复旦大学2005~2006学年第一学期期末考试试卷 课程名称:数学分析II课程代码:318.157301 开课院系:数学科学学院 学生姓名: 学号: 专业: 题目1 8总分 得分 填充题 1.(每空格6分,共30分) (1)x2+y3+x3=3z,则d +z=0 (2)曲线 在(a,a,-2a)处的切线方程为 (3)r=√x2+y2+2,则 div grad r= (4)(x) x sin]t dt 则d d (5) r-r o 解答题(每题10分,共70分) 2.通过变量代换u=,v=x,W=x-y,变换方程032=2
复旦大学 2005～2006 学年第一学期期末考试试卷 课程名称： 数学分析III 课程代码： 318.157.3.01 开课院系： 数学科学学院 学生姓名： 学号： 专业： 题 目 1 2 3 4 5 6 7 8 总 分 得 分 填充题 1．（每空格 6 分，共 30 分） （1） 3 33 x ++= y z xyz 3 ，则dz = 。 （2）曲线 2 22 0 6 xyz 2 x yz a ⎧ ++= ⎨ ⎩ ++= 在(,, 2) aa a − 处的切线方程为 。 （3） 2 2 r xyz = ++ 2 ，则div grad r = 。 （4） 2 sin ( ) x x xt I x dt t = ∫ ，则 dI dx = 。 （5） 4 4 2 0 0 x x4 x e dx x e dx +∞ +∞ − − ⋅ ∫ ∫ = 。 解答题（每题 10 分，共 70 分） 2．通过变量代换 yxzwxv y x u ,, −=== ，变换方程 xy z y z y 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 1
3.设四边形的边长分别为ab,cd,利用 Lagrange乘数法求出当四边 形面积最大时四边形的顶角所满足的条件(不必求出最大面积) 4.计算闭曲面(x2+y2+2)2 y2所围体积
3．设四边形的边长分别为 ，利用 Lagrange 乘数法求出当四边 形面积最大时四边形的顶角所满足的条件（不必求出最大面积）。 a,b,c,d 4．计算闭曲面 5 2 22 22 2 ( ) 2 x ++ =−− yz zxy 所围体积。 2
5.在平面上单位质点P受力F作用,力F的方向与DP垂直(DF逆时 针转90度为F的方向,大小与D成反比,比例系数为k,求质点P 从点AO,)沿位于第一象限的曲线移动到点B(1,0),力F所作的功。 6.计算积分∫、xd+yt+=2dd,其中S是曲面==x2+y2介于 0≤≤1的部分,积分沿曲面下侧
5．在平面上单位质点P受力F 作用，力F 的方向与OP uuur 垂直（ 逆时 针转 90 度为 OP uuur F 的方向），大小与 OP uuur 成反比，比例系数为 ，求质点 从点 沿位于第一象限的曲线移动到点 ，力 k P A(0,1) B(1,0) F 所作的功。 6．计算积分 ，其中 是曲面 介于 的部分，积分沿曲面下侧。 dxdyzdzdxydydzx S 3 3 3 ∫∫ ++ S 22 += yxz z ≤≤ 10 3
7.积分∫。2关于a在下述范围是否一致收敛?证明你的断 (1)0<a≤a≤A<+∞;(2)0<a<+0 8.将周期为2x的函数f(x)=x2,x∈,z]展开成 Fourier级数,并 计算 的值
7．积分 ∫ ∞+ 0 + 22 α α x dx 关于α 在下述范围是否一致收敛? 证明你的断言。 （1）0 α 0 ≤< α ≤ A +∞< ;（2）0 <α < +∞。 8．将周期为2π 的函数 )( = xxf 2， x ∈[−π,π ]展开成 Fourier 级数，并 计算 ∑ ∞ = + − 1 2 1 )1( n n n 的值。 4