2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦100清华大学理科楼1ll电话:62731785 基础部分 第一课微积分 第5章原函数与不定积分 不定积分与原函数 1.1不定积分与原函数的定义 定义51f(x)是定义在区间∈R上的函数若存在定义在上的可导函 数F(x).使得F(x)=f(x),Vx∈I,则称F(x)为 f(x)在上的一个原函数 若F(x)为∫(x)在Ⅰ上的一个原函数,F(x)+C也为 f(x)在Ⅰ上的原函数,其中C为任意常数.:同样可以证明,f(x)的任意两 个原函数的差为常数 义62称f(x)的所有原函数构成的集合{F(x)+C}为f(x) 的不定积分,记作f(x)x=F(x)+C 其中F(x)为f(x)在/上的一个原函数,C为任意常数 5.1.2不定积分存在的充分条件和必要条件 定理5.1连续函数一定存在不定积分。 事实上连续函数∫(x)的变上限积分 ∫f()d姚是f(x)的一个原函数,因此 ∫f(x)dx=lf(x)x+C. 例5.1不连续的函数也可能有原函数或不定积分,例如函数 f(x)≈/2 xsin--cosx≠0 X 0 X三 0 x2sinx≠0 有原函数F(x 水木艾迪考研培 清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 基础部分 第一课 微积分 第 5 章 原函数与不定积分 5.1 不定积分与原函数 5．1．1 不定积分与原函数的定义 定义 5.1 f (x)是定义在区间 I ∈ R 上的函数, 若存在定义在 I 上的可导函 数 F(x) , 使得 F′(x) = f (x), ∀x ∈ I , 则称 F(x) 为 f (x)在 I 上的一个原函数。 若 F(x) 为 f (x) 在 I 上的一个原函数, F(x) + C 也 为 f (x)在 I 上的原函数, 其中C 为任意常数; 同样可以证明, 的任意两 个原函数的差为常数. f (x) 定义 5.2 称 f (x)的所有原函数构成的集合{F(x) + C}为 f (x) 的不定积分, 记作 ∫ f (x)dx = F(x) + C ， 其中 F(x) 为 f (x)在 I 上的一个原函数，C 为任意常数。 5.1.2 不定积分存在的充分条件和必要条件 定理 5.1 连续函数一定存在不定积分。 事实上, 连续函数 f (x)的变上限积分 ∫ x a f (t)dt 就是 f (x)的一个原函数, 因此 f x dx f x dx C 。 x a ∫ ( ) = ∫ ( ) + 例 5.1 不连续的函数也可能有原函数或不定积分, 例如函数 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − ≠ = 0 0 0 1 cos 1 2 sin ( ) x x x x x f x 有原函数 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = 0 0 0 1 sin ( ) 2 x x x x F x 。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 1 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼110 话:62781785 但x=0点是f(x)的第二类间断点催得指出的是 定理52若函数f(x)在(a,b)区间内有第一类间断点,则f(x)在 (a,b)区间内没有原函数 COSX x≥0 例52设∫(x)= ge-1/x. x0 lim f(x)=1,其次应有 de lim f(x)=lim 0 x->0 xX a lim x->0 x→>0x 以上结果只当a=1时成立。 x+ 例53设f(x)={1 e+ x< 则∫的一个原函数为(B) 水木艾迪考研培 清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 但 x = 0 点是 f (x)的第二类间断点. 值得指出的是 定理 5.2 若函数 f (x) 在 (a,b) 区间内有第一类间断点, 则 f (x) 在 (a,b)区间内没有原函数。 例 5.2 设 ⎩ ⎨ ⎧ − < ≥ = 1/ , 0. cos , 0, ( ) ae x x x x f x x 若 f (x)在 R 上有原函数，则a = （ ）. (A) 。 (B)0。 (C)1。 （D) a 任意。 −1 e 解 : f (x) 必 须 在 x = 0 点连续 ， 即 lim ( ) 1 0 = → f x x 。 首 先 lim ( ) 1, 0 = → + f x x 其次应有 x ae f x x x x 1 lim ( ) lim 0 0 − = → − → − 1 1 1 lim 1 1 1 lim 0 0 = − = − − − + → − → − x a a a x a e a x x x ， 以上结果只当 a = 1时成立。 例 5.3 设 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + < + ≥ = − , 0, 2 1 2 1 1, 0; ( ) e x x x f x x 则 f 的一个原函数为 （ B ）。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 2 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1 清华大学理科楼1101 话:62781785 x2+x.x≥0 (x) x0 试确定f(x)的一个原函数使F(O)= 水木艾迪考研培 3-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 （A） ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ≤ = + 1 0 2 1 0 1 1 ( ) 2 x x x x f x 试确定 f (x)的一个原函数,使 4 (0) π F = . 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 3 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦100清华大学理科楼1ll电话:62731785 arctan 4≤0 丌 x+x+ x>0 4 1x<0 例56f(x) x∈(-∞,+0 xx≥0 无原函数因t=O为第一类间断点 5.3不定积分的计算方法 5.3.1换元法 (1)第一换元法(凑微分方法) 应作为基本方法强化训练 ∫f"(x)dx=f(x)+C或 ∫f((x)·φ(x)ahx=f(qp(x)+C dx 例5.6计算 a sinx+b-cos-x 解:注意到 X d(=-arctan-+C 1+ a sinx+b- cosx d(atan x) arctan-tanx+C aa tan x+b ab tanx 例5.7 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 4-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + > + ≤ = 0 4 0 4 arctan ( ) 2 x x x x x F x π π 例 5.5 ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < = 0 1 0 ( ) x x x f x , x ∈ (−∞,+∞) 无原函数,因t = 0为第一类间断点. 5.3 不定积分的计算方法 5.3.1 换元法 (1) 第一换元法（凑微分方法） 应作为基本方法强化训练） ∫ f ′(x)dx = f (x) + C 或 ∫ f ′(ϕ(x))⋅ϕ′(x)dx = f (ϕ(x)) + C 。 例 5.6 计算 ∫ a x + b x dx 2 2 2 2 sin cos 。 解: 注意到 C a x a a x d a a x dx a x ∫ = + + ∫ = + arctan 1 ( ) 1 ( ) 1 1 1 2 2 2 ∫ a x + b x dx 2 2 2 2 sin cos x C b a a x b ab d a x a ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ = + = arctan tan 1 tan 1 ( tan ) 2 2 2 例 5.7 ∫ dx x x cos tan 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 4 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1 清华大学理科楼1101电话:62781785 d(cosx) 2 +c coSXvcos X COSX ax 例5 22 a(x-a xta d-a x+a 2alx-a xt a n +O 2a x+a 例5.9计算 x√nx(1-lnx) 注意到 dx=arcsinx+C x dx于∫ d(=arcsin-+C x、2d =2 arcsin√x+C x ax 于是 x√nx(1-nx) d (Inx avIn √nx(1-1nx) nx 2 arcsin√lnx+C. 水木艾迪考研培 5-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 = ∫ x x d x cos cos (cos ) C x = + cos 2 。 例 5.8 ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − ∫ = − dx x a a x a x a dx 1 1 2 1 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ∫ − − − = ( ) 1 ( ) 1 2 1 d x a x a d x a a x a C x a x a a + + − = ln | | 2 1 例 5.9 计算 ∫ x ln x(1− ln x) dx ‘ 注意到 dx x C x ∫ = + − arcsin 1 1 2 ， C a x a x d a x dx a x ∫ = + − ∫ = − ( ) arcsin 1 ( ) 1 1 2 2 2 dx x x ∫ (1− ) 1 x C x d x ∫ = + − = 2arcsin 1 2 于是 ∫ x ln x(1− ln x) dx ∫ − = ln (1 ln ) (ln ) x x d x ∫ − = x d x 1 ln ln ， = 2arcsin ln x + C 。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 5 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101 话:62781785 arcsin√x 又如 dx=2farcsin vxd(arcsin vx X ( arcsin√x)2+C 例5.10 (2+cos x)sin x d (cos x) (2+coS x)sinx d(cos x+((2-cos x) COSX 3(2+coS x) 1-cos x In 2+cos x-In 1+cosx +=In 1-cos x +C. 2x+2 例51 x-+1)(x =2( Ddx=lr (x-1) x+ x2+1 xcosx-sinx 例5.12 d x- six +c x (2)第二换元法 若∫f(():q()ldt=F(t)+C,且x=(1)有 反函数1=o1(x),则∫f(x)akx=F(q-(x)+C 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 6-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 又如 dx x x x ∫ (1− ) arcsin = 2∫ arcsin xd(arcsin x) = x + C 2 (arcsin ) 例 5.10 ∫ + x x dx (2 cos )sin = ∫ + − x x d x 2 (2 cos )sin (cos ) = ) 1 cos (2 cos ) (cos ) (2 cos ) (cos ) ( 3 1 2 ∫ − − ∫ + + − − x x d x x d x = ln |1 cos | 2 1 ln | 2 cos | 3 1 + x − + x + ln |1− cos x | +C 6 1 。 例 5.11 ∫ + − + dx x x x ( 1)( 1) 2 2 2 ∫ + − − = dx x x x ) 1 ( 1) 1 2 ( 2 ＝ C x x + + − 1 ( 1) ln 2 2 。 例 5.12 dx x x x x ∫ − 2 cos sin C x x = + sin (2) 第二换元法 若 ∫ f ′(ϕ(t))⋅ϕ′(t)dt = F(t) + C, 且 x = ϕ(t) 有 反函数 ( ) 1 t x − = ϕ , 则 ∫ f x dx = F x + C − ( ) ( ( )) 1 ϕ 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 6 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1 清华大学理科楼1101 话:62781785 例513Va dx(a>o) 令x= asin t(0≤t≤),ax= a cos tdt Jval-x'dx=acostacos dt =a2「cos2tt 2.1+ cos 2t sin zt C lt t+ +c arcsin-+x√a2-x2+C 还有∫√a2+x2ax,(a>0),令x= a tan t ∫√x2-a2ax,令x= a sec t dx 例5.1计算不定积分 解](方法1)令X=Sint,dx= cos tdt, dx cos t x sint- cost 1. cost+ sint coSt -sin t at 2 Sint-cost sin t- cos t nx-√1-x arcsinx +C (方法2) 水木艾迪考研培 7-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 例 5.13 ∫ a − x dx 2 2 (a > 0) 令 ) 2 sin ,(0 π x = a t ≤ t ≤ , dx = a costdt ∫ = ⋅ ∫ a − x dx acost acosdt 2 2 = ∫ a tdt 2 2 cos C t t a dt t a ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ = + + = 2 sin 2 2 2 1 cos2 2 2 x a x C a a x = + − + 2 2 2 2 1 arcsin 2 还有 ∫ a + x dx 2 2 ， (a > 0) ，令 x = a tan t 。 ∫ x − a dx 2 2 ，令 x = asect 。 例 5.14 计算不定积分 ∫ − − 2 x 1 x dx . [解] (方法 1)令 x = sin t,dx = costdt , dt t t t x x dx ∫ − ∫ = − − sin cos cos 1 2 x x x C dt t t t t dt t t t t = − − − + ∫ − − ∫ + − + = arcsin 2 1 ln 1 2 1 ) sin cos cos sin sin cos cos sin ( 2 1 2 (方法 2) 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 7 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101 话:62781785 cos t sin- cost cost +sint -sint cost- cost sint- cost =Inx x-I-arcsinx+C (回归法,解出即可) ax 例5.15求 x2√2x-4 解:令√2x-4=1,则 4dt 2 2 2x-4(2+4) +-arctan -+C 2(t2+4 √2x-4√2x-4 arctan 4x 以上方法称为有理化 532分部积分法 ∫(x)hv(x)=l(x)v(x)-∫w(x)dn(x 分部积分法的应用 例516∫x2 sin xdx=-x2d(cosx) -x2cosx+∫ cos xd(x2) =-x2cosx+2∫ x cos xdx x x+2x sin x+cosx+0 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 8-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 dt t t t I ∫ − = sin cos cos dt t t t t t t t ∫ − + − + − = sin cos cos sin sin cos cos = ln x − 1− x − I − arcsin x + C 2 (回归法，解出 I 即可)。 例 5.15 求 ∫ 2 − 4 2 x x dx . 解: 令 2x − 4 = t , 则 ∫ + ∫ = − 2 2 2 ( 4) 4 2 4 t dt x x dx C t t t + + + = 2 arctan 4 1 2( 4) 2 C x x x + − + − = 4 2 4 2 2 4 arctan 4 1 以上方法称为有理化. 5.3.2 分部积分法 ∫ u(x)dv(x) = u(x)v(x) − ∫ v(x)du(x) 分部积分法的应用 例 5.16 sin (cos ) 2 2 ∫ x xdx = −∫ x d x = − + ∫ = − + ∫ x x x xdx x x xd x cos 2 cos cos cos ( ) 2 2 2 = −x cos x + 2x sin x + cos x + C 2 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 8 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1 清华大学理科楼1101电话:62781785 例5.17 ∫ In xdx=xlnx-∫x:-ax=xlnx-x+C 类似的例題有∫x"ln"xax,其中m,n为自然数, arcsin xdx, arctan xdx, e sin bxdx 例518设f(lnx) In(1+x ,计算 ∫f(x)dx [解](1) 设nx=t,则 x=e',f(t)= In(I+e) 则 ∫∫(x)dax ax ∫ln(1+e2)dle x1n(1+ex)+ 1+ a 1+e)+x-In(1+e)+C e -eln(1+e)+∫(1 1+ (1+e)ln(1+ex)+C sInx 例519设f(x)一个的原函数为 求」xf"(x 水木艾迪考研培 9-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 例 5.17 dx x x x C x ∫ xdx = x x − ∫ x ⋅ = ln − + 1 ln ln 类 似的例 题 有 ,其中 为 自然数, , , ∫ x xdx m n ln m,n ∫ arcsin xdx ∫ arctan xdx ∫ e bxdx ax sin . 例 5.18 设 x x f x ln(1 ) (ln ) + = ，计算 ∫ f (x)dx 。[解] （1） 设ln x = t,则 t t t e e x e f t ln(1 ) , ( ) + = = ，则 ∫ f (x)dx ∫ + = −∫ + = − + + − − x x x x x e dx e de e e 1 ln(1 ) ln(1 ) e e x e C x x x = + + − + + − ln(1 ) ln(1 ) dx e e e e x x x x ) 1 ln(1 ) ∫(1 + = − + + − − x e e C x x = − + + + − (1 )ln(1 ) 。 例 5.19 设 f (x) 一个的原函数为 x sin x ， 求 ∫ xf ′ x dx π π 2 ( ) 。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 9 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101 话:62781785 S in 解(x)=()=-2( xCOSx-sin x 4 fo 丌 xf(x dx Jxdf(x)=xf(x)2-itf(x)dx SInx xe 例5.20计算 1+e 令√1+ 2t x=In(t-1),dx e vI+e =2l(-1)-2/3 dt 水木艾迪考研培 10-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 解 f (x) ( cos sin ) 1 ) sin ( 2 x x x x x x = ′ = − 2 4 ) 2 , ( 1 ( ) π π π f π = − f = − I = ∫ xf ′ x dx π π 2 ( ) π π π π 2 2 = ∫ xdf (x) = xf (x) − ∫ π π 2 f (x)dx π π 2 ) sin ( ( ) x x = xf x − 1 2 4 ) 4 ( 2 1 2 = − − − + = − π π π π 。 例 5.20 计算 ∫ + dx e xe x x 1 。 令 e t x 1+ = , dt t t x t dx 1 2 ln( 1), 2 2 − = − = , ∫ = ∫ − + dx t dt e xe x x 2 ln( 1) 1 2 ∫ − = − − dt t t t t 1 2 2 ln( 1) 2 2 2 2 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 10 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785