Ch15极值与条件极值 计划课时:8时 P186—204 2005.08.20 Ch15极值与条件极值(8时) §1极值和最小二乘法: 、极值 1.极值的定义:注意只在内点定义极值 2.极值的必要条件:与一元函数比较 Th1设P为函数f(P)的极值点则当f2(B)和存在时,有 f(B)=f,()=0.(证) 函数的驻点,不可导点,函数的可疑点。 3.极值的充分条件: 代数准备:给出二元(实)二次型g(x,y)=ax2+2bxy+cy2.其矩阵为 b i>g(x,y)是正定的,顺序主子式全>0 g(x,y)是半正定的,≌→顺序主子式全≥0 i>g(x,y)是负定的,s(-1)|an>0,其中an为k阶顺序主子式 g(x,y)是半负定的,台(-1)|an片≥0 iii> b。/0时,g(x,y)是不定的 充分条件的讨论:设函数∫(x,y)在点P(x0,y)某邻域有二阶连续偏导数由 1 aylor公式,有 f(xo+h,yo+k)-f(xo, yo)=h+k(o)+h+k-f(Po)+o(p2) f、(B0)h+f,(P)k+
Ch 15 极值与条件极值 计划课时：8 时 P 186 — 204 2005. 08. 20. Ch 15 极值与条件极值 ( 8 时 ) § 1 极值和最小二乘法: 一、极值 1. 极值的定义: 注意只在内点定义极值. 2． 极值的必要条件：与一元函数比较 . Th 1 设 为函数 的极值点 P0 Pf )( . 则当 和存在时 x Pf 0 )( , 有 )( x Pf 0 = )( . ( 证 ) y Pf 0 = 0 函数的驻点，不可导点，函数的可疑点。 3. 极值的充分条件: 代数准备: 给出二元( 实 )二次型 . 其矩阵为 2 2 2),( ++= cybxyaxyxg . ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ cb ba ⅰ> yxg ),( 是正定的,⇔ 顺序主子式全 > 0 , yxg ),( 是半正定的,⇔ 顺序主子式全 ≥ 0 ; ⅱ> yxg ),( 是负定的, ⇔ 0||) 1( , 其中 为 阶顺序主子式. − 1 >k ij k a k aij 1 || k yxg ),( 是半负定的, ⇔ 0||) 1( . − 1 ≥ k ij k a ⅲ> < 0 时, 是不定的. ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ cb ba yxg ),( 充分条件的讨论: 设函数 在点 某邻域有二阶连续偏导数 . 由 Taylor 公式 , 有 yxf ),( ),( 000 yxP )()( !2 1 ),() , ( )( 2 0 2 0 0 00 0 + D ρ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ −++ = Pf y k x hPf y k x hyxfkyhxf = )( + + x Pf 0 h )( y Pf 0 k
1[n(P2+2Jn()M+(]+a() 令A=fn(B0),B=f(P0),C=fn(P0),则当P为驻点时,有 f(x+h,y0+k)-f(x2y)=[4h2+2BMk+Ck于+2)其中 p=√h2+k2可见式f(x+h,yo+k)-f(x,y)的符号由二次型 h2+2BM+Ck2完全决定称该二次型的矩阵为函数f(x,y)的Hes矩阵 于是由上述代数准备,有 i〉A>0,AC-B2>0,→P为(严格)极小值点 i〉A0,→P为(严格)极大值点 i1AC-B2AC-B2=0时,P可能是极值点,也可能不是极值点 综上,有以下定理 Th4设函数∫(P)在点P的某邻域内有连续的二阶偏导数,P是驻点.则 i>Jn(P)>0,(mfn-f2P)>0时,P为极小值点: Ⅱ>J(2)0时,P为极大值点 (nfn-/f2kP)(。fn-f2)P)=0时,P可能是极值点,也可能不是极值点 例1-4P189-19 最小二乘法: 215
[ ] )()()(2)( !2 1 2 2 0 0 2 xx 0 + xy + yy kPfhkPfhPf + D ρ . 令 = xx PfA 0 )( , = xy PfB 0 )( , = yy PfC 0 )( , 则当 为驻点时 P0 , 有 [ ] 2 )( 2 1 ),() , ( 2 2 2 0 0 −++ 00 CkBhkAhyxfkyhxf +++= D ρ . 其中 22 ρ += kh .可见式 ),() , ( 0 0 00 ++ − yxfkyhxf 的符号由二次型 完全决定.称该二次型的矩阵为函数 的 Hesse 矩阵. 于是由上述代数准备, 有 2 2 2 ++ CkBhkAh yxf ),( ⅰ> , 0 0, 为 ( 严格 ) 极小值点 ; 2 BACA >−> 0 ⇒ P ⅱ> , 0 0 , 为 ( 严格 ) 极大值点 ; 2 BACA >− 0 时, 不是极值点; 2 BAC 0 时, 可能是极值点 , 也可能不是极值点 . 2 BAC =− P0 综上 , 有以下定理 . Th 4 设函数 在点 的某邻域内有连续的二阶偏导数 Pf )( P0 , P0 是驻点 . 则 ⅰ> , 0)( ( ) 0)( 0 2 xx 0 > xyyyxx PfffPf >− 时 , 为极小值点; P0 ⅱ> , 0)( ( ) 0)( 0 2 xx 0 − 时 , 为极大值点; P0 ⅲ> ( ) 0)( 0 2 xyyyxx Pfff ( ) 0)( 0 2 xyyyxx Pfff =− 时 , 可能是极值点 , 也可能不是极值点 . P0 例 1—4 P189—191 . 二． 最小二乘法： 215
三.函数的最值: 例5求函数 f∫(x,y)= 在域D={(x,y)x≥0,y≥0,x+y≤4}上的最值 f1(x,y)=2x+4y-10=0, 解令 f,(x,y)=4x-4y+4=0.解得驻点为(1,2).f(1,2)=-1 在边界x=0(0≤y≤4)上,f(0,y)=-2y2+4y,驻点为y=1 f(0,1)=2 在边界y=0(0≤x≤4)上,f(x,0)=x2-10x,没有驻点 在边界y=4-x(0≤x≤4)上,f(x,4-x)=-5x2+18x-16 驻点为x=18,f(1.8,4-1.8)=0.2 又f(0,0)=0,f(0,4)=-16,f(4,0)=-24 于是 maxf(x,y)=max{f(12),f(0,1),f(1.8,2.2),f(0,0),f(0,4),f(4,0)}= max{-1,2,0.2,0,-16,-24}=0.2 minf(x,y)=min{-1,2,0.2,0 §2条件极值(1时) 条件极值问题:先提出下例 例要设计一个容积为V的长方体形开口水箱.确定长、宽和高,使水箱的表 面积最小.分别以x、y和表示水箱的长、宽和高,该例可表述为:在约 束条件xz=V之下求函数S(x,y,z)=2(x+y=)+xy的最小值 条件极值问题的一般陈述 条件极值点的必要条件 设在约束条件p(x,y)=0之下求函数z=f(x,y)的极值.当满足约束条件的点 (x,y0)是函数f(x,y)的条件极值点,且在该点函数q(x,y)满足隐函数存在 条件时,由方程p(x,y)=0决定隐函数y=g(x),于是点x0就是一元函数 216
三．函数的最值： 例 5 求函数 yxf ),( 41024 yxyxyx 2 2 +−−+= 在域 D = yxyxyx ≤+≥≥ } 4 , 0 , 0 |),( { 上的最值 . 解 令 解得驻点为 . ⎩ ⎨ ⎧ =+−= =−+= .04 44),( ,01042),( yxyxf yxyxf y x ) 2 , 1 ( f = −1) 2 , 1 ( . 在边界 yx ≤≤= ) 40 ( 0 上 , 42),0( yyyf , 驻点为 2 +−= y = 1 , f = 2)1,0( ; 在边界 xy ≤≤= ) 40 ( 0 上 , 10)0,( xxxf , 没有驻点; 2 −= 在边界 ≤−= xxy ≤ ) 40 ( 4 上 , 16185)4 , ( , 2 xxxxf −+−=− 驻点为 x = 8.1 , f =− 2.0)8.14 , 8.1( . 又 f = f = − f = −24)0,4( , 16)4,0( , 0)0,0( . 于是 , = fffyxf fff )}0,4( , )4,0( , )0,0( , )2.2 , 8.1( , )1,0( , )2,1(max{),(max = D −= −− = 2.0} 24 , 16 , 0 , 2.0 , 2 , 1 max{ . yxf ),(minD −= − − = −24} 24 , 16 , 0 , 2.0 , 2 , 1 min{ . Ex P195 . § 2 条件极值 ( 1 时 ) 一、 条件极值问题 : 先提出下例: 例 要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的表 面积最小 . 分别以 x 、 y 和 表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约 束条件 之下求函数 z = Vxyz = + )(2),,( + xyyzxzzyxS 的最小值 . 条件极值问题的一般陈述 . 二、 条件极值点的必要条件 : 设在约束条件ϕ yx = 0),( 之下求函数 的极值 . 当满足约束条件的点 是函数 的条件极值点 , 且在该点函数 z = yxf ),( ),( 00 yx yxf ),( ϕ yx ),( 满足隐函数存在 条件时, 由方程 ϕ yx = 0),( 决定隐函数 = xgy )( , 于是点 就是一元函数 0 x 216
z=f(x,g(x)的极限点,有 dz 女=+,8(x)=0 代入g(x0)=、(x0,y0)就有 0,(x0,y0) q2(x0,y) f(x0,y0)-f,(x。,y0) (x,B)0 (以下Jx、f,、Q2、卯,均表示相应偏导数在点(x。,y0)的值) 即Jxg,-f,92=0,亦即(fx,f)·(,,-91)=0 可见向量(fx,f,)与向量(,,-91)正交注意到向量(q3,,)也与向 量(,,-g)正交,即得向量(Jx,J,)与向量(x,o,线性相关,即存 在实数λ,使 (fx,f,)+1 A=0 亦即 J,+0,=0 三、 lagrange乘数法 由上述讨论可见,函数z=f(x,y)在约束条件p(x,y)=0之下的条件极值点应 f(x,y)+A2(x,y)=0, 是方程组 J,(x,y)+1,(x,y)=0,的解 P(x,y)=0 倘引进所谓 Lagrange函数 L(x,y,A)=f(x,y)+p(x,y),(称其中的实数λ为 Lagrange乘数) 则上述方程组即为方程组 L1(x,y,A)=0, L,(x,y,)=0 (x,y,)=0 以三元函数,两个约束条件为例介绍 Lagrange乘数法的一般情况 四、用 lagrange乘数法解应用问题举例: 例1.求容积为V的长方体形开口水箱的最小表面积 例2.抛物面x2+y2=z被平面x+y+z=1截成一个椭圆求该椭圆到坐标原 点的最长和最短距离 217
217 = ( xgxfz )( , )的极限点 , 有 += ′ xgff = 0)( dx dz yx . 代入 ),( ),( )( 00 00 0 yx yx xg y x ϕ ϕ ′ −= , 就有 0 ),( ),( ),(),( 00 00 00 − 00 = yx yx yxfyxf y x x y ϕ ϕ , ( 以下 、 、 x f y f ϕ x 、ϕ y 均表示相应偏导数在点 的值 ),( . ) 00 yx 即 x f ϕ y — y f ϕ x = 0 , 亦即 ( , ) x f y f ⋅( ϕ y , −ϕ x ) = 0 . 可见向量( f x , f y )与向量 ( ϕ y , −ϕ x )正交. 注意到向量 ( ϕ x , ϕ y )也与向 量( ϕ y , −ϕ x )正交, 即得向量( f x , f y )与向量 ( ϕ x , ϕ y )线性相关, 即存 在实数λ , 使 ( , ) + x f y f λ ( ϕ x , ϕ y ) = 0. 亦即 ⎩ ⎨ ⎧ =+ =+ . 0 , 0 yy xx f f λϕ λϕ 三、Lagrange 乘数法 : 由上述讨论可见 , 函数 z = yxf ),( 在约束条件ϕ yx = 0),( 之下的条件极值点应 是方程组 的解. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + = . 0),( , 0),(),( , 0),(),( yx yxyxf yxyxf y y x x ϕ λϕ λϕ 倘引进所谓 Lagrange 函数 λ += λϕ yxyxfyxL ),(),(),,( , ( 称其中的实数λ 为 Lagrange 乘数 ) 则上述方程组即为方程组 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = . 0),,( , 0),,( , 0),,( λ λ λ λ yxL yxL yxL y x 以三元函数 , 两个约束条件为例介绍 Lagrange 乘数法的一般情况 . 四、 用 Lagrange 乘数法解应用问题举例 : 例 1．求容积为V 的长方体形开口水箱的最小表面积 . 例 2．抛物面 =+ zyx 被平面 22 ++ zyx = 1截成一个椭圆. 求该椭圆到坐标原 点的最长和最短距离
例3 函数∫(x,y,2)=x2在条件 -(x>0,y>0 2 下的极小值.并证明不等式 ≤√abe,其中a,b,c为任意 正常数 218
例3． 求函数 ),,( = xyzzyxf 在条件 )0,0,0,0( 1111 rzyx >>>>=++ rzyx 下的极小值. 并证明不等式 3 1 111 3 abc cba ⎟ ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ − , 其中 为任意 正常数 . , , cba 218
