《模糊数学》课程PPT课件：第1章 模糊集的基本概念

第1章 模糊集的基本概念

第 1 章 模糊集的基本概念

模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方 法.众所周知,经典数学是以精确性为特征的. 然而,与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、 没有价值的.甚至可以这样说,有时模糊性比精确性还 要好. 例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子 长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人” 尽管这里只提供了一个精确信息一一男人,而其他 信息一一大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中 年等都是模糊概念,但是你只要将这些模糊概念经过头 脑的综合分析判断,就可以接到这个人 模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各 个领域及部门,农业、林业、气象、环境、地质勘探 医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的 应用

模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方 法. 众所周知，经典数学是以精确性为特征的. 然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、 没有价值的. 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还 要好. 例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子 长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”. 尽管这里只提供了一个精确信息――男人，而其他 信息――大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中 年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头 脑的综合分析判断，就可以接到这个人. 模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各 个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、 医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的 应用

§1.2模糊理论的数学基础 经典集合 经典集合具有两条基本属性:元素彼此相异, 即无重复性;范围边界分明,即一个元素x要么属 于集合A(记作x∈A),要么不属于集合(记作xgA), 二者必居其 集合的表示法: (1)枚举法,A={x1,x2,…,xn}; (2)描述法,A={xP(x) AB兮若x∈A,则xeB AB冷若x∈B,则xeA A=BAcB且A→B

§1.2 模糊理论的数学基础 经典集合 经典集合具有两条基本属性：元素彼此相异， 即无重复性；范围边界分明,即一个元素x要么属 于集合A(记作xA),要么不属于集合(记作xA)， 二者必居其一. 集合的表示法： (1)枚举法，A={x1 , x2 ,…, xn }； (2)描述法，A={x | P(x)}. AB  若xA，则xB； AB  若xB，则xA； A=B  AB且 AB

集合A的所有子集所组成的集合称为4的幂集, 记为3(4) 并集AUB={xx∈A或∈B}; 交集4∩B={x|x∈A且x∈B}; 余集4c={x|xgA} 集合的运算规律 幂等律:AUA=A,AnA=A; 交换律:AUB=B∪A,A∩B=B∩A; 结合律:(AUB)UC=AU(BUC) (AnB)nc=An( BnC); 吸收律:AU(AnB)=A,A∩(AUB)=A;

集合A的所有子集所组成的集合称为A的幂集， 记为(A). 并集A∪B = { x | xA或xB }； 交集A∩B = { x | xA且xB }； 余集Ac = { x | xA }. 集合的运算规律 幂等律： A∪A = A， A∩A = A； 交换律： A∪B = B∪A， A∩B = B∩A； 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C )， ( A∩B )∩C = A∩( B∩C )； 吸收律： A∪( A∩B ) = A，A∩( A∪B ) = A；

分配律:(AUB)C=(AnC)U(BnC); (ANBUC=(AUC)(BUC) 0-1律:AUU=U,A∩U=A; AUp=A,A∩p=p; 还原律:(49=A; 对偶律:(4UB)=A∩B,(4∩B)=AUB; 排中律:AUA4=U,A04C=四 U为全集,φ为空集 集合的直积: XxY={(x,y)x∈X,y∈Y}

分配律：( A∪B )∩C = ( A∩C )∪( B∩C )； ( A∩B )∪C = ( A∪C )∩( B∪C )； 0-1律：A∪U = U ， A∩U = A ； A∪ = A ， A∩ =  ； 还原律： (Ac ) c = A ； 对偶律： (A∪B) c = Ac∩Bc ，(A∩B) c = Ac∪Bc； 排中律： A∪Ac = U， A∩Ac = ； U 为全集， 为空集. 集合的直积： X  Y = { (x , y )| xX , y Y }

映射与扩张 映射f:X→Y 集合A的特征函数: ,x∈A; 取大运算, x4(x) 如2V3=3 0, xeA 特征函数满足: XaB(x)=xa(xvxB(x) XanB(x)=xA(x)xB(x) x(x)=1-x(x) 取大运算, 扩张:点集映射集合变换 如2∧3=2

映射与扩张 映射 f ： X →Y 集合A的特征函数： 特征函数满足：      = 0, . 1, ; ( ) x A x A x  A ( ) 1 ( ). ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ); x x x x x x x x A A A B A B A B A B  c        = − =  =    取大运算, 如2∨3 = 3 取大运算, 如2∧3 = 2 扩张：点集映射 集合变换

二元关系 XxY的子集R称为从X到Y的二元关系, 特别地,当X=Y时,称之为X上的二元关系 二元关系简称为关系 若(x,y)∈R,则称x与p有关系,记为 R(x,y)=1; 若(x,y)∈R,则称x与p没有关系,记为 R(x,y)=0 映射 R:X×Y→>{0,1 实际上是X×Y的子集R上的特征函数

二元关系 X Y 的子集 R 称为从 X 到 Y 的二元关系， 特别地，当 X = Y 时，称之为 X 上的二元关系. 二元关系简称为关系. 若(x , y )R，则称x 与 y 有关系，记为 R (x , y ) = 1； 若(x , y )R，则称x 与 y 没有关系，记为 R (x , y ) = 0. 映射 R : X  Y →{0,1} 实际上是 X  Y 的子集R上的特征函数

关系的三大特性: 设R为X上的关系 (1)自反性:若X上的任何元素都与自己有 关系R,即R(x,x)=1,则称关系R具有自反性; (2)对称性:对于X上的任意两个元素x,y, 若x与y有关系R时,则y与x也有关系R,即 若R(x,y)=1,则R(y,x)=1,那么称关系R具 有对称性; (3)传递性:对于X上的任意三个元素x,y,z, 若x与y有关系R,y与z也有关系R时,则x与z 也有关系R,即若R(x,y)=1,R(y,z)=1,则 R(x,x)=1,那么称关系R具有传递性

关系的三大特性： 设R为 X 上的关系 (1) 自反性：若X 上的任何元素都与自己有 关系R，即R (x , x) =1，则称关系 R 具有自反性； (2) 对称性：对于X 上的任意两个元素 x , y， 若 x 与y 有关系R 时，则 y 与 x 也有关系R，即 若R (x , y ) =1，则R ( y , x ) = 1，那么称关系R具 有对称性； (3) 传递性：对于X上的任意三个元素x, y, z， 若x 与y 有关系R，y 与z 也有关系R 时，则x与z 也有关系R，即若R (x , y ) = 1，R ( y , z ) =1，则 R ( x , z ) = 1，那么称关系R具有传递性

关系的矩阵表示法 设X={x1,x2,…,xm}F={yy2,…,ym},R 为从X到Y的二元关系,记 R(x1,y;),R=(ri) jm×n 则R为布尔矩阵( Boole),称为R的关系矩阵. 布尔矩阵( Boole)是元素只取0或1的矩阵 关系的合成 设R1是X到Y的关系R2是F到Z的关系, 则R1与R2的合成R1°R2是X到Z上的一个关系 (R1°R2)(x,)=∨{R1(x,y)∧R2(,列川y∈

关系的矩阵表示法 设X = {x1 , x2 , … , xm },Y={ y1 , y2 , … , yn }，R 为从 X 到 Y 的二元关系，记 rij =R(xi , yj )，R = (rij)m×n， 则R为布尔矩阵(Boole)，称为R的关系矩阵. 布尔矩阵(Boole)是元素只取0或1的矩阵. 关系的合成 设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关系, 则R1与 R2的合成 R1 ° R2是 X 到 Z 上的一个关系. (R1 °R2 ) (x, z) = ∨{[R1 (x, y)∧R2 (y, z)]| y∈Y }

关系合成的矩阵表示法 设X={x1,x2, Y={y1,y2 {z1,z2,…,zn},且X到y的关系 R1=(a1) Y到Z的关系 R2=(b)× 则X到Z的关系可表示为矩阵的合成: R1°R2=(cr)mx 其中c;=V{(a1Ab)|1≤k≤ 定义:若R为n阶方阵,定义 R2=R°R,R3=R2°R

关系合成的矩阵表示法 设 X = {x1 , x2 , … , xm }, Y = { y1 , y2 , … , ys }, Z = {z1 , z2 , … , zn }，且X 到Y 的关系 R1 = (aik)m×s， Y 到 Z 的关系 R2 = (bkj) s×n， 则X 到Z 的关系可表示为矩阵的合成： R1 °R2 = (cij)m×n， 其中cij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s}. 定义：若R为n 阶方阵，定义 R 2 = R °R，R 3 = R 2 °R …