《高等数学》Ⅱ一Ⅱ备课教案 《高等数学》Ⅱ一Ⅱ课程教案 课程名称:高等数学i\ Calculus i i 二.学时与学分:108学时6学分 三。适用专业ε计算机、通信、自动化等信息类专业+机械、材料等大面积 工科和经管类(理科)专业。 课程教材:《高等数学》,第五版.同济大学数学教研室编,高等教育 出版社 1.陈传璋等编,《数学分析》,高等教育出版社,北京,1983。 2.刘玉链等编,《数学分析讲义》,高等教育出版社,北京,1992。 4.李心灿编,《高等数学应用205例》,高等教育出版社,北京,1986。 5.喻德生等编,《高等数学学习引导》,化学工业出版社,北京,2003 6.菲赫金哥尔茨编,《数学分析原理》,吴视人等译,人民教育出版社, 1957。 7.胡乃等译,《微积分》高等教育出版社 8.马知恩等编,《工科数学分析基础》高等教育出版社 五.上课教师:数理学院《高等数学》公共课教师 六.课程的性质、目的和任务:高等数学是工科大学生最重要的基础理论 课之一,它作为工程教育中的一个重要内容,目的在于培养工程技术人员 必备的基本数学素质。任务:通过本课程的学习,使学生理解微积分中极 限、导数、积分等基本概念;掌握基本的运算技巧;使学生能用所学的知 识去解决各种领域中的一些实际问题;训练学生数学推理的严密性,使学 生具有一定的数学修养和对实际问题具有抽象、归纳、推广的能力,能用 数学的语言描述各种概念和现象,能理解其它学科中所用的数学理论和方 法;培养学生学习数学的兴趣,帮助学生养成自学数学教材和其它数学知 识的能力,为以后学习其它学科打下良好的基础 七、教学方式(手段):主要采用讲授新课的方式 第七章空间解析几何 、教学目的与要求 1、了解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示 2、掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积),掌握两个向 量垂直和平行的条件 3、了解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式,熟练掌握用 坐标表达式进行向量运算的方法。 4、理解曲面方程的概念,了解常用二次曲面的方程及其图形,会求以坐 标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 5、了解空间曲线的参数方程和一般方程,了解空间曲线在坐标平面上的 投影,并会求其方程 6、掌握平面方程和直线方程及其求法。 7、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角,并会利用平 面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题。 8、会求点到直线以及点到平面的距离。 二、教学内容及学时分配: 第七章空间解析几何与向量代数第1页共6页
《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案 第七章空间解析几何与向量代数第 1 页 共 6 页 《高等数学》Ⅱ—Ⅱ课程教案 一． 课程名称：高等数学 ii \Calculus ii 二． 学时与学分：108 学时 6 学分 三． 适用专业：计算机、通信、自动化等信息类专业+机械、材料等大面积 工科和经管类（理科）专业。 四． 课程教材：《高等数学》，第五版. 同济大学数学教研室编，高等教育 出版社 1．陈传璋等编，《数学分析》，高等教育出版社，北京，1983。 2．刘玉链等编，《数学分析讲义》，高等教育出版社，北京，1992。 4．李心灿编，《高等数学应用 205 例》，高等教育出版社，北京，1986。 5．喻德生等编，《高等数学学习引导》，化学工业出版社，北京，2003。 6．菲赫金哥尔茨编，《数学分析原理》，吴视人等译，人民教育出版社， 1957。 7．胡乃 等译，《微积分》高等教育出版社 8．马知恩等编，《工科数学分析基础》高等教育出版社 五． 上课教师：数理学院《高等数学》公共课教师 六． 课程的性质、目的和任务：高等数学是工科大学生最重要的基础理论 课之一，它作为工程教育中的一个重要内容，目的在于培养工程技术人员 必备的基本数学素质。任务：通过本课程的学习，使学生理解微积分中极 限、导数、积分等基本概念；掌握基本的运算技巧；使学生能用所学的知 识去解决各种领域中的一些实际问题；训练学生数学推理的严密性，使学 生具有一定的数学修养和对实际问题具有抽象、归纳、推广的能力，能用 数学的语言描述各种概念和现象，能理解其它学科中所用的数学理论和方 法；培养学生学习数学的兴趣，帮助学生养成自学数学教材和其它数学知 识的能力，为以后学习其它学科打下良好的基础。 七、教学方式（手段）：主要采用讲授新课的方式 第七章 空间解析几何 一、教学目的与要求 1、了解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向 量垂直和平行的条件。 3、了解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用 坐标表达式进行向量运算的方法。 4、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐 标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 5、了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标平面上的 投影，并会求其方程 6、掌握平面方程和直线方程及其求法。 7、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平 面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。 8、会求点到直线以及点到平面的距离。 二、教学内容及学时分配：
《高等数学》Ⅱ一Ⅱ备课教案 第一节向量及其线性运算 2学时 第二节数量积向量积和混合积 4学时 第三节曲面及其方程 2学时 第四节空间曲线及其方程 2学时 第五节平面及其方程 2学时 第六节空间直线及其方程 2学时 三、教学内容的重点及难点 重点:向量概念与运算,旋转曲面方程,柱面方程,平面方程直线方程 难点:向量的数量积与向量积,旋转曲面方程,平面束方程,有关直线 与平面的综合题 四、教学内容的深化和拓宽: 、空间直角坐标系的作用,向量的概念及其表示 2、向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积),两个向量垂直、 平行的条件。 3、单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式,以及用坐标表达 式进行向量运算的方法。 4、平面方程和直线方程及其求法,会利用平面、直线的相互关系(平行 垂直、相交等)解决有关问题。 5、曲面方程的概念,常用二次曲面的方程及其图形 五、思考题与习题 第一节习题7-11.2.4.5.6.7.8.12.13.5.16.17.18.19 第二节习题7-21.2.3.4.6.8.9.10 第三节习题7-31.3.5.6.7.8.9.10.11 第四节习题7-41.2.3.5.6.7 第五节习题7-5全作 第六节习题7-61.3.4.5.7.8.10.11.13.14.15.16 第一节向量及其线性运算 内容要点 1、向量:有大小、方向的量。向量相等:大小、方向。单位向量、零向 、向量的坐标表达式及其运算 1)向量的加法、减法 满足:交换律、结合律。平行四边形、三角形法 2)向量的数乘,满足:结合律、分配律 3)两向量平行的充要条件:b=a 4)空间直角坐标系(右手坐标系) 5)利用坐标作向量的线性运算 1)向量的坐标向量表示 2)对应坐标运算 6)向量的模、方向角投影 向量的模与两点间的距离公式 =OM=OP+00+0 第七章空间解析几何与向量代数第2页共6页
《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案 第七章空间解析几何与向量代数第 2 页 共 6 页 第一节 向量及其线性运算 2 学时 第二节 数量积 向量积和混合积 4 学时 第三节 曲面及其方程 2 学时 第四节 空间曲线及其方程 2 学时 第五节 平面及其方程 2 学时 第六节 空间直线及其方程 2 学时 三、教学内容的重点及难点： 重点: 向量概念与运算， 旋转曲面方程,柱面方程 ，平面方程直线方程 难点:向量的数量积与向量积 ，旋转曲面方程，平面束方程 ，有关直线 与平面的综合题 四、教学内容的深化和拓宽： 1、空间直角坐标系的作用，向量的概念及其表示。 2、向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），两个向量垂直、 平行的条件。 3、单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达 式进行向量运算的方法。 4、平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、 垂直、相交等）解决有关问题。 5、曲面方程的概念，常用二次曲面的方程及其图形， 五、思考题与习题 第一节 习题 7—1 1. 2. 4. 5. 6. 7. 8. 12. 13. 15. 16. 17. 18. 19 第二节 习题 7-2 1. 2. 3. 4. 6. 8. 9. 10. 第三节 习题 7-3 1. 3. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11 第四节 习题 7-4 1. 2. 3. 5. 6. 7 第五节 习题 7-5 全作 第六节 习题 7-6 1. 3. 4. 5. 7. 8.10. 11. 13. 14. 15. 16 第一节 向量及其线性运算 一、内容要点 1、向量：有大小、方向的量。向量相等：大小、方向。单位向量、零向 量 2、向量的坐标表达式及其运算 1) 向量的加法、减法 满足：交换律、结合律。平行四边形、三角形法。 2) 向量的数乘，满足：结合律、分配律 3) 两向量平行的充要条件： b = a 4) 空间直角坐标系(右手坐标系) 5) 利用坐标作向量的线性运算 1) 向量的坐标向量表示 2) 对应坐标运算。 6) 向量的模、方向角投影 向量的模与两点间的距离公式。 2 2 2 OM OP OQ OR = = + +
《高等数学》Ⅱ一Ⅱ备课教案 AB -x)2+ 教学要求和注意点 教学要求: 1、理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示, 2、掌握向量的线性运算 注意点:用图解法讲述也可用多媒体课件 第二节数量积向量积和混合积 、内容要点 a=axi+a√J+azk= b=b, i+b j+b, k=bx, b, b, j 1)数量积(点积a5=同 ibcos(a, b) 园6)=6a a+a+a 性质:a.b=axbx+ayby+azbz a b 应用:(i) b=arccos a·a=a 2)向量积axb N=|×=同sn(b) c⊥a,c⊥b即a×b⊥a,a×b⊥b, 右手定则 a×b).b=0 注意 b=-bx a a x b、bb 应用(i)S△ABC AB×AC (ii)a/b>a×b=0 第七章空间解析几何与向量代数第3页共6页
《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案 第七章空间解析几何与向量代数第 3 页 共 6 页 2 2 2 2 1 2 1 2 1 AB x x y y z z = − + − + − ( ) ( ) ( ) 二、教学要求和注意点 教学要求： 1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。 2、掌握向量的线性运算 注意点：用图解法讲述. 也可用多媒体课件. 第二节 数量积 向量积和混合积 一、内容要点 a = a x i + a y j + az k = a x ,a y ,az b = bx i + by j + bz k = bx ,by ,bz 1）数量积 (点积) a b a b cos(a,b) = ( ) ( ) a b a b b a = = 2 z 2 y 2 x a = a + a + a 性质： x x y y z bz a b = a b + a b + a 应用：（i） b a a b a b arccos − = （ii） 2 a a a a = = 2)向量积 a b c = ( ) c = a b = a b sin a, b c a, c b a b a, a b b, ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ 即 右手定则 即 (a b) a = 0, (a b) b = 0 注意 a b b a = − x y z x y z b b b a a a i j k a b = 应用（i） AB AC 2 1 SΔABC = （ii） a//b a b = 0
《高等数学》Ⅱ一Ⅱ备课教案 (11)如6,b⊥,则c/后×b) 即利用向量积求出同时垂直两个已知矢量的矢量。 (iii) alb>a b=0 3)混合积(1)四]=b,b,b (2)混合积的几何意义 (3)三向量共面的充分必要条件为混合积等于零 二、教学要求和注意点 教学要求:掌握数量积、向量积、混合积了解两个向量垂直、平行的条件。 注意点:本单元内容十分重要,应精讲多练 第三节曲面及其方程 、内容要点 常用二次曲面的方程及其图形 1、球面:设P(x0,y0,z0)是球心,R是半径,P(xy,z)是球面上任 点,则P=R,即(x-x0)2+(-yn)2+(z-)2=R2 R 2、椭球面 3、旋转曲面 设L是x0z平面上一条f(xz)=0曲线,L绕z旋转一周所得旋转曲 面 0 y )2 xo=土√x2+y2zo=z代入方程f(xz)=0 得√x2+y2,z)=0 z=x2+y2,z=ax2+y2)称为旋转抛物面 旋转双曲面 Z 4、椭圆抛物面 5、单叶双曲面 第七章空间解析几何与向量代数第4页共6页
《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案 第七章空间解析几何与向量代数第 4 页 共 6 页 （iii）如 a c, b c, 则 c//(a b) ⊥ ⊥ 即利用向量积求出同时垂直两个已知矢量的矢量。 （iii） a⊥b a b = 0 3) 混合积 (1) [ ] x y z x y z x y z a a a abc b b b c c c = (2) 混合积的几何意义 (3) 三向量共面的充分必要条件为混合积等于零. 二、教学要求和注意点 教学要求： 掌握数量积、向量积、混合积了解两个向量垂直、平行的条件。 注意点： 本单元内容十分重要,应精讲多练。 第三节 曲面及其方程 一、内容要点 常用二次曲面的方程及其图形 1、球面 ：设 ( ) 0 0 0 0 P x , y , z 是球心，R 是半径， P(x, y, z) 是球面上任一 点，则 P0P = R ，即 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 0 2 x − x0 + y − y + z − z = R 2 2 2 2 x + y + z = R 2、椭球面 1 c z b y a x 2 2 2 2 2 2 + + = 3、旋转曲面 设 L 是 x0z 平面上一条 曲线，L 绕 z 旋转一周所得旋转曲 面 f( x y , z) 0 2 2 + = ( ) 0 2 2 2 0 2 2 0 x = x + y + z − z = x + y , z = z x x y z 0 z f(x, z) 0 2 2 0 = + = 代入方程 = 得 f( x y , z) 0 2 2 + = ( ) 2 2 2 2 z = x + y , z = a x + y 称为旋转抛物面 旋转双曲面： 1 c z a x y 2 2 2 2 2 − = + ，(单) 2 2 2 2 2 c z a x y z + + = − 4、椭圆抛物面 z ax by ab 0 2 2 = + 5、单叶双曲面 1 c z b y a x 2 2 2 2 2 2 + − = ( ) = = y 0 f x, z 0
《高等数学》Ⅱ一Ⅱ备课教案 、双叶双曲面 7、二次锥面 圆锥面Z=X+y z = ax 8、柱面抛物柱面y=ax2(a>0) 椭圆柱面 圆柱面 R 教学要求和注意点 教学要求:理解曲面方程的概念,了解常用二次曲面的方程及其图形,会 求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程 注意点:本单元教师应在黑板做好图形或者用多媒体课件.应用旋转曲面 讲好多数二次曲面 第四节空间曲线及其方程 一、内容要点 空间曲线及曲线在三个坐标面上投影方程 式∫F(xy,2)= E2(xy,z)=0 参数式 y=y(1) 二=z() 在三坐标面上投影方程 在x0y面上投影曲线方程:在 ∫F(y2=0 E2(xy, z)=0 中消去z,再与z=0联立。 其他坐标平面上的投影曲线方程求法类似 二、教学要求和注意点 教学要求:理解空间曲线的参数方程和一般方程。解空间曲线在坐标平面上的 投影,并会求其方程。 注意点:本单元教师应在黑板做好图形或者用多媒体课件 第五节平面及其方程 、内容要点 已知平面π过点M(xo、y、z0),n=(A,B,C)为π的法矢量 1>点法式:A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z)=0 2〉一般式:Ax+By+Cz+D=0,A、B、C不全为零 3〉截距式:x+y+C=1,a,b,C分别为平面在x轴、y轴、z轴上的截距。 ⊥n ∥r ∥ 点M(x、yo、zo)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为 第七章空间解析几何与向量代数第5页共6页
《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案 第七章空间解析几何与向量代数第 5 页 共 6 页 6、双叶双曲面 1 c z b y a x 2 2 2 2 2 2 − − + = 7、二次锥面 0 c z b y a x 2 2 2 2 2 2 + − = 圆锥面 2 2 2 2 2 2 z = x + y z = ax + by 8、柱面 抛物柱面 y ax (a 0) 2 = 椭圆柱面 1 b y a x 2 2 2 2 + = 圆柱面 2 2 2 x + y = R 二、教学要求和注意点 教学要求：理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会 求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 注意点：本单元教师应在黑板做好图形,或者用多媒体课件. 应用旋转曲面 讲好多数二次曲面. 第四节 空间曲线及其方程 一、内容要点 空间曲线及曲线在三个坐标面上投影方程 一般式 ( ) ( ) ( ) x x t y y t z z t = = = 参数式: 在三坐标面上投影方程 在 x0y 面上投影曲线方程：在 ( ) ( ) = = F x, y, z 0 F x, y, z 0 2 1 中消去 z，再与 z=0 联立。 其他坐标平面上的投影曲线方程求法类似。 二、教学要求和注意点 教学要求：理解空间曲线的参数方程和一般方程。解空间曲线在坐标平面上的 投影，并会求其方程。 注意点：本单元教师应在黑板做好图形,或者用多媒体课件. 第五节 平面及其方程 一、内容要点 已知平面过点 M0（x0、y0、z0）， n ( , , ) = A B C 为的法矢量。 1> 点法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 2> 一般式：Ax+By+Cz+D=0，A、B、C 不全为零。 3> 截距式： 1 z c b y a x + + = ，a，b，C 分别为平面在 x 轴、y 轴、z 轴上的截距。 π1 ⊥ π 2 1 n ⊥ 2 n π1 ∥ π 2 1 n ∥ 2 n 点 M0(x0、y0、z0)到平面 Ax+By+Cz+D=0 的距离为 ( ) ( ) = = F x, y, z 0 F x, y, z 0 2 1
《高等数学》Ⅱ一Ⅱ备课教案 Ax + by +cz +d √A2+B2+C 、教学要求和注意点 教学要求:本单元为重点应多做习题 注意点:本单元习题习题75全作 第六节空间直线及其方程 、内容要点 1>空间直线的一般方程 L:JAX+By+Cz+D,=0 IA2X+By+C2Z+D2=0 2>点向式(对称式) 直线过点M(x0、y、2),§={mnp}为L方向向量 X 则L: y=yo Z p + mt 3>参数式L:{y=yo+ntt为参数 t pt L∥La纱s1∥S2 s1⊥s2 5°直线与平面关系 1>L∥兀分5⊥即§·n=0 AB C 2>L⊥π4s∥n 3>点P到直线L的距离,L的方向向量s={mnp},M为L上一点 MPx d 平面束方程 直线1 A1x+B1y+C1=+D1=0 A2x+B2y+C2=+D2=0 WA,X+By+CZ+D,+n(A,X+By+C2z+ d2)=0 为过直线L的除平面A2X+B2y+C2Z+D2=0外的平面束方程 教学要求和注意点 教学要求:本单元为重点,与难点,有全章的综合题 注意点:习题761.3.4.5.7.8.10.11.13.14 15..16 第七章空间解析几何与向量代数第6页共6页
《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案 第七章空间解析几何与向量代数第 6 页 共 6 页 2 2 2 0 0 0 A B C Ax By Cz D d + + + + + = 二、教学要求和注意点 教学要求：本单元为重点,应多做习题 注意点：本单元习题 习题 7-5 全作 第六节 空间直线及其方程 一、内容要点 空间直线的一般方程 L： + + + = + + + = A x B y C z D 0 A x B y C z D 0 2 2 2 2 1 1 1 1 点向式（对称式） 直线过点 M0(x0、y0、z0)， s = m, n,p 为 L 方向向量 则 L： p z z n y y m x x0 0 − 0 = − = − 参数式 L： = + = + = + z x pt y y nt x x mt 0 0 0 t 为参数 L1∥L2 1 s ∥ 2 s L1⊥L2 1 s ⊥ 2 s 5 0 直线与平面关系 L∥π s ⊥ n 即 s n = 0 L⊥π s ∥ n p C n B m A = = 点 P 到直线 L 的距离，L 的方向向量 s = m, n,p ，M0为 L 上一点 s M P s d 0 = 平面束方程 直线 L： + + + = + + + = 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 A x B y C z D A x B y C z D 则 A x B y C z D (A x B y C z D ) 0 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 = 为过直线 L 的除平面 A x B y C z D 0 2 + 2 + 2 + 2 = 外的平面束方程 二、教学要求和注意点 教学要求：本单元为重点, 与难点,有全章的综合题 注意点： 习题 7-6 1. 3. 4. 5. 7. 8. 10. 11. 13. 14. 15. .16