第2章 模糊聚类分析
第 2 章 模糊聚类分析
§2.1模糊矩阵 定义1设R=(rmn若0≤r1≤1,则称R为模 糊矩阵.当r只取0或1时,称R为布尔(Bol矩阵 当模糊方阵R=(z)2xn的对角线上的元素r都为1 时,称R为模糊自反矩阵. 定义2设=(a)mxnB=(b)m都是模糊矩阵, 相等:A=B分>a b 包含:4<B令a;≤b 并:AUB=(anVb)mxn 交:A∩B=(an∧bm×n; 余 (1-ai) mxn
§2.1 模糊矩阵 定义1 设R = (rij)m×n，若0≤rij≤1，则称R为模 糊矩阵. 当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵. 当模糊方阵R = (rij) n×n的对角线上的元素rii都为1 时，称R为模糊自反矩阵. 定义2 设A=(aij)m×n ,B=(bij)m×n都是模糊矩阵， 相等：A = B aij = bij； 包含：A≤B aij≤bij； 并：A∪B = (aij∨bij)m×n； 交：A∩B = (aij∧bij)m×n； 余：Ac = (1- aij)m×n
模糊矩阵的并、交、余运算性质 幂等律:AUA=A,A∩=A; 交换律:AUB=BUA,A∩B=B∩A 结合律:(4UBUC=AU(B∪C, (4∩BnC=An(BnO; 吸收律:AU(4∩B)=A,A∩(AUB)=A 分配律:( AUB)nC=(4nC)U(B∩O; (4nB)UC=(UCn(B∪O; 0-1律:AUO=A,A∩O=0 A∪E=E,A∩E=A;E 还原律:(4)=A; 对偶律:(AUBF=4∩B,(A∩BF=AUB
模糊矩阵的并、交、余运算性质 幂等律：A∪A = A，A∩A = A； 交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A； 结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C), (A∩B)∩C = A∩(B∩C)； 吸收律：A∪(A∩B) = A，A∩(A∪B) = A； 分配律：(A∪B)∩C = (A∩C )∪(B∩C)； (A∩B)∪C = (A∪C )∩(B∪C)； 0-1律： A∪O = A，A∩O = O； A∪E = E，A∩E = A； 还原律：(Ac ) c = A； 对偶律： (A∪B) c =Ac∩Bc , (A∩B) c =Ac∪Bc . = 1 ... 1 1 ... 1 E
模糊矩阵的合成运算与模糊方阵的幂 设A=(a1mxB=(b)xn,定义模糊矩阵A 与B的合成为: A°B=(cr) nxn 其中cn=∨{(a1k∧b)1≤k≤ 模糊方阵的幂 定义:若A为n阶方阵,定义42=A°A, A3=A2°A,…,Ak=441°A 0.10.3 030.3(0.10.30.303 0.40.7 0.40.7(0.40.70.407
模糊矩阵的合成运算与模糊方阵的幂 设A= (aik)m×s，B= (bkj) s×n，定义模糊矩阵A 与B 的合成为： A °B= (cij)m×n， 其中cij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s}. 模糊方阵的幂 定义：若A为n 阶方阵，定义A2 = A °A， A3 = A2 °A，…，Ak = Ak-1 °A. = = 0.4 0.7 0.3 0.3 0.4 0.7 0.1 0.3 0.4 0.7 0.3 0.3 0.4 0.7 0.1 0.3 3
合成(°)运算的性质 性质1:(4°B)°C=A°(B°O; 性质2:A°4=Ak+,(4m)n=Am; 性质3:A°(BUC)=(A°B)U(A° C) (BUC)°A=(B°4)U(C 汪 性万 质4;O°A=A° 6)运算关子(m的分配律不成立,即 性质.B,℃型)QB分 0.10.3 0.20.1 A B C 0.20.1 0.30.2 0.30.2
合成(° )运算的性质： 性质1：(A °B) ° C = A ° (B ° C)； 性质2：Ak °Al = Ak + l ，(Am) n = Amn； 性质3：A ° ( B∪C ) = ( A °B )∪( A ° C )； ( B∪C ) ° A = ( B °A )∪( C ° A )； 性质4：O ° A = A ° O = O，I ° A=A ° I =A； 性质5：A≤B，C≤D A °C ≤B °D. 注：合成(°)运算关于(∩)的分配律不成立，即 ( A∩B ) ° C ( A ° C )∩( B ° C ) = = = 0.3 0.2 0.5 0.1 , 0.3 0.2 0.2 0.1 , 0.2 0.1 0.1 0.3 A B C
0.10.3 0.20.1 0.50.1 B C 0.20.1 0.30.2 0.30.2 0.10.1(0.50.1(0.10.1 (A∩B)°C 0.20.10.30.2(0.20.1 (A°C)n(B°C) 0.30.2)(0.20.1)(0.20.1 0.20.1)(0.302(0.20.1 (AB)°C≠(A°C)n(B°C)
= = = 0.3 0.2 0.5 0.1 , 0.3 0.2 0.2 0.1 , 0.2 0.1 0.1 0.3 A B C ( A∩B ) ° C = = 0.2 0.1 0.1 0.1 0.3 0.2 0.5 0.1 0.2 0.1 0.1 0.1 ( A ° C )∩( B ° C ) = = 0.2 0.1 0.2 0.1 0.3 0.2 0.2 0.1 0.2 0.1 0.3 0.2 ( A∩B ) ° C ( A ° C )∩( B ° C )
模糊矩阵的转置 定义设A=(a;)mn,称A1=(an)nxm为4的转 置矩阵,其中a;T=a 转置运算的性质: 性质1:(AT)T=A; 性质2:(AUB)I=ATUB, (A∩B)T=A∩B; 性质3:(A°B)T=B°AT;(A4n)T (A1)y; 性质4:(A)=(AT); 性质5:A<B分AT<BT
模糊矩阵的转置 定义 设A = (aij)m×n , 称AT = (aij T ) n×m为A的转 置矩阵，其中aij T= aji. 转置运算的性质： 性质1：( AT ) T = A； 性质2：( A∪B ) T = AT∪BT ， ( A∩B ) T = AT∩BT； 性质3：( A ° B ) T = BT ° AT；( An ) T = ( AT ) n ； 性质4：( Ac ) T = ( AT ) c ； 性质5：A≤B AT ≤BT
证明性质3:(A°B)T=B°AT;(4)T=(4T) 证明:设 (aim s, B=(bxnA°B=C=(少mxn 记(A°B)=(c7)nxm,4=(an7)xm,B1= in×s 由转置的定义知, C:; bT=b B°A1=IV(b∧ k川nxm =V(bk/Aa1)2×m =V(akb)1×m=(c)nxm 访质n×m (A°B)T
证明性质3：( A ° B ) T = BT ° AT；( An ) T = ( AT ) n . 证明：设A=(aij)m×s , B=(bij) s×n , A °B=C =(cij)m×n , 记( A ° B ) T = (cij T ) n×m , AT = (aij T ) s×m ,BT = (bij T ) n×s , 由转置的定义知, cij T = cji , aij T = aji , bij T = bji . BT ° AT= [∨(bik T∧akj T )] n×m =[∨(bki∧ajk)] n×m =[∨(ajk∧bki)] n×m = (cji) n×m = (cij T ) n×m= ( A ° B ) T
模糊矩阵的λ-截矩阵 定义7设A=(a)mxn对任意的元∈0,1,称 A2=(airy m×n 为模糊矩阵4的λ-截矩阵,其中 当a:≥元时,a;(4)=1;当a;<九时,a:O4)=0 显然,A的λ-截矩阵为布尔矩阵. 10.50.20 1100 0.510.10.3 1101 0.20.110.8 0011 00.30.81 0
模糊矩阵的 - 截矩阵 定义7 设A = (aij)m×n ,对任意的∈[0, 1]，称 A= (aij () )m×n , 为模糊矩阵A的 - 截矩阵, 其中 当aij≥ 时，aij () =1；当aij＜ 时，aij () =0. 显然，A的 - 截矩阵为布尔矩阵. = = 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 , 0 0.3 0.8 1 0.2 0.1 1 0.8 0.5 1 0.1 0.3 1 0.5 0.2 0 A A0.3
对任意的孔∈0,1,有 性质1:4≤B分A≤Bx 性质2:(AUB)2=AUB2,(∩B)2=A2∩B2; 性质3:(A°B)2=A2°B2; 性质4:(A1)2=(A2) 下面证明性质1:A≤B→A≤B2和性质3 性质1的证明:A<B→a:≤bn; 当九≤a;≤b时,a;(4)=b:4)=1 当an<≤b时,a1()=0,b:(4)=1; 当a:≤b<时,a:(x)=b:4)=0 综上所述n4<b时,故42≤Bx
对任意的∈[0, 1]，有 性质1：A≤B A≤B； 性质2：(A∪B) = A∪B，(A∩B) = A∩B； 性质3：( A ° B ) = A ° B； 性质4：( AT ) = ( A ) T . 下面证明性质1： A≤B A≤B和性质3. 性质1的证明： A≤B aij≤bij； 当 ≤aij≤bij时，aij () =bij () =1； 当aij＜≤bij时， aij () =0, bij () =1； 当aij≤bij＜时， aij () = bij () =0； 综上所述aij ()≤bij ()时，故A≤B