2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 基础部分 第一课微积分 第7章定积分的应用综合例题 7.1定积分应用的两种思想 定积分问题的持征: 解决定积分应用问题的两种思路 元素相加法:利用定积分定义一个量。 分小取近似:△≈f(x 求和取极限: I=lim∑f()Ax=f(x)tx 凡→>0i=1 微元分析法:通过分析末知函数的增量求出其微分的方法。 分小取微分:△≈d7=f(x) 积分求增量:I=∫f(x)lx=F(b)-F(a) 7.2定积分在几何方面的应用 7.2.1平面区域的面积 1.直角坐标系中平面区域的面积 设f(x),8(x)在区间[a,b上可积,则区域 D={x1y)a≤x≤b,f(x)≤y≤g(x)} 的面积为A=2[g(x)-f(x)]t :若连续函数f(x)在区间6上变号,则A=f(x)lx表示正负面积的代数和 有时称为代数面积。 例71求y=与y=x+一围成的面积 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 1-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 基础部分 第一课 微积分 第 7 章 定积分的应用 综合例题 7. 1 定积分应用的两种思想 z 定积分问题的持征： z 解决定积分应用问题的两种思路： 元素相加法： 利用定积分定义一个量。 分小取近似: ( )i i ∆I ≈ f ξ ∆x ; 求和取极限: = ∑ ∆ = ∫ → = b a n i i i I lim f ( ) x f (x)dx 0 1 ξ λ 微元分析法: 通过分析末知函数的增量求出其微分的方法。 分小取微分: ∆I ≈ dI = f ( ) x dx ; 积分求增量: I f (x)dx F(b) F(a) . b a = ∫ = − 7. 2 定积分在几何方面的应用 7.2.1 平面区域的面积 1.直角坐标系中平面区域的面积 设 f (x), g(x) 在区间[a,b]上可积, 则区域 D = { } (x, y) a ≤ x ≤ b, f (x) ≤ y ≤ g(x) 的面积为 = ∫ [ ] − 。 b A a g(x) f (x) dx 注：若连续函数 在区间 上变号，则 表示正负面积的代数和， 有时称为代数面积。 f (x) [a,b] = ∫ b A a f (x)dx 例 7.1 求 2 2 x y = 与 2 3 y = x + 围成的面积. 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 1 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 由 y-2,解得交点a=-1,b=3 y=x+ x 16 A x 例72求非负常数a,使y=x-与y=所围封闭区域之面积为 解]当0<a<1时l-a 6(x-x2 9 ax)dx <0(舍) 当a≥1时,j1(x-x2-ax)x=,a=1+ 2.参数方程下区域的面积 设区域的边界由曲线 x=x(t L (a≤t≤)确定,其中x(t),y()连可导, y y(1)≥0,则区域的面积为A=y(t)x(t)dt 例73求椭圆—+ 1围的区域的面积 解:解法一第一象限部分的边界为 0≤x≤3, 3 A=4=9-x2ax=242c0s2t=6丌 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 2-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 解: 由 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = 2 3 2 2 y x x y ，解得交点a = −1,b = 3。 3 16 2 2 3 3 1 2 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫− + − dx x A x 。 例 7.2 求非负常数 a ，使 与 2 y = x − x y = ax所围封闭区域之面积为 4 9 。 [解] 当0 < a < 1时， 4 9 ( ) 1 0 2 ∫ − − = −a x x ax dx ， 0 2 3 1 3 a = − < （舍） 当a ≥1时， 4 9 ( ) 0 1 2 ∫ −a x − x − ax dx = ， 3 2 3 a = 1+ . 2. 参数方程下区域的面积 设区域的边界由曲线 ( ) ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ = = α t β y y t x x t L ( ) ( ) : 确 定 , 其 中 连续可 导 , , 则区域的面积为 x(t), y(t) y(t) ≥ 0 ∫ = ′ β A α y(t)x (t)dt 。 例 7.3 求椭圆 1 9 4 2 2 + = x y 围的区域的面积. 解:解法一 第一象限部分的边界为 9 , 0 3 3 2 2 y = − x ≤ x ≤ , π π 9 24 cos 6 3 2 4 2 0 1 2 0 2 A = ∫ − x dx = ∫ tdt = 。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 2 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 解法二椭圆— 1的参数方程为 x=3cost,y=2sint,0≤t≤ a=4o ydx=4r y(tdx(t)=4r2sint(-3sint )dt=6Z 2 3极坐标系下区域的面积 设区域D为Gx= p cos p,y=psmn D={x,y)≤qsB0≤p≤m(0) 则其面积为A=p2()d 例74求心形线F =a(1+cosq)(a>0)所围的面积 解: 32r2()=b() 4a2cos4do=8a2原cos4tt=3m2例15已知曲线 y=a√x(>0)与曲线y=1n√x在点(x0,y0)处有公切线 (1)求常数a及切点之坐标值 2)求上述二曲线与x轴所围图形的面积 [解](1)由 axo=mnx,解得a=e,切点为 2√x2x (e2,1 (2)面积为 A=6axx-∫ln√xx 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 3-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 解法二 椭圆 1 9 4 2 2 + = x y 的参数方程为 4 3cos , 2sin , 0 π x = t y = t ≤ t ≤ ， = ∫ = ∫ 0 2 3 0 4 4 ( ) ( ) π A ydx y t dx t 4 π 2sin ( 3sin ) 6π 0 2 = ∫ t − t dt = 3.极坐标系下区域的面积 设区域 D 为（ x = ρ cosϕ, y = ρ sinϕ ） D = { } (x, y)α ≤ ϕ ≤ β,0 ≤ ρ ≤ ρ(ϕ) ， 则其面积为 = ∫ ( ) β A α ρ ϕ dϕ 2 2 1 。 例 7.4 求心形线 r = a(1+ cosϕ) (a > 0)所围的面积. 解: = ∫ = ∫ ( ) π π ϕ ϕ 0 ϕ ϕ 2 2 0 2 ( ) 2 1 A r d r d 2 20 2 4 0 2 4 2 3 8 cos 2 4a cos dϕ a tdt πa ϕ π π = ∫ = ∫ = 例 7.5 已知曲线 y = a x （a > 0）与曲线 y = ln x 在点( , )处有公切线。 0 0 x y (1)求常数 a 及切点之坐标值 (2)求上述二曲线与 x 轴所围图形的面积 [解]（1）由 0 2 0 1 2 1 x x a = ， 0 0 a x = ln x ，解得 ，切点为 （ ） −1 a = e ,12 e (2) 面积为 A a xdx xdx e e = ∫ − ∫ 2 2 0 1 ln 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 3 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 e e 7.1.2旋转体的体积 1.绕x轴旋转生成的旋转体的体积(小圆台法 平面区域 D={x,y)a≤x≤b0≤y≤f(x)x轴生的旋持体的体积为 2=2mf2(x)x 2.绕y轴旋转生成的旋转体的体积(薄壁筒法)平面区域 D={x,y)a≤x≤b0≤y≤f(x) 绕y轴旋转生成的旋转体的体积为Ty=2xzf(x) 例77求由曲线y=√2-x2,y=√x及y轴所为平面区域绕x轴及绕y轴旋转 生成的旋转体的体积 Vx=5x2-x2)-x1x=兀 20√2-22 62z(y2-x 15 例78设常数a<1,直线y=aX与抛物线y=x2所围成图形的面积为S1,他们 与直线x=1所围成的图形面积为S 1)试确定Q的值,使S1+S2达到最小,并求出最小值 (2)求该最小值所对应的图形绕x轴旋转一周所生成旋转体的体积 解(1)A1=(ax-x2x=a, LX +-a 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 2 1 2 1 3 2 2 2 = e − e − 2 1 6 1 2 = e − 。 7.1.2 旋转体的体积 1.绕 x 轴旋转生成的旋转体的体积（小圆台法） 平面区域 D = { } (x, y) a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ f (x) 绕 x 轴旋转生成的旋转体的体积为 = ∫ b Vx a f (x)dx 2 π 2. 绕 y 轴旋转生成的旋转体的体积（薄壁筒法） 平面区域 D = { } (x, y) a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ f (x) 绕 y 轴旋转生成的旋转体的体积为 = ∫ b y a V 2xπ f (x)dx 例 7.7 求由曲线 y = 2 − x , y = x 2 及 y 轴所为平面区域绕 x 轴及绕 轴旋转 生成的旋转体的体积. y 解: π [ ] π 6 7 (2 ) 1 0 2 Vx = ∫ −x − x dx = ， π ( ) π 15 20 2 22 2 2 1 0 2 − Vy = ∫ − x − x dx = 例 7.8 设常数 ，直线 与抛物线 所围成图形的面积为 ，他们 与直线 所围成的图形面积为 。 a <1 y = ax 2 y = x S1 x = 1 S2 （1） 试确定 a 的值，使 达到最小，并求出最小值； S1 + S2 （2） 求该最小值所对应的图形绕 x 轴旋转一周所生成旋转体的体积。 [解]（1） A ax x dx = a = ∫0 − 2 1 ( ) 3 6 1 a ， 1 2 3 2 6 1 3 2 1 ( ) a a A x ax dx = ∫a − = − + 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 4 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 a+ 2 当a 时,取到最小值A (2)用小圆台法 (x)1(x)2-(,) 2+1 丌 30 例79求曲线y=nx,(2≤x≤6)上的一条切线,使该切线与直线 x=2,x=6所围成平面图形面积最小。 [解]设切点为x0,则切线方程为 y=-(x-x0)+nx0,该切线与直线 x=2,x=6所围成平面图形面积为 16 +Inx.-1 0 l)dx=-+4(lnx-1), 0 当x0=4时,面积最小。切线为y=x-1+n4 例710过点(1,0)作曲线y=√x-2的切线,该切线与上述曲线及x轴围成平面图 (1)求A的面积 (2)求A绕x轴旋转一周所成旋转体体积 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 5-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 3 1 2 1 3 1 3 A1 + A2 = a − a + , 当 2 1 a = 时， 取到最小值 6 2 3 1 ) 2 1 A( = − 。 （2） 用小圆台法 ∫ − − ∫ − 1 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 ) ] 2 ) ( ) ] [( ) ( 2 [( dx x x dx x x π π π 30 2 +1 = 。 例 7.9 求曲线 y = ln x, (2 ≤ x ≤ 6) 上 的一条 切线，使 该切线与 直 线 x = 2, x = 6所围成平面图形面积最小。 [解] 设切点为 ，则切线方程为 0 x 0 0 0 ( ) ln 1 x x x x y = − + ，该切线与直线 x = 2, x = 6所围成平面图形面积为 x dx x x ( ln 1) 0 6 2 0 ∫ + − 4(ln 1) 16 0 0 = + x − x ， 当 x0 = 4时，面积最小。切线为 1 ln 4 4 1 y = x − + 。 例 7.10 过点(1,0)作曲线 y = x − 2 的切线，该切线与上述曲线及 x 轴围成一平面图 形 A。 （1）求 A的面积； （2）求 A 绕 x 轴旋转一周所成旋转体体积。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 5 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 解:(1)设切点坐标为(x0,y),则在此点的切线斜率为yx=b x 在此点的切线方程为 x-x0)+ 2 把点(10)代入上式得x0=3, 切线方程为y=(x-1), 则A=J[(y2+2)-(2y+1)dy= 3 =x(x-1)2cx-1(x-2)2ax 丌 7.1.3光滑曲线的弧长 .直角坐标系中的光潛曲线y=f(x),a≤x≤b的弧长为 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 6-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 解：（1）设切点坐标为(x0 , y0 ) ，则在此点的切线斜率为 2 2 1 0 0 − ′ = = x y x x 在此点的切线方程为 ( ) 2 2 2 1 0 0 0 − + − − = x x x x y 把点(1,0)代入上式得 3， x0 = 切线方程为 ( 1) 2 1 y = x − ， 则 3 1 [( 2) (2 1)] 1 0 2 A = ∫ y + − y + dy = （2）V x dx x dx x 3 2 2 3 2 1 ( 1)] ( 2) 2 1 = π ∫ [ − −π ∫ − π π π 6 1 2 1 3 2 = − = 7.1.3 光滑曲线的弧长 1. 直角坐标系中的光滑曲线 y = f (x), a ≤ x ≤ b的弧长为 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 6 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 =的1+[(x)2tr 2.参数方程下 x=x(1)2y=y(),a≤t≤B的弧长为 l=1x(o)2+b(]2th. 3.极坐标系下光滑曲线 P=ple q≤B的弧长为 √p(o)++p(o)d 例7.11 求心形线 r=a(1+cos)(a>0)的弧长 解 1=aJ(1+ cos p)2+(sin do =a/r√2+2 cos odo 2aJo 2 cos xdo =8aJf cos tdt=8a. 7.1.4旋转体的侧面积 L.直角坐标系中曲线y=∫(x),a≤x≤b绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积 为A=2n功f(x)1+(x)]2t 2.参数方程下曲线 x=x(t),y=y(1)2a≤t≤B绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积为 A=2TJy(OVx(oP++[y(ol dt 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 = ∫ + [ ] ′ b l a f x dx 2 1 ( ) 。 2. 参数方程下 x = x(t), y = y(t), α ≤ t ≤ β 的弧长为 = ∫ [ ] ′ + +[ ′ ] β l α x t y t dt 2 2 ( ) ( ) 。 3. 极坐标系下光滑曲线 ρ = ρ( ) ϕ , α ≤ ϕ ≤ β 的弧长为 = ∫ ( ) + +[ ] ′ β l α ρ ϕ ρ ϕ dϕ 2 2 ( ) 。 例7.11 求心形线 r = a(1+ cosϕ) ( ) a > 0 的弧长. 解 : = ∫ ( + ) + (− ) π ϕ ϕ ϕ 2 0 2 2 l a 1 cos sin d = ∫− + π a π 2 2cosϕdϕ a d 8a costdt 8a 2 2 2 cos 2 = ∫0 = ∫0 = π π ϕ ϕ 。 7.1.4 旋转体的侧面积 1. 直角坐标系中曲线 y = f (x), a ≤ x ≤ b 绕 轴旋转生成的旋转体的侧面积 为 x = ∫ + [ ] ′ b A a f x f x dx 2 2π ( ) 1 ( ) 。 2. 参数方程下曲线 x = x(t), y = y(t), α ≤ t ≤ β 绕 x 轴旋转生成的旋转体的侧面积为 = ∫ [ ′ ] + +[ ′ ] β A π α y t x t y t dt 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 7 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 例7.12设有曲 线y 过原点作其切 线,求此曲线 切线及x轴为成 的平面区域绕x 轴旋转一周所得到的旋转体 表面积 解:可以求得切线为 2 切点为(2,1) 旋转体表面积由两部分组成: 由曲线绕x轴旋转一周所 得到的旋转体表面积为 A=2Tyy1+y'2dx 由切线绕x轴旋转一周所得到的旋转体表面积为 A2=22xdx=√5丌 z√4x-3dx=2(55-1) 所以旋转体表面积 A1+412=(15-1) 例7.13设外旋转线的方程为 x=alt-sint (0≤t≤2m,a>0), y=a(1-cost) (1)求它绕x轴旋转一周生成的体积与侧面积; 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 8-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 例 7. 12 设有曲 线 y = x −1, 过原点作其切 线, 求此曲线, 切线及 x 轴为成 的平面区域绕 x 轴旋转一周所得到的旋转体 表面积. 解 : 可以求 得切线为 y x 2 1 = , 切点为( ) 2,1 . 旋转体表面积由两部分组成: 由曲线绕 x 轴旋转一周所 得到的旋转体表面积为 ∫ = + ′ 2 1 2 A1 2π y 1 y dx 由切线绕 x 轴旋转一周所得到的旋转体表面积为 π 5π 2 5 2 1 2 2 A2 = ∫0 x dx = (5 5 1) 6 4 3 2 = ∫1 − = − π π x dx 所以旋转体表面积 (11 5 1) 6 = 1 + 2 = − π A A A 。 例 7. 13 设外旋转线的方程为 ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ > = − = − (0 2 , 0) (1 cos ) ( sin ) t a y a t x a t t π ， （1）求它绕 x 轴旋转一周生成的体积与侧面积； 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 8 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 (2)求它绕y轴旋转一周生成的体积与侧面积 解:(1)体积为 Tma(1-cost) 2 a(1-cost ) dt Ta o(1-3cost+3cost-cost)dt 5丌a。 侧面积为 2zry√(x)2+(y 2y(x)2+(y)2at tAjo sindt t、64 167(1-cos2=k(c0s 23 (2)绕y轴旋转体积与侧面积分别为 体积:z2a2(t-sint)2 a sin td=6r3a 侧面积 22x√(x)2+(y)t =2za(t-sint)2-2 costdt-16r2a2 7.2定积分的物理应用 1.平面图形的形心 设∫(x),g(x)在区间{b上可积,则平面图形 D={x,y)a≤x≤b,f(x)sysg(x)的形为 x[g(x)-f(x)dx x D÷20|82(x)-f2(x) (2(x)-f(x)]x[g(x)-f(x)]a 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com -9-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 （2）求它绕 y 轴旋转一周生成的体积与侧面积。 解：（1）体积为 ∫ − − π π 2 0 2 2 a (1 cost) a(1 cost)dt = ∫ − + − π π 2 0 3 2 3 a (1 3cost 3cost cos t)dt = 2 3 5π a 。 侧面积为 ∫ + π π 0 2 2 2 y (x') ( y') dt = ∫ + π π 0 2 2 2 y (x') ( y') dt ＝ dt t a∫ π π 2 0 3 2 8 sin ) 2 ) (cos 2 16 (1 cos 2 0 2 t d t = − a∫ − π π = 2 3 64 πa （2）绕 y 轴旋转体积与侧面积分别为 体积： ∫ − π π 2 0 2 2 a (t sin t) asin tdt = 3 3 6π a ， 侧面积： ∫ + π π 0 2 2 2 x (x') ( y') dt = ∫ − − π π 0 2 a(t sin t) 2 2costdt = 2 2 16π a 7.2 定积分的物理应用 1. 平面图形的形心 设 f (x), g(x) 在区间[a,b]上可积, 则平面图形 D = { } (x, y) a ≤ x ≤ b, f (x) ≤ y ≤ g(x) 的形心为 [ ] ∫ [ ] ∫ − − = b a b a g x f x dx x g x f x dx x ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ∫ [ ] ∫ − − = b a b a g x f x dx g x f x dx y ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 9 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 例7.14求半径为R的半圆板的形心 解:设半圆板的圆心在原点,由对称性, (R-x)dx 4 R R 3丌 例7.15假设区域D由曲线 y=px3(y>0,P>0)及共过点(1,p)的切线 与x轴围成,设此区域的形心为(X,Y),(1)求X的值 (2)求P的值,使D绕y轴旋转一周而生成的旋转体体积为 135 [解](1)y px 切线为y=p+3P(x-1) 与x轴交点为(22,0) A=bpx3ax-P1为, x. xdx-52/ lp+3p(x-d)]xd 5P-%(3px-=2p 4 1+一) 2791135 P 8428 13545 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 10-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 例 7. 14 求半径为 R 的半圆板的形心. 解: 设半圆板的圆心在原点, 由对称性, x = 0. R R R x dx y R R π π 3 4 2 1 ( ) 2 1 2 2 2 = − = ∫− . 例 7. 15 假设区域 D 由曲线 ( 0, 0) 3 y = px y > P > 及其过点(1, p)的切线 与 x 轴围成，设此区域的形心为(X ,Y) ，（1）求 X 的值； （2）求 p 的值，使 D 绕 y 轴旋转一周而生成的旋转体体积为 π 135 7 Vy = 。 [解] （1） y px p x x 3 3 1 2 1 ′ = = = = ， 切线为 y = p + 3p(x −1) 。 与 x 轴交点为 ,0) 3 (2 , A px dx p p 12 1 6 1 1 0 3 = ∫ − = ， M px xdx p p x xdx y [ 3 ( 1)] 1 3 2 1 0 3 = ∫ ⋅ − ∫ + − = p − ∫ px − px dx 1 3 2 2 (3 2 ) 5 1 p p p 135 7 ) 9 4 1 27 8 (1 5 1 = − − − + = 45 28 135 84 X = = 。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 10 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
