时 ， 0 0 ( ) (0) > − − x f x f ， 即 f (x) − f (0) 与 x 应保持同号，因此对任意的 x ∈(0,δ ) 有 f (x) > f (0)，对任意的 x ∈(−δ ,0)有 f (x) < f (0) 。 注：只由一点处的导数正负号，不能决定函数的增减性。函数的增减性属于区间上或全局性质。 例3.6 设 f ′(0) 存在， f (0) < 1,若 e x f x x x = − + → 1 0 ) sin 1 cos ( ) lim(1 , 则 f ′(0) = （ ）。 (A) 0。 (B) 1。 (C) 2 。 (D) e 。 [解] 答案：C。由 e x f x x x = − + → 1 0 ) sin 1 cos ( ) lim(1 可以知道当 x → 0 时,有 ) 1 sin 1 cos ( ) ln(1 1 lim 0 = − ⋅ + → x f x x x , 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 7 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 lim 1 1-coS f() x→>0x sInx 因为f(O)0 1-cosf(x 于是1m x→>0x Sinx 2x→>0x 2 (不可用洛必达法则 又因为f(O)存在,所以 If′(02 f(x) fo x->0x >0x 得到 f'(0)= 例37设f()在x=0点某邻域内可导,且当x≠0时f(x)≠0,已知 f(0)=0,f(0)=2.求极眼lim(1-2f(x)x 解:所求极限为“1”型,设法利用标准极限,并与导数 f(0)=2 相联系 1-2f(x lim(1-2f(x)sinx=lim(1-2f(x))2/(x)sin x 由复合极限定理,只须考虑极限 2 f(x)x x>0 sinx x→>0 由f(0)=0,广(0)=2在,故上述极限可利用极限的乘法运算求得,即有 2f(x f(x)-f(0) lm lm x→>0Sinx x→>0 x-osinx 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 8-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 1 sin 1 1 cos ( ) lim 0 = − ⋅ → x f x x x 因为 f (0) < 1，则必有 lim ( ) 0 (0) 0 f x f x = = → ， 于是 1 ( ) lim 2 1 sin 1 1 cos ( ) lim 2 2 0 0 = = − ⋅ → → x f x x f x x x x , (不可用洛必达法则！) 又因为 f ′(0) 存在, 所以 2 ( ) lim ( ) [ (0)] lim 0 0 2 ′ = ⋅ = → → x f x x f x f x x ， 得到 f ′(0) = 2 。 例 3.7 设 f (x) 在 x = 0 点某邻域内可 导，且当 x ≠ 0 时 f (x) ≠ 0 ， 已 知 f (0) = 0, f ′(0) = 2，求极限 x x f x sin 1 0 lim(1− 2 ( )) → 。 解：所求极限为“ ”型，设法利用标准极限，并与导数 ∞1 f ′(0) = 2相联系。 x x f x sin 1 0 lim(1− 2 ( )) → x f x f x x f x sin 2 ( ) 2 ( ) 1 0 lim(1 2 ( )) − − ⋅ → = − 由复合极限定理，只须考虑极限 x x x f x x f x x x sin 2 ( ) lim sin 2 ( ) lim 0 0 ⋅ − = − → → 由 f (0) = 0, f ′(0) = 2存在，故上述极限可利用极限的乘法运算求得，即有 ] sin ] [lim ( ) (0) 2[lim sin 2 ( ) lim 0 0 0 x x x f x f x f x x→ x→ x→ ⋅ − = − − 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 8 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 2f(0)=-4 于是lm(1-2f(x)x=e x->0 注:利用导数定义求某些极限是一类重要题型,应熟悉导数定义的极限构造形式,并注意利用复 合极限定理与已知重要极限的结论。 32微分概念与相对变化率 3.21微分概念 由导数的等价性描述,我们已经知道可导函数f(x)在x0处的增量 yf(x0)=f(x0+△x)-f(x0)可以表示为 f(x0+Ax)-f(x0)=∫(x)·^x+a(△x)△x 其中Q(△x)为△x一>0时的无穷小量若记f(△x)=a(△x)·△x,则 (△x)是△x的高阶无穷小量,于是又可记为 f(x)-f(x0)=f(x0)△x+B(△x) 定义3.3设函数 y X)在点x0的某邻域内有定义。若存在常数A,使得对函数增 量可以表为y=AAx+0(△x) 其中A与△x无关,O(△x)是△x→>0时的高阶无穷小量,则称函数 f(x)在点x0处可微,记为dyx=A△x=f( 0)。函数的微分 通常记为df=dy=yax=f(x)lx 3.2.2相对变化率 定义34设y=f(x)为可导函数,称极限 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 9-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 = −2 f ′(0) = −4 于是 sin 4 1 0 lim(1 2 ( )) − → − f x = e x x 。 注：利用导数定义求某些极限是一类重要题型，应熟悉导数定义的极限构造形式，并注意利用复 合极限定理与已知重要极限的结论。 3.2 微分概念与相对变化率 3.2.1 微分概念 由导数的等价性描述，我们已经知道可导函数 f (x)在 处的增量 0x ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ∆f x = f x + ∆x − f x 可以表示为 f (x + ∆x) − f (x ) = f ′(x )⋅ ∆x + (∆x)⋅ ∆x 0 0 0 α 其中α(∆x)为∆x → 0时的无穷小量。若记 β (∆x) = α(∆x)⋅∆x，则 β (∆x) 是∆x 的高阶无穷小量。于是又可记为 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 f x − f x = f ′ x ∆x + β ∆x 定义 3.3 设函数 y = f (x)在点 的某邻域内有定义。若存在常数 ，使得对函数增 量 0x A ∆y 可以表为 ∆y = A∆x + o(∆x)， 其 中 A 与 ∆x 无 关 ， o(∆x) 是 ∆x → 0 时 的高阶 无 穷小量 ， 则称函数 y = f (x)在点 处可微，记为 0x dy A x x = ∆ 0 ( ) 0 = df x 。函数的微分 通常记为df = dy = y ′dx = f ′(x)dx 3.2.2 相对变化率 定义 3.4 设 y = f (x) 为可导函数，称极限 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 9 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 lim f(x0+△x)-f(x0)x Im △x→>0△x y△x→>0 △x 为y对x的相对变化率 经济模型中定义需求函数Q=f(P),其中P为单位商品的价格。需求对价格的 相对变化率为d f'(P) ,作为价格对需求反弹的一种度量,取相对变化率的绝 对值定义为弹性(需求对价格)E4=f(P).收益函数定义为 R=PO= Pf(P) 3.3初等函数的导数与微分公式 导数与微分四则运算规则 如果f(x),g(x)在点x处都有导数,则其和、差、积、商(分母不为零时)在点x处均 有导数,且可微 If(x)±g(x)=f(x)±g(x) If(xg(x)]=f(xg(x)+f(xg(x) f(u f(xg(x)-f(xg(x) g(x 8(x (f(x)±g(x)=df(x)±dg(x) (f(x)g(x))=f(x)d g(x)+g(x)df(x) (Cf(x)=cdf(X)(C为常数) f(x)g(x)df(x)-f(x)d g(x g(x) g-(x) 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 10-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 f x y x x f x x f x y x x x y y x x = ′ ∆ +∆ − = ∆ ∆ ∆ → ∆ → 为 y 对 x的相对变化率。 经济模型中定义需求函数Q = f (P) ，其中 P 为单位商品的价格。需求对价格的 相对变化率为 f (P) Q p Ed = ′ ，作为价格对需求反弹的一种度量，取相对变化率的绝 对值定义 为弹性（ 需求对价 格 ） f (P) Q p Ed = ′ 。 收 益函数定 义 为 R = PQ = Pf (P)。 3.3 初等函数的导数与微分公式 导数与微分四则运算规则 如果 f (x), g(x) 在点 x处都有导数，则其和、差、积、商(分母不为零时)在点 x 处均 有导数，且可微。 [ f (x) ± g(x)]′ = f ′(x) ± g ′(x)； [ f (x)g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x) ； ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) [ 2 g x f x g x f x g x g x f x ′ − ′ ′ = d ( f (x) ± g(x)) = df (x) ± dg(x) ； d ( f (x)g(x)) = f (x)d g(x) + g(x)d f (x) ， d (cf (x)) = cd f (x) ( c 为常数)； ( ) ( )d (x) ( )d ( ) ( ) ( ) 2 g x g x f f x g x g x f x d − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 10 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
