Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D Q. Dai, 2003 第五章函数的小波分解及其应用 利用多分辨率分析,我们已构造出尺度函数φ和小波函数v。本章将研究函数的小波分 解。我们将在第一节首先给出两种分解式,并导出计算小波系数的 Mallat算法。在第二 节将讨论小波的消失矩,它的光滑性以及与滤波函数mo(ω)在ω=π处的零点的重数的 关系。第三节将用小波系数刻划函数的正则性 Mallat算法 给定L(R)的一个正交多分辨率分析{V}/∈z。设使得V⊕W=V+1,j∈Z 假定尺度函数φ和小波函数v满足S(y)=VS(v)=W。由第四章的结果,可推出 如下的表示定理 定理1:设∫∈L2(R),则对任意的整数jo有如下的表达式 f(t)=∑dkk() jk∈z f()=∑%A()+∑∑4k() 其中 Cj. k=,d;, k= 我们引入滤波器系数{hk}和{gk},它们满足 y(t)=∑h(2-k) )=∑9(2t-k)
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D.Q. Dai, 2003 1 第五章 函数的小波分解及其应用 利用多分辨率分析，我们已构造出尺度函数ϕ和小波函数ψ。本章将研究函数的小波分 解。我们将在第一节首先给出两种分解式，并导出计算小波系数的Mallat算法。在第二 节将讨论小波的消失矩，它的光滑性以及与滤波函数m0(ω)在ω = π处的零点的重数的 关系。第三节将用小波系数刻划函数的正则性。 1. Mallat算法 给定L 2 (R)的一个正交多分辨率分析{Vj}j∈Z。设Wj使得Vj ⊕ Wj = Vj+1,∀j ∈ Z. 假定尺度函数ϕ和小波函数ψ满足S(ϕ) = V0,S(ψ) = W0。由第四章的结果，可推出 如下的表示定理。 定理1: 设f ∈ L 2 (R)，则对任意的整数j0 有如下的表达式 f(t) = X j,k∈Z dj,kψj,k(t) (1) 或 f(t) = X k∈Z cj0,kϕj0,k(t) + X j≥j0 X k∈Z dj,kψj,k(t) (2) 其中 cj,k =, dj,k = (3) 我们引入滤波器系数{hk}和{gk}，它们满足 ϕ(t) = X k hkϕ(2t − k) (4) 和 ψ(t) = X k gkψ(2t − k) (5)
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D Q. Dai, 2003 其中,9k=(-1)h1-k 对(3)中的系数cjk和d1k,我们有 定理2( Mallat快速算法):对任何jk∈Z,有 (1)分解算法 C h(-2k Cj+1, 1, i, s. 7 g1-2k Cj+1,1 2)重构算法 +1k=>39+021) 证:(1)由双尺度方程(3),得 ∫f(2(2t-k)dt ∑h∫f(t)25=(21+1t-2k-D 立∑hJf(19+12k+(Ddt ∑h-2k+1 第一式得证,类似的,由(⑤5)可证得第二式 (2)由于V+1=V⊕W,故存在{a},{bn}∈P2,使得 k(t)=∑(a(t)+bv(t) 由标准正交性,得
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D.Q. Dai, 2003 2 其中，gk = (−1)kh1−k。 对(3)中的系数cj,k和dj,k,我们有 定理2（Mallat快速算法）: 对任何j, k ∈ Z, 有 (1) 分解算法 cj,k = 1 √ 2 X l hl−2kcj+1,l, dj,k = 1 √ 2 X l gl−2kcj+1,l (2)重构算法 cj+1,k = 1 √ 2 X l (hk−2lcj,l + gk−2ldj,l) 证：(1)由双尺度方程(3)，得 cj,k = R f(t)2 j 2ϕ(2j t − k)dt = P l hl R f(t)2 j 2ϕ(2j+1t − 2k − l)dt = √ 1 2 P l hl R f(t)ϕj+1,2k+l(t)dt = √ 1 2 P l hl−2kcj+1,l 第一式得证，类似的，由(5)可证得第二式。 (2) 由于Vj+1 = Vj ⊕ Wj，故存在{al} , {bl} ∈ l 2，使得 ϕj+1,k (t) = X ` (a`ϕj,` (t) + b`ψj,` (t)) (6) 由标准正交性，得
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D Q. Dai. 2003 a=∫9(t)y+1k(t)dt 2+5∫9(2t-O)y(2+t-k)dt 2+∑hmJ(2+1-2-m)9(2+1t-k)dt 立∑hmJ(t=2-m)(t-k)dt ∑ 类似地,有 b 在(6)式两边与f作内积,即得证。 在应用中,我们常常使用只有有限个非零元的面具{hk},对应的滤波器称为FIR滤 波器( finite impulse filters) Daubechies小波族都属于这种类型, 对FIR滤波器,在分解算法中,求和是有限和,故分解过程的计算复杂性与输入数 据量成正比,即 Mallat算法是O(N)的。类似的,重构算法也是O(N)的。对大数据量, 它比FFT(O( N log m)更具优越性 2.小波函数的性质 我们对给定的函数f,按公式(1)或(2)首先得到分解系数{(c;k}和{d1k},然后重构得到函 数∫。如果仅仅进行分解,然后再重构,显然不是我们的目的。我们希望通过对分解系 数{c,k}和{d1k}的分析,获得关于函数f的某些性质的认识 上一章我们引入的小波函数满足v(0)=0,即 ∞ v(t)dt=0 更一般地,我们引入消失矩的概念 定义:称函数∫有m(m∈z+)阶消失矩,若
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D.Q. Dai, 2003 3 al = R ϕj,` (t)ϕj+1,k (t) dt = 2j+ 1 2 R ϕ (2j t − `)ϕ (2j+1t − k) dt = 2j+ 1 2 P m hm R ϕ (2j+1t − 2` − m)ϕ (2j+1t − k) dt = √ 1 2 P m hm R ϕ (t − 2l − m)ϕ (t − k) dt = √ 1 2 P m hmδ2`+m,k = √ 1 2 hk−2` 类似地，有 bl = 1 √ 2 gk−2l 在(6)式两边与f作内积，即得证。 在应用中，我们常常使用只有有限个非零元的面具{hk}，对应的滤波器称为FIR滤 波器(finite impulse filters)。Daubechies小波族都属于这种类型。 对FIR滤波器，在分解算法中，求和是有限和，故分解过程的计算复杂性与输入数 据量成正比，即Mallat算法是O(N)的。类似的，重构算法也是O(N)的。对大数据量， 它比F F T(O(N log N))更具优越性。 2．小波函数ψ的性质 我们对给定的函数f，按公式(1)或(2)首先得到分解系数{cj,k}和{dj,k}，然后重构得到函 数f。如果仅仅进行分解, 然后再重构，显然不是我们的目的。我们希望通过对分解系 数{cj,k}和{dj,k}的分析，获得关于函数f的某些性质的认识。 上一章我们引入的小波函数满足ψˆ(0) = 0，即 Z +∞ −∞ ψ(t)dt = 0. 更一般地，我们引入消失矩的概念 定义：称函数f有m(m ∈ Z +)阶消失矩，若
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D Q. Dai. 2003 t"(t)dt=0,n=0, 1 我们给出一个较一般的辅助结果。 引理:设函数f∈Cm(R)不恒为常数,且l(0≤1≤m)阶导数f((t)有界。函数f(t)有界 且有如下的衰减 ≤C(1+|+)-°,a>m+1, 若对任意的整数,j和k,k,有双正交关系 () 则f有m阶消失矩,即 t"f(t)ldt=0,V0≤m≤m 证明:用归纳法.l=0时的证明同下面的证明一样,无需单独证。设00,存在δ>0,当t-2和kmax(ji,0),则由(7)有
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D.Q. Dai, 2003 4 Z +∞ −∞ t n f(t)dt = 0, n = 0, 1, · · · , m. 我们给出一个较一般的辅助结果。 引理：设函数f ∈ C m(R)不恒为常数，且l(0 ≤ l ≤ m)阶导数f (l) (t)有界。函数 ˜f(t)有界 且有如下的衰减 ¯ ¯ ¯ ¯ ∼ f(t) ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ C(1 + |t|) −α , α > m + 1, 若对任意的整数j, j0和k, k0，有双正交关系 D fj,k, ˜fj 0 ,k0 E = δj,j0 ,δk,k0. (7) 则 ˜f有m阶消失矩，即 Z +∞ −∞ t n ˜f(t)dt = 0, ∀0 ≤ n ≤ m. 证明：用归纳法.l = 0时的证明同下面的证明一样，无需单独证。设0 0, 存在δ > 0，当|t − 2 j0 k0| l max(j0, 0)，则由(7)有
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D Q. Dai. 2003 ∫f(t)f(2t-2+0ko)e (n)(2 ko)nf(23t-23+3o ko)dt f o(lt-230kol)f(2't-23*yoko)dt P如了(t-210)(21-2+如k0+J Moo t'f(t)dt+J 而关于J,有 o(u-2k)(2-2+6o)dn ≤c2-(+)Jrod+ca+b(+210-d lyl≤21 ≤Ce·2-(+1)/+1(1+)dy+C2-∫(1+l)l-°d ly≥6 (+1)j 在等式 0=26∠0m+2 中令 得 f0)(20to) t'f(t)disC 故有 l! t'f(tdt=0 由于f不恒为常数,我们推证存在j0,k使得f((2加k0)≠0.当l=0,1时,显然。而 在≥2时,若f0(2k)=0,Vj,k∈Z,由连续性f((t)=0,Ⅵt∈R,因而f(t)是l-1次 多项式。这时∫不可能有界
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D.Q. Dai, 2003 5 0 = + R∞ −∞ f(t) ˜f(2j t − 2 j+j0 k0)dt = P l n=0 f (n) (2 j 0 k0) n! + R∞ −∞ (t − 2 j0 k0) n ˜f(2j t − 2 j+j0 k0)dt + + R∞ −∞ o(|t − 2 j0 k0| l ) ˜f(2j t − 2 j+j0 k0)dt = f (l) (2j0 k0) l! + R∞ −∞ (t − 2 j0 k0) n ˜f(2j t − 2 j+j0 k0)dt + J = f (l) (2 j0 k0) l! 2 −(l+1)j R +∞ −∞ t l ˜f (t) dt + J. 而关于J，有 |J| ≤ R +∞ −∞ o ³ |t − 2 j0 k0| l ´ ¯¯ ¯ ˜f (2j t − 2 j+j0 k0) ¯ ¯ ¯ dt ≤ ² R |y|≤δ |y| l ¯ ¯ ¯ ˜f (2j y) ¯ ¯ ¯ dy + C R |y|>δ (1 + |y|) l ¯ ¯ ¯ ˜f (2j y) ¯ ¯ ¯ dy ≤ ² · 2 −(l+1) R |y|≤2 j δ |y| l ¯ ¯ ¯ ˜f (y) ¯ ¯ ¯ dy + C R |y|>δ (1 + |y|) l (1 + 2j |y|) −α dy ≤ C² · 2 −(l+1)j R +∞ −∞ |y| l (1 + |y|) −α dy + C2 −jα R |y|≥δ (1 + |y|) l |y| −α dy ≤ C² · 2 −(l+1)j + C2 −jα 在等式 0 = f (l) (2j0 k0) l! Z +∞ −∞ t l ˜f (t)dt + J2 (l+1)j 中令j → +∞，得 ¯ ¯ ¯ ¯ f (l) (2j0 t0) l! Z +∞ −∞ t l ˜f (t) dt ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ C² 故有 f (l) (2j0 t0) l! Z +∞ −∞ t l ˜f (t) dt = 0 由于f不恒为常数，我们推证存在j0, k0使得f (l) (2j0 k0) 6= 0. 当l = 0, 1时，显然。而 在l ≥ 2时，若f (l) (2j0 k0) = 0, ∀j0, k0 ∈ Z,由连续性f (l) (t) = 0, ∀t ∈ R，因而f (t)是l−1次 多项式。这时f不可能有界
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D Q. Dai, 2003 最后,我们有广∞f(t)d=0. 将引理应用于正交小波,我们得: 定理3:设{9k}k构成L2(R)的标准正交基,∈Cm,且0有界,l≤m,且对某e>0,有 p(t)|≤C(1+|t)-m--,w∈R 则 tp(t)t=0,0,≤1≤m 推论:设{9k}是L2(R)的标准正交小波基。则下述两性质不能同时成立 (1)v()指数衰减, (2)∈C∞(R),且对任何1,((t)有界 证:设(1)和(2)同时成立,且v(t川≤Ce-.考虑v的 Fourier-Laplace变换,z∈ v(2) v(t)e dt 显然,v(z)在区域{z:|Ima|<a}内解析 由定理3和(2),得 t(t)dt=0,∈z+, 故由0(u)=(iu)+()t2dt,u∈R,得v0(0)=0,Ⅵ∈z+,所以解析函 数v(2)在2=0的某邻域内为零,从而恒为零。这推出()=0.这与{vk}k生 成L2(R)矛盾 对于给定的滤波函数m0u)以及尺度函数y(t),我们构造了小波v(t),它们的联系是 v(u)=e-/2mo(a/2+丌)y2(u/2),p(0)=1 由于m0(丌)=0,m0(u)在u=丌处有零点。当要求有更高的光滑性时有
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D.Q. Dai, 2003 6 最后，我们有 R +∞ −∞ t l ˜f (t) dt = 0. 将引理应用于正交小波，我们得： 定理3：设{ϕj,k}j,k构成L 2 (R)的标准正交基，ϕ ∈ C m,且ϕ (l)有界，l ≤ m,且对某² > 0,有 |ϕ (t)| ≤ C (1 + |t|) −m−1−ε , ∀t ∈ R 则 Z +∞ −∞ t lϕ (t) dt = 0, 0, ≤ l ≤ m. 推论：设{ϕj,k}j,k是L 2 (R)的标准正交小波基。则下述两性质不能同时成立： (1) ψ (t) 指数衰减， (2) ψ ∈ C ∞(R)，且对任何l, ψ(l) (t)有界。 证：设（1）和（2）同时成立，且|ψ (t)| ≤ Ce−a|t| .考虑ψ的Fourier-Laplace变换，z ∈ C, ψˆ (z) = Z +∞ −∞ ψ (t)e itzdt. 显然，ψˆ (z)在区域{z : |Imz| < a}内解析。 由定理3和（2），得 Z +∞ −∞ t lψ (t) dt = 0, ∀l ∈ Z +, 故由ψˆ(l) (ω) = (iω) l R +∞ −∞ ψ (t)t ldt, ω ∈ R, 得ψˆ(l) (0) = 0, ∀l ∈ Z +. 所以解析函 数ψˆ (z)在z = 0的某邻域内为零，从而恒为零。这推出ψ (t) = 0。这与{ψj,k}j,k生 成L 2 (R)矛盾。 对于给定的滤波函数m0(ω)以及尺度函数ϕ(t)，我们构造了小波ψ(t)，它们的联系是 ψˆ(ω) = e −iω/2m0(ω/2 + π) ˆϕ(ω/2), ϕˆ(0) = 1. (8) 由于m0(π) = 0, m0(ω)在ω = π处有零点。当要求ψ有更高的光滑性时有
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D Q. Dai. 2003 定理4:对L∈Z+.若mo∈C(R),且 v∈C,v0()有界,∈L 和对某∈>0, (t)|≤C(1+|+)-k-1 则mo(u)在u=丌有L+1重零点 证:由定理3+Xv()d=0这等价于=0,1=0.1,…,L 由等式(8),可归纳地推得 duyl 从定理4推得,为构造具有一定衰减性和光滑性的小波,形如 mno)=(1+e- 2 的条件是必须要加的。 3小波与函数的正则性 我们首先讨论齐次 Holder函数类,且仅考虑0<α<1的情形。一般情形见龙瑞 麟pp.309-317 我们假设 f(t)-f(s)≤c|t-s",t,s∈R 我们设小波函数v()满足 v(t),|v(t)≤C(1+| (10) 引理:设l=0,1.对任何t∈R,无穷级数一致有界,即
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D.Q. Dai, 2003 7 定理4：对L ∈ Z +. 若m0 ∈ C L (R),且 ψˆ ∈ C L , ψ(l) (t) 有界, ∀l ∈ L. 和对某² > 0, |ψ(t)| ≤ C(1 + |t|) −L−1−² 则m0(ω)在ω = π 有L + 1重零点。 证：由定理3,R +∞ −∞ t lψ(t)dt = 0,这等价于d lψˆ(0) dωl = 0, l = 0, 1, . . . , L. 由等式(8)，可归纳地推得 d lm0(π) dωl = 0, l = 0, 1, . . . , L. 从定理4推得，为构造具有一定衰减性和光滑性的小波，形如 m0(ω) = (1 + e −iω 2 ) L+1M0(ω) 的条件是必须要加的。 3 小波与函数的正则性 我们首先讨论齐次H¨older函数类，且仅考虑0 < α < 1的情形。一般情形见龙瑞 麟pp.309-317. 我们假设 |f(t) − f(s)| ≤ c |t − s| α , ∀t, s ∈ R. (9) 我们设小波函数ψ(t)满足 |ψ(t)| , |ψ 0 (t)| ≤ C(1 + |t|) −2 (10) 引理：设l = 0, 1. 对任何t ∈ R，无穷级数一致有界，即
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D Q. Dai. 2003 ∑|(t-从)≤CⅥt∈R 证:只证l=0时的情形 记g(t)=∑|v(t-k),显然g以1为周期。故 sup g(t)= sup g(t) t∈R 0 则∫为a-H6lder连续的,当且仅当 ld;, hI 证:设∫是a-H6lder连续的,则 14A=了( (f()-f(k2-)k(t) ∫|t-k-2-125(1+|2t-A)-2dt C·.2-(+a) (1+|+)-2at 反之,若(11)成立,则有
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D.Q. Dai, 2003 8 X k ¯ ¯ψ (l) (t − k) ¯ ¯ ≤ C, ∀t ∈ R. 证：只证l = 0时的情形。 记g(t) = P k |ψ(t − k)|，显然g以1为周期。故 sup t∈R g(t) = sup 0≤t≤1 g(t) 这时，由（10）有 sup 0≤t≤1 g(t) ≤ sup 0≤t≤1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ X k (1 + |t − k|) −2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ X k (1 + ||k| − 1|) −2 . 则f为α-H¨older连续的，当且仅当 |dj,h| ≤ C2 −( 1 2 +α)j (11) 证：设f是α-H¨older连续的，则 |dj,k| = ¯ ¯ ¯ ¯ + R∞ −∞ f(t)ψj,k(t)dt ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ + R∞ −∞ (f(t) − f(k2 −j ))ψj,k(t)dt ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ C + R∞ −∞ |t − k · 2 −j | α 2 j 2 (1 + |2 j t − k|) −2dt = C · 2 −( 1 2 +α)j + R∞ −∞ |t| α (1 + |t|) −2dt ≤ C 02 −( 1 2 +α)j 反之，若（11）成立，则有
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5 f(t)-f(s)≤C ;(t)-v3k(s) 12 取j,使得2-0≤|t-s≤2-+,则由微分中值定理,有 ∑2-(+o)1k()-k( 2-01∑|(2t-k)-(2s-k ≤∑2(-o)|t-s∑|v(20-k)(位于t与s之间 ∑2(1-)|t-s t-s C|t-s° VV,, k(t)-v,, k(s)I ≤∑2-0∑(v(2t-k)+|v(2s-k)) 2>30 所以(9)成立。 关于局部正则性,即在某点t附近,有 f(t)-f(o)≤c|t-to| 我们有 定理6:设v有紧支集,且(13)成立,则有 k toESuppo, di l s C2-/oy 反之,若(14)成立,且对某∈>0,f是∈- Holder连续的,则
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D.Q. Dai, 2003 9 |f(t) − f(s)| ≤ C X j,k 2 −( 1 2 +α)j |ψj,k(t) − ψj,k(s)| (12) 取j0，使得2 −j0 ≤ |t − s| ≤ 2 −j0+1，则由微分中值定理，有 P j≤j0 P k 2 −( 1 2 +α)j |ψj,k(t) − ψj,k(s)| ≤ P j≤j0 2 −αj P k |ψ(2j t − k) − ψ(2j s − k)| ≤ P j≤j0 2 (1−α)j |t − s| P k |ψ 0 (2j θ − k)|(θ 位于t 与s 之间) ≤ C P j≤j0 2 (1−α)j |t − s| = C2 (1−α)j0 |t − s| = C |t − s| α 而 P j>j0 P k 2 −( 1 2 +α)j |ψj,k(t) − ψj,k(s)| ≤ P j>j0 2 −αj P k (|ψ(2j t − k)| + |ψ(2j s − k)|) ≤ C P j>j0 2 −αj = C2 −αj0 = C |t − s| α 所以（9）成立。 关于局部正则性，即在某点t0附近，有 |f(t) − f(t0)| ≤ c |t − t0| α (13) 我们有 定理6：设ψ有紧支集，且（13）成立，则有 max k,t0∈supp(ψj,k) |dj,k| ≤ C2 −(1/2+α)j (14) 反之，若（14）成立，且对某² > 0，f是²-H¨older连续的，则
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D Q. Dai. 2003 If(t-f(to)lscIt-tol In 2/It-tol 与连续小波变换时的情形一样,定理6的正反两种情况是不对称的。而且这是不能 改进的。但若将条件(14)稍作修改,则有如下的结果 定义对∈>0,定义集合 s(to,,)={k:k∈Z, suppli. k∩(to-E,to+e)≠ 定理7:设v有紧支集。若对某∈>0和0dj, k(vi, (t)-v3i k(to) k(()-吗k(o) to,j, e) ≤C∑2-( vvi k(t)-vji k(to)l ≤C∑2-(5+o)|vy,k(k)-k(ko) j, k 由(12)式,及其后面相同的推理,即可证明∫在t处局部a- Holder连续 我们现在讨论非齐次 Holder函数类C(0<a<1),即 C°(R)={f:f∈L(R),|f(t)-f(s)≤C|t-s,wt,s∈R} 对函数类C(),用小波系{是不合适的,因为它的线性组合与多项式正交,此 多项式的次数等于小波的消失矩的个数。我们将使用表示式(2),即用标准正交基
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D.Q. Dai, 2003 10 |f(t) − f(t0)| ≤ c |t − t0| α ln 2/ |t − t0| 与连续小波变换时的情形一样，定理6的正反两种情况是不对称的。而且这是不能 改进的。但若将条件（14）稍作修改，则有如下的结果。 定义 对² > 0，定义集合 s(t0, j, ²) = {k : k ∈ Z,suppψj,k ∩ (t0 − ², t0 + ²) 6= ∅}. 定理7: 设ψ有紧支集。若对某² > 0和0 < α < 1, 有 max k∈s(t0,j,²) |dj,k| ≤ c2 −(1/2+α)j 则 |f(t) − f(t0)| ≤ |t − t0| α . 证：对任何t ∈ (t0 − ², t0 + ²), 因由ψj,k(t) 6= 0或ψj,k(t0) 6= 0 可推得k ∈ s(t0, j, ²), 故有 |f(t) − f(t0)| = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ P j,k dj,k(ψj,k(t) − ψj,k(t0)) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ P j P k∈S(t0,j,ε) dj,k(ψj,k(t) − ψj,k(t0)) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ C P j 2 −( 1 2 +α)j P k∈S(t0,j,ε) |ψj,k(t) − ψj,k(t0)| ≤ C P j,k 2 −( 1 2 +α)j |ψj,k(k) − ψj,k(k0)| 由（12）式，及其后面相同的推理，即可证明f在t0处局部α-H¨older连续。 我们现在讨论非齐次H¨older函数类C α (0 < α < 1)，即 C α (R) = {f : f ∈ L ∞(R), |f(t) − f(s)| ≤ C |t − s| α , ∀t, s ∈ R} 对函数类C α (R)，用小波系{ψj,k}是不合适的，因为它的线性组合与多项式正交，此 多项式的次数等于小波的消失矩的个数。我们将使用表示式（2），即用标准正交基