Ch9数项级数 计划课时:14时 P143 2005.03.08 Ch9数项级数(14时) §1预备知识:上极限和下极限(2时)
Ch 9 数项级数 计划课时：14 时 P 1—43 2005. 03. 08. Ch 9 数项级数 （ 1 4 时 ） § 1 预备知识：上极限和下极限（2 时）
§2级数的收敛性及基本性质(3时) 一、概念: 1.级数:级数,无穷级数;通项(一般项,第n项)前n项部分和等概念 (与中学的有关概念联系)级数常简记为∑n 级数的敛散性与和:介绍从有限和入手,引出无限和的极限思想.以在中学 学过的无穷等比级数为蓝本,定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念 例1讨论几何级数∑q的敛散性 解|qk1时,S=∑q 1-q 数收敛 q lq卜1时,Sn=…,级数发散; q=1时,Sn=n+1→>+∞,(n→>∞),级数发散; q=-1时,Sn=(+(-1).(n→∞),级数发散 综上,几何级数∑q”当且仅当|qK1时收敛,且和为 1。(n从0开始 例2讨论级数∑ 的敛散性.解用链锁消去法求S n 例3讨论级数∑的敛散性 解设S k123 +-1 22232 →Sn→>2,(n→∞).因此,该级数收敛 例4讨论级数∑。2n的敛散性 34
§ 2 级数的收敛性及基本性质（ 3 时 ） 一、概念 ： 1． 级数 ：级数 ，无穷级数 ; 通项 ( 一般项 , 第 项 ), 前 项部分和等概念 ( 与中学的有关概念联系 ). 级数常简记为 n n ∑un . 2． 级数的敛散性与和 : 介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想 . 以在中学 学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念 . 例 1 讨论几何级数 ∑ 的敛散性. ∞ n=0 n q 解 q 1|| 时, = ", 级数发散 ; Sn q = 1时, nS 1 +∞→+= , n n → ∞ ) ( , 级数发散 ; q −= 1时, ( ) n n S )1(1 2 1 −+= , n → ∞ ) ( , 级数发散 . 综上, 几何级数 ∑ 当且仅当 时收敛, 且和为 ∞ n=0 n q q < 1|| 1− q 1 ( n 从 0 开始 ). 例 2 讨论级数 ∑ ∞ =1 + )1( 1 n nn 的敛散性. 解 用链锁消去法求 . Sn 例 3 讨论级数∑ ∞ n=1 2n n 的敛散性. 解 设 ∑= − + − ++++== n k n k n n k nn S 1 32 1 22 1 2 3 2 2 2 1 2 " , Sn = 2 1 432 1 22 1 2 3 2 2 2 1 + + − ++++ nn nn " , 32 1 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 + −++++=−= nn n nn n SSS " = 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 →− − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = n+ n n , n → ∞ ) ( . ⇒ , . 因此, 该级数收敛. Sn → 2 n ∞→ ) ( 例 4 讨论级数∑ ∞ =1 − 35 2 n n n 的敛散性. 134
2n2n2 2 解 Sn>"5+∞,(n>∞).级数发散 3.级数与数列的关系 ∑un对应部分和数列{Sn},∑un收敛台{Sn}收敛,对每个数列{xn} 对应级数x1+∑(xn-xn),对该级数,有Sn=xn于是,数列{xn}收敛 级数x1+∑(xn-xn-)收敛可见,级数与数列是同一问题的两种不同形式 4.级数与无穷积分的关系: J八(=2J=2 其中n=「f.无穷积分可化为级数;对每 个级数,定义函数f(x)=ln,n≤x0,彐N,Wn>N和vp∈N 由该定理可见,去掉或添加上或改变(包括交换次序)级数的有限项,不会影 响级数的敛散性.但在收敛时,级数的和将改变.去掉前k项的级数表为 系(级数收敛的必要条件)∑n收敛→imun=0 例5证明p-2级数∑收敛 证显然满足收敛的必要条件,令ln=2,则当n≥2时有 台(n+k)2红(n+k-1)(n+k) P 135
解 5 2 , 5 2 5 2 35 2 ⋅>⇒=> − nS n n n n n → + ∞ , n → ∞ ) ( . 级数发散. 3． 级数与数列的关系 : ∑un 对应部分和数列{ Sn }, ∑un 收敛 ⇔ { }收敛; 对每个数列{ }, 对应级数 , 对该级数, 有 = . 于是, 数列{ }收敛 Sn n x ∑ ∞ = −+ − 2 1 1 )( n nn xxx Sn n x n x ⇔ 级数 ∑ 收敛. 可见, 级数与数列是同一问题的两种不同形式 . ∞ = −+ − 2 1 1 )( n nn xxx 4. 级数与无穷积分的关系 : ∫ ∑ ∫ +∞ ∞ = + == 1 1 1 )( n n n fdxxf ∑ ∞ n = 1 u n , 其中 . 无穷积分可化为级数 ; 对每 个级数 , 定义函数 ∫ + = n 1 n n fu = n , )( ≤ ∃ , , 0 ∀ > NnN 和 ∀p ∈N, ⇒ | | ε nn ++ 21 "+++ uuu + pn < . 由该定理可见, 去掉或添加上或改变 ( 包括交换次序 ) 级数的有限项 , 不会影 响级数的敛散性 . 但在收敛时 , 级数的和将改变 . 去掉前 项的级数表为 或 . k ∑ ∞ kn += 1 n u ∑ ∞ = + n 1 kn u 系 ( 级数收敛的必要条件 ) ∑un 收敛 ⇒ = 0lim∞→ n n u . 例 5 证明 级数 p − 2 ∑ ∞ =1 2 1 n n 收敛 . 证 显然满足收敛的必要条件 . 令 2 1 n un = , 则当 n ≥ 2时有 ∑ ∑ = = ++ + < + −= +−+ < + =+++ p k p k nn pn kn npnnknkn uuu 1 1 21 2 , 111 ))(1( 1 )( 1 | " | " 135
应用 Cauchy准则时,应设法把式1∑unk不失真地放大成只含n而不含p的式子, 令其小于E,确定N 例6判断级数∑nsin的敛散性.(验证Ln协0.级数判敛时应首先 验证是否满足收敛的必要条件) 例7(n→0但级数发散的例)证明调和级数∑二发散 证法一(用 Cauchy准则的否定进行验证) 证法二(证明{Sn}发散利用Ch10习题课例2已证明的不等式 h(n+1)0,Sn;任意加括号不影响敛散性 2.基本定理: 136
应用 Cauchy 准则时，应设法把式 |∑ |不失真地放大成只含 而不含 = + p k kn u 1 n p 的式子， 令其小于ε ，确定 N . 例 6 判断级数 ∑ ∞ =1 1 sin n n n 的敛散性. ( 验证 . 级数判敛时应首先 验证是否满足收敛的必要条件 ) un →/ 0 例 7 ( un → 0 但级数发散的例 ) 证明调和级数∑ ∞ =1 1 n n 发散 . 证法一 ( 用 Cauchy 准则的否定进行验证 ) 证法二 ( 证明{ } Sn 发散. 利用 Ch 10 习题课例 2 已证明的不等式 n n n ln1 1 2 1 1 )1ln( " + , 0 2．基本定理 : 136
Th1设n20,则级数∑un收敛Sn=01).且当∑un发散时, 有 Sn→+∞,(n→∞) (证) 正项级数敛散性的记法 3.正项级数判敛的比较原则 Th2设∑n和∑vn是两个正项级数,且3N,n>N时有un,≤Tn,则 ∑ ∑un=+∞,→∑vn=+∞.(ⅱ>是1>的逆否命题) 例1考查级数∑ 的敛散性 解有-n+1>0,→ n+ 例2设01),判断级数∑psin"1的敛散性 系1(比较原则的极限形式)设∑un和∑是两个正项级数且m=1,则 i>0l=0时, ∑ v<+∝ lL<+∞ i)l=+时,∑vn=+,→∑ lL=+0 (证) 系2设∑un和∑vn是两个正项级数,若un=0(vn),特别地,若 ln~n,(n→∞),则∑x+分∑"n=+ 例3判断下列级数的敛散性 (1) 2 正项级数判敛法: 1.检比法:亦称为 D'alembert判别法.用几何级数作为比较对象,有下列所 谓检比法 137
Th 1 设 un ≥ 0 . 则级数 ∑un 收敛 ⇔ Sn = )1(0 . 且当 ∑un 发散时, 有 +∞→ , Sn n → ∞ ) ( . ( 证 ) 正项级数敛散性的记法 . 3． 正项级数判敛的比较原则 : Th 2 设 和 是两个正项级数 ∑un ∑vn , 且∃ , > NnN 时有 nn ≤ vu , 则 ⅰ> ∑vn ∑un = ∞+ , ⇒ ∑vn = + ∞ . ( ⅱ> 是ⅰ>的逆否命题 ) 例 1 考查级数∑ ∞ =1 +−2 1 1 n nn 的敛散性 . 解 有 , "" 2 1 1 , 01 2 2 2 2 nnn n n +− 例 2 设 ) 1 ( 0 π qqp > l 0 ∞+ l = 0 时 , ∑ l +∞= 时 , ∑ = , ⇒ n v ∞+ ∑un = + ∞ . ( 证 ) 系 2 设 和 是两个正项级数 , 若 = ， 特别地 ，若 ～ , ， 则 ∑un ∑ n v un vn )(0 un n v n ∞→ ) ( ∑un < ∞+ ⇔ ∑ n v = + ∞ . 例 3 判断下列级数的敛散性: ⑴ ∑ ∞ =1 2 − 1 n n n ; ( n n 2 − 1 ～ n 2 1 ) ; ⑵ ∑ ∞ =1 1 sin n n ; ⑶ ∑ ∞ = + 1 2 ) 1 1 ln( n n . 二、正项级数判敛法: 1． 检比法： 亦称为 D’alembert 判别法 . 用几何级数作为比较对象 , 有下列所 谓检比法 . 137
Th3设∑un为正项级数,且彐N。及q(0N0时 q ∑un u 证1〉不妨设n≥1时就有-≤q∞) 系(检比法的极限形式)设∑un为正项级数,且lm=q.则 ∑ un 1或 註倘用检比法判得∑un=+∞,则有n今0,(n→∞).检比法适用于 ln和n1有相同因子的级数,特别是ln中含有因子n!者 例4判断级数二++ 2.5+25:8++258(2+3n-1) 的敛散性 l1.51.5.9 159…(1+4(n-1) =二0)的敛散性 n=(n+1)xx.n+1 →x,(n→∞).因此,当01时,∑=+∞;x=1时,级数成为∑n,发散 2n+1 例6判断级数∑的敛散性 注意对正项级数∑un,若仅有<1,其敛散性不能确定。例如对级数 ∑和∑立,均有<1,但前者发散,后者收敛
Th 3 设∑un 为正项级数 , 且 ∃ N0 及 0 , ) 10 ( Nnqq 时 ⅰ> 若 1 1 若 1 1 ≥ + n n u u , ⇒ ∑ = . un ∞+ 证 ⅰ> 不妨设 n ≥ 1时就有 1 1 可见 }{ 往后递增 , un ⇒ un →/ , 0 n → ∞ ) ( . 系 ( 检比法的极限形式 ) 设 为正项级数 ∑un , 且 q u u n n n = + ∞→ 1 lim . 则 ⅰ> q q >1或 = q + ∞ , ⇒ ∑un = + ∞ . 註 倘用检比法判得 ∑ = , 则有 un ∞+ un →/ , 0 n → ∞ ) ( . 检比法适用于 和 有相同因子的级数, 特别是 中含有因子 者. un un+1 un n! 例 4 判断级数 ( ) ( ) " " " " + −+⋅⋅ ⋅ ⋅ + − ++ ⋅⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + )1(41951 )1(32852 951 852 51 52 1 2 n n 的敛散性. 解 1 4 3 41 32 lim lim 1 的敛散性. − )0( 1 xnx n 解 ) ( , 1)1( 1 1 → ∞→ + ⋅ + = − + nx n n x nx xn u u n n n n . 因 此 , 当 1时, ∑ +∞= ; x = 1时, 级数成为∑n , 发散. 例 6 判断级数∑ + n n n n!2 1 的敛散性 . 注意 对正项级数 ，若仅有 ∑un 1 1 < + n n u u ，其敛散性不能确定 . 例如对级数 ∑ n 1 和 ∑ 2 1 n , 均有 1 1 < + n n u u ，但前者发散, 后者收敛 . 138
2.检根法( Cauchy判别法)也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法 Th4设∑n为正项级数,且彐N。及l>0,当n>N时 ∑ ∑un=+∞(此时有n0,( 系(检根法的极限形式)设∑n为正项级数,且 lima/u,=1.则 1,→∑un 检根法适用于通项中含有与n有关的指数者.检根法优于检比法(参阅[P15) 例7研究级数∑ 的敛散性 解 lima/u=lim ∑ 1,∫∈R[1,A且 →∑/(m)sf(x)s∑/(m-)=∑/(m 例9讨论p-级数 的敛散性 n=I n 解考虑函数f(x)=-,P>0时f(x)在区间[1,+∞)上非负递减.积分 ∫(x)dx当p>1时收敛,01
2. 检根法 ( Cauchy 判别法 ): 也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法. Th 4 设∑ 为正项级数 , 且 及 , 当 时 , un ∃ N0 l > 0 > Nn 0 ⅰ> 若 lu 若 ≥ 1 n un , ⇒ ∑un = ∞+ . ( 此时有un →/ , 0 n → ∞ ) ( .) 系 ( 检根法的极限形式 ) 设 为正项级数 ∑un , 且 n n lu n = ∞→ lim . 则 l 1 , ⇒ ∑un = + ∞ . ( 证 ) 检根法适用于通项中含有与 有关的指数者 n . 检根法优于检比法. (参阅[1]P15 ) 例 7 研究级数 ∑ −+ n n 2 ) 1 (3 的敛散性 . 解 1 2 1 2 )1(3 lim lim ∀ ARfA ] , 1[ , 1 且 ∫ − ≤ −≤ = n n nnfdxxfnf 1 , 3 , 2 , )1()()( " ⇒ ∑ ∫ ∑ ∑ = − = = ≤ =−≤ m m n m n m n nfnfdxxfnf 1 2 1 2 1 , )()1()()( "" . 例 9 讨论 p − 级数∑ ∞ =1 1 n p n 的敛散性. 解 考虑函数 p >= x xf p , 1 )( 0 时 xf )( 在区间 + ∞ ) , 1 [ 上非负递减 . 积分 ∫ 当 时收敛 , 时发散. ⇒ 级数 +∞ 1 )( dxxf p > 1 p ≤ 1 139
收敛,01时收敛 例10讨论下列级数的敛散性: Inn)' n83n(Inn )(InInn)p ExP19-201-8 习题课(2时) 直接比较判敛: 对正项级数,用直接比较法判敛时,常用下列不等式 (1)an>0,hn≥0,→ h (2)对Van,有 sIn a|≤1,| cosa≤l,| sin a|≤|a ()|anbn|≤-(an+b2);特别地,有 ≤(an+-2),mn≤(a2+n2) (4)an>0时,有1+a2≤(1+an)2 (5)ln(1+n)0 解01时 →1≠0,(n→>∞) + a"+n 例3设数列{nan}有界.证明∑a2<+0
收敛 , p ≤ 1 . 例 10 讨论下列级数的敛散性: ⑴ ∑ ∞ =2 ) ln ( 1 n p nn ; ⑵ ∑ ∞ =3 ) lnln ( ) ln ( 1 n p nnn . Ex P19—20 1―8. 习 题 课 ( 2 时 ) 一． 直接比较判敛： 对正项级数，用直接比较法判敛时 , 常用下列不等式: ⑴ nnn n n aha ha 11 , 0 , 0 ≤ + ⇒≥> . ⑵ 对∀an , 有 || |sin| , 1 |cos| , 1 |sin| an ≤ an ≤ n ≤ aa n . ⑶ )( 2 1 || 22 nn +≤ baba nn ; 特别地 , 有 ) 1 ( 2 1 2 2 n a n a n n +≤ , )( 2 1 22 nanan n +≤ . ⑷ > 0时 , 有 . an 2 2 n +≤+ aa n )1( 1 ⑸ )1ln( 0 . 解 a ≤ 1时 , ⇒∞→≠→ + ) ( , 01 2 n na a n n ∑ +∞= . 例 3 设数列 有界 }{ . 证明∑ . nan +∞<2 an 140
证设|n 例4设an≥0且数列{Vnan}有正下界、证明级数∑an=+ 证设√ h>0 例5an20.若∑=+∞,则∑a2=+0 ≤(a2+),→∑(a2+2) + C=+ 例6设anCn≤bn若级数∑an和∑b收敛,则级数∑cn收敛 例7设an≥0,bn≥0 )∑an1) 43”-n 例9判断下列级数的敛散性 n2-n+1 2+n+3 1+2n 註设正项级数∑un的通项n为n的有理分式,当n为n的假分式时 41
证 设 , , || ⇒≤⇒≤ 2 2 2 n M n aMna n ∑ +∞≥ . 例 5 an ≥ 0 . 若∑ +∞= n an , 则∑ +∞= . 2 an 证 ⇒+≤ ∑ ) +∞=+ 1 ( , ) 1 ( 2 1 2 2 2 2 n a n a n a n n n ; 又 ∑ , ⇒+∞− ∞ = aa n n . 例 9 判断下列级数的敛散性: ⑴ ∑ ∞ = ++ +− 1 23 2 32 1 n nn nn ; ⑵ ∑ ∞ = + ++ 1 4 2 21 32 n n nn . 註 设正项级数 的通项 ∑ 为 的有理分式 . 当 为 的假分式时, un un n un n 141
由于ln→0 ∑ 若ln为n的真分式,倘用检比法,必有 m+→1.有效的方法是利用等价无穷小判别法 例10设函数f(x)在点x0=0有连续的二阶导数,且f(O)=0.试证明 )若f(0)≠0,则级数∑f()发散 (2)若f(O)=0,则级数∑f(-)收敛 (202年西北师大硕士研究生入学试题) 解把函数∫(x)在点x0=0展开成带二阶 lagrange型余项的 Maclaurin公式, 有f(x)=f(0)+O+0,,5介于0与x之间 f()=f0≠0且k≠e 解{an→-,(n→∞) 利用级数判敛求极限 原理:常用判定级数∑xn收敛的方法证明imxn=0或lm∑xn=0
由于 un →/ 0 , ⇒ ∑ +∞= ; 若 为 un n 的真分式 , 倘用检比法, 必有 1 +1 → n n u u . 有效的方法是利用等价无穷小判别法. 例 10 设函数 在点 xf )( x0 = 0 有连续的二阶导数, 且 f = 0)0( . 试证明: ⑴ 若 f ′ ≠ 0)0( , 则级数 ∑ ∞ =1 ) 1 ( n n f 发散. ⑵ 若 f ′ = 0)0( , 则级数 ∑ ∞ =1 ) 1 ( n n f 收敛. （ 2002 年西北师大硕士研究生入学试题 ） 解 把函数 在点 展开成带二阶 Lagrange 型余项的 Maclaurin 公式, 有 xf )( 0 x0 = 2 2 2 )( )0( !2 )( )0()0()( x f xfx f xffxf ξ ′′ ξ = ′ + ′′ += ′ + , ξ 介于 0 与 x 之间. . 1 2 )(1)0() 1 ( 2 n f n f n f ′′ ξ = ′ + ⑴ 若 f ′ ≠ 0)0( ,则当 n 充分大时 ) 1 ( n f 不变号, 可认为 ∑ ∞ =1 ) 1 ( n n f 是同号级数. 有 ) 1 ( n f ∽ n f 1 ′ )0( , ∑ ∞ = ⇒+∞= 1 , 1 n n ∑ ∞ =1 ) 1 ( n n f 发散. ⑵ 若 f ′ = ,0)0( 注意到 ′′ xf )( 在点 连续 0 , x0 = ′′ xf )( 在点 x0 = 0 的某邻域内 有界, 设 ′′ ≤ 2)( Mxf , 有 | ) 1 ( n f |= 2 2 11 2 )( n M n f ⋅≤⋅ ′′ ξ . ∑ ∑ ∞ = ∞ = ⇒+∞ 0 且 ≠ ek . 解 n ∞→→ . ) ( , "" e k n un 三． 利用级数判敛求极限 ： 原理 : 常用判定级数 收敛的方法证明 ∑ n x = 0lim∞→ n n x 或 lim 0 . 1 ∑ = = + ∞→ p i in n x 142