第三节微积分基本公式 巴一、问题的提出 二、积分上限函数及其导数 三、牛顿一莱布尼茨公式 四、小结思考题
生一、问题的提出 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 设某物体作直线运动,已知速度=v(t)是时 间间隔[T1,T2l上的一个连续函数,且v(1)≥0, 求物体在这段时间内所经过的路程 T 变速直线运动中路程为「v()lt 另一方面这段路程可表示为s(T2)-s(T ∫v(o)=()(T其中()=v(C) 上页
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 变速直线运动中路程为 2 1 ( ) T T v t dt 设某物体作直线运动，已知速度v = v(t) 是时 间间隔[ , ] T1 T2 上t 的一个连续函数，且v(t) 0 ， 求物体在这段时间内所经过的路程. 另一方面这段路程可表示为 ( ) ( ) 2 T1 s T − s 一、问题的提出 ( ) ( ) ( ). 2 1 2 1 v t dt s T s T T T = − 其 中 s(t) = v(t)
二、积分上限函数及其导数 设函数f(x)在区间a,b上连续,并且投 为a,b上的一点,考察定积分 ∫f(x)dx=Jf()dt 如果上限在区间a,b上任意变动,则对于 压t在个成定Q定图纷有一个对速他,所以 王记@(x)=()积分上限函数 上页
设函数 f ( x) 在区间[a, b] 上连续，并且设x 为[a, b]上的一点， x a f (x)dx 考察定积分 = x a f (t)dt 记 ( ) ( ) . = x a x f t d t 积分上限函数 如果上限x 在区间[a,b] 上任意变动，则对于 每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以 它 在[a,b]上定义了一个函数， 二、积分上限函数及其导数
积分上限函数的性质 王定理1如果(x)在ab上连续,则积分上限的函 数(x)=f()在a,b上具有导数,且它的导 数是(x) f(tdt=∫(x)(a≤xsb) x+△ 证o(x+△x)= f(tdt 中△=(x+△x)-①(x) x+△ , f(tMdt-J, f(ot of a xx+Axb x 上页 圆
a b x y o 定理１ 如 果f ( x) 在[a, b] 上连续，则积分上限的函 数 x f t dt x a ( ) = ( ) 在[a, b] 上具有导数，且它的导 数 是 ( ) f (t)dt f ( x ) dx d x x a = = (a x b) 积分上限函数的性质 x + x 证 x x f t dt x x a + ( + ) = ( ) = ( x + x) − ( x) f t d t f t d t x a x x a = − + ( ) ( ) (x) x
∫(t)dt+ f(tMt-Cf(t)t x+△v f∫(t)d, x 由积分中值定理得 Φ(x): O|axEx+△xbx △Φ=∫(4△x5∈x,x+△xl 工工工 △Φ △Φ =f(5), im f(s △x △x→>0△x△x>0 △x→>0,5→>xΦ(x)=f(x 上页
f t d t f t d t f t d t x a x x x x a = + − + ( ) ( ) ( ) ( ) , + = x x x f t dt 由积分中值定理得 = f()x [ x, x + x], x→0, → x f ( ), x = lim lim ( ) 0 0 f x→ x x→ = ( x) = f ( x). a b x y o x + x (x) x
补充如果f(t)连续,(x)、b(x)可导, 庄则F(x)=「m。(M的导数F(x).为 F(x)= e Juy (td=fb(x)]b(x)la(x)Ja'() c证F(x)= 0 b(x) 十 丿(t)dt a(r) 0 b(x) a(r) 工工 f(rdt- f(tdt, 0 0 F(x)=/[b(x)b'(x)-f{a(x)]a(x) 王页下
如 果f (t) 连续，a( x) 、b( x) 可导， 则F x f t dt b x a x = ( ) ( ) ( ) ( ) 的导数F( x) 为 补充 = f b(x)b(x) − f a(x)a(x) 证 F x ( )f t dt a x b x ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 = + f t dt b x = ( ) 0 ( ) ( ) , ( ) 0 f t d t a x − F(x) = f b(x)b(x) − f a(x)a(x) = ( ) ( ) ( ) ( ) b x a x f t dt dx d F x
e dt 例1求lm COS x →0 分析:这是型不定式,应用洛必达法则. 0 解 d d cos x e dt=- e dt cos x dxI ex,(cosx)’=sxe -cos sInX·e lim cos =lim = x→0 x→>0 2x 2e 上页
例1 求 lim . 2 1 cos 0 2 x e d t x t x − → 解 − 1 cos 2 x t e dt d x d , cos 1 2 − = − x t e d t d x d (cos ) 2 cos = − − e x x sin , 2 cos x x e − = 2 1 cos 0 2 lim x e dt x t x − → x x e x x 2 sin lim 2 cos 0 − → = . 2 1 e = 0 0 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则
例2设f(x)在(_0,+∞)内连续,且f(x)>0 证明函数F(x)=ht 在(0,+∞)内为单调增 ∫nf(o)t 午加函数 证ar(o=y(x)a 工工工 dx o da f(t)dt=f(x), F(x)= xf(x) f(t)dt-f(xSs(odt f(t)di 0 上页
例 2 设 f ( x) 在(− ,+ ) 内连续，且f ( x ) 0 . 证明函数 = x x f t d t t f t d t F x 0 0 ( ) ( ) ( ) 在(0,+ ) 内为单调增 加函数. 证 x tf t dt d x d 0 ( ) = xf ( x), x f t dt d x d 0 ( ) = f ( x), ( ) 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − = x x x f t d t x f x f t d t f x t f t d t F x
f(x(x-t)f(t)dt F(x)= f(t)dt 0 ∫(x)>0,(x>0)∴f()t>0, 0 (x-)f()>0,∴J(x-)f(nl>0, ∴F(x)>0(x>0 故F(x)在(0,+)内为单调增加函数 上页
( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 − = x x f t d t f x x t f t d t F x f ( x) 0, ( x 0) ( ) 0, 0 x f t d t ( x − t) f (t) 0, ( ) ( ) 0, 0 − x x t f t d t F(x) 0 (x 0). 故F( x) 在(0,+ ) 内为单调增加函数
例3设f(x)在0,1上连续,且∫(x)0, F(x)在0,1上为单调增加函数F(0)=-10, 所以F(x)=0即原方程在0,1上只有一个解 王页下
例 3 设 f ( x) 在[0,1] 上连续，且 f ( x) 1 .证 明 2 ( ) 1 0 − = x f t dt x 在[0,1] 上只有一个解. 证 ( ) 2 ( ) 1, 0 = − − F x x f t d t x f ( x) 1, F(x) = 2− f (x) 0, F(x)在[0,1] 上为单调增加函数. F(0) = −1 0, = − 1 0 F(1) 1 f (t)dt = − 1 0 [1 f (t)]dt 0, 所以F(x) = 0即原方程在[0,1] 上只有一个解. 令