SF01(数) Ch3函数极限与连续函数 计划课时:26时 P21-39 2004.09.30
S F 01（数） Ch 3 函数极限与连续函数 计划课时： 2 6 时 P 21—39 2004．09．30．
Ch3函数极限与连续函数 §1函数极限(10时) x→x时函数f(x)的极限: 由f(x)= ∫2x+1x≠2 考虑x→2时的极限引入 定义函数极限的“E-0”定义 几何意义 用定义验证函数极限的基本思路 例1验证limC=C. 例2验证Iimx=x0 例3验证lime=1.[P71E1(取6=min{n(1+E),-ln(1-E)}) 例4验证lim P72E2 例5验证im P72E3 例6验证 证由x≠3x3-3x2+3x-912|(x2+3)(x-3)12 2x2-7x+35(2x-1(x-3)5 +312|5 为使|5x-9=5x-15+6≤5x-3+6511需有|x 为使2x-1=2x-6+5≥5-2x-3>1, 需有 2
Ch 3 函数极限与连续函数 § 1 函数极限 （ 1 0 时 ） 一． → xx 0时函数 xf )( 的极限： 由 考虑 时的极限引入. ⎩ ⎨ ⎧ = ≠+ = .2 ,0 ,2 ,12 )( x xx xf x → 2 定义 函数极限的“ε −δ ”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路. 例 1 验证 .lim0 CCxx = → 例2 验证 0 .lim0 xx xx = → 例 3 验证 1lim . [1]P71 E1 ( 取 0 = → x x e δ = + ε − − ε )}1ln( , )1min{ln( ) 例 4 验证 4lim . [1]P72 E2 2 2 = → x x 例 5 验证 1 )1( lim 2 1 − − → x xx x . [1]P72 E3 例 6 验证 . 5 12 372 933 lim 2 23 3 = − + −+− → x x xxx x 证 由 x ≠ ,3 5 12 )3( )12( )3( )3( 5 12 372 933 2 2 23 − −− −+ =− +− −+− xx xx xx xxx = = . 12 395 125 395 5 12 12 3 2 − −− ≤ − −− =− − + x xx x xx x x 为使 xx x ≤+−≤+−=− ,11635615595 需有 x −−≥+−=− ,1325562 12 需有 x <− .23 21
于是,倘限制0<x-3<1,就有 23+3x9-12|5931=-1-3 例7证明: lim sin x=sinx.(sinx-snx=、x-xx+x 二.单侧极限 1.定义:单侧极限的定义及记法 几何意义:回顾半邻域U,(a,0)={x0≤x-a<8},U.(a.6)= (a-o,al,∪,(a,δ)=(a,a+δ),U(a,δ)=(a-8,a) 然后介绍 limf(x)等的几何意义 例8验证lim 证考虑使-x<的6 例9求 lim sgn x和 lim sgn x 例10f(x)=ex,求f(0+0)和f(0-0).[P79E8 2.单侧极限与双侧极限的关系 Th lim f(x)=A, o f(o+0)=f(xo-0)=A 类似有:f(∞)=A,分∫(-∞)=f(+∞)=A x2+x 例11证明极限lim 不存在 Ex[]P841()-(4 三.函数极限定义的扩充:[P80.几种无穷大量
于是, 倘限制 x <−< 130 , 就有 5 12 372 933 2 23 − +− −+− xx xxx 12 395 − −− ≤ x xx .311 "" 1 311 −= − ≤ x x 例 7 证明: 0 sinsinlim0 xx xx = → . （ ) 2 cos 2 sin2sinsin 0 0 0 xxxx xx − + =− 二. 单侧极限: 1. 定义： 单侧极限的定义及记法. 几何意义: 回顾半邻域 δ 0 {),( <−≤= δ }, ∪+ axxa ∪− a δ ),( = ). , (),( ), , (),( ], , ( 0 0 − δ aa ∪+ δ aaa += δ ∪− −= δδ aaa 然后介绍 )(lim0 xf xx→ + 等的几何意义. 例 8 验证 .01lim 2 1 =− → − x x 证 考虑使 2 2 2 1 x <− ε 的δ . "" 例 9 求 和x . x sgnlim0−→ x x sgnlim0+→ 例 10 ,)( 1 x = exf 求 f + )00( 和 f − )00( . [1]P79 E8 2. 单侧极限与双侧极限的关系: Th 0 0 .)0()0( ,)(lim0 AxfxfAxf xx = ⇔ + = − = → 类似有: ∞ = ⇔ −∞ +∞= = AffAf .)()( ,)( 例 11 证明极限 1 2 lim 2 1 − −+ → x xx x 不存在. Ex [1]P84 1⑴―⑷. 三. 函数极限定义的扩充: [1]P80. 几种无穷大量. 22
例12验证极限lime=0. 证E∈(0,1),取X=ln->0,Wx0,为使一0,取6=mm{1,1 例15x的有理分式当x→>∞时的极限.[1jP82El 四.极限的否定 例16写出“limf(x)=A”的否定命题的分析表述 例17写出下列命题的“否定命题”的分析表述: (1){an}是负无穷大量 (2)f(x)在点x的右极限是A Ex[1]P84-851(5)-(8)
例 12 验证极限 = 0lim . −∞→ x x e 证 ε ∈∀ ), 1 , 0 ( 取 ε ε == −Xx X 0 , , 0 eeXx 1 ln . 此即 = 0lim −∞→ x x e 例 13 验证 .2 2 2 lim 2 2 = − + ∞→ x xx x 证 . 4 2 2 2 4 2 4 2 2 2 2 4 2 3 2 2 2 x x x x x x x x xx x x =≤ − + ≤ − + =− − + > > …… 例 14 验证极限 −∞= −→ −1 lim 2 1 x x x . 证 对 G >∀ 0 , 为使 G x x −−−≥−−= 又 x 0 , 取 }, "" 4G 1 , 2 1 δ = min{ 例 15 x 的有理分式当 x ∞→ 时的极限. [1]P82 E11 四． 极限的否定： 例 16 写出“ Axf ax = → )(lim ”的否定命题的分析表述. 例 17 写出下列命题的“否定命题”的分析表述: ⑴ }{ 是负无穷大量. an ⑵ 在点 的右极限是 xf )( 0 x A . Ex [1]P84—85 1⑸―⑻，8. 23
五.函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出,并证明 1.唯一性 2.局部有界性:Th2 3.局部保号性:Th3 4.单调性(不等式性质) Th4若Iimf(x)和limg(x)都存在,且存在点x的空心邻域∪(x0,),使 vx∈U(x,6)都有f(x)≤g(x),→limf(x)≤limg(x) 证设Iimf(x)=A,limg(x)=B.(现证对ⅤE>0,有a0,36>0,x∈Ux0,),→A-EB.则存在δ>0,当 0g(x) A-B 证取E 5.迫敛性(双逼原理) Th6 6.四则运算性质:(只证“+”和“×”)Th7 例18证明:Iim5x=1 [P75E4 例19证明:im1+ [P82E2 Ex 1P842
五. 函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出，并证明. 1. 唯一性: Th 1 2. 局部有界性: Th 2 3. 局部保号性: Th 3 4. 单调性( 不等式性质 ): Th 4 若 和 都存在 )(lim , 且存在点 的空心邻域 , 使 0 xf →xx )(lim0 xg →xx 0 x ),( 0 0 ∪ x δ ′ ),( 0 0 ∈∀ ∪ xx δ ′ 都有 ≤ xgxf ⇒ ),()( )(lim0 xf →xx ).(lim0 xg →xx ≤ 证 设 )(lim = ( 现证对 0 xf →xx .)(lim , 0 BxgA xx = → ∀ε > ,0 有 ∃>∀ ∪ xx δ ε BxgxfA ε BA + B . 则存在δ > 0 , 当 xx 0 ||0 xgxf )()( . 证 取 , "" 2 0 − BA ε = 5. 迫敛性( 双逼原理 ): Th6 6. 四则运算性质: ( 只证“+”和“×”) Th7 例 18 证明: 1 sin lim 0 = → x x x . [1]P75 E4 例 19 证明: e x x x ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∞→ 1 1lim . [1]P82 E12 Ex [1]P84 2. 24
六.利用极限性质求极限:已证明过以下几个极限 lim C=C, lim x=xo, lim sin x= sin xo, lim cos x=cos xo im2=0, lim arctan=±z (注意前四个极限中极限就是函数值) 这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,参阅 4]P37-38.我们将陆续证明这些公式 利用极限性质,特别是运算性质求极限的原理是:通过有关性质,把所求极限化为基 本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限 例20lim(xgx-1).(利用极限 lim sinx=sin=-和 lim cos x=--.) 例 例22lmx-1 xx-1[利用公式a"-1=(a-1)(an+a"2+…+a+1) 例23lim x2+x-2 例24①)1imy2x2 3x+5 3x+5 例25 im vx sir2x2+x-10) 例26lim 4]P58E30
六. 利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限： 0 0 0 ;coscoslim ,sinsinlim ,lim ,lim0 0 0 0 xxCC xx xx xx xx xx xx = = = = → → → → . 2 lim ,0 1 lim π = ±= ∞→ ±∞→ arctgx x x x 1 sin lim 0 = → x x x . e x x x ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∞→ 1 1lim . （ 注意前四个极限中极限就是函数值 ） 这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用, 参阅 [4]P37—38. 我们将陆续证明这些公式. 利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基 本极限, 代入基本极限的值, 即计算得所求极限. 例 20 ).1(lim 4 − → xtgx x π ( 利用极限 2 2 4 sinsinlim 4 == → π π x x 和 . 2 2 coslim 4 = → x x π ) 例 21 . ) 1 ( 1 3 1 1 lim 3 1 ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − x −→ x + x 例 22 . 1 1 lim 10 7 1 − − → x x x [ 利用公式 )(1(1 ).1 ] 21 ++++−=− −− aaaaan nn " 例 23 . 2 122 lim 2 2 1 + − −+− → x x xx x 例 24 ⑴ ; 53 132 lim 2 2 + ++ +∞→ x xx x ⑵ . 53 132 lim 2 2 + ++ −∞→ x xx x 例 25 . 23 )102sin( lim 5 4 2 x xxx x − −+ ∞→ 例 26 . 1 1 lim 3 1 − − → x x x [4]P58 E30 25
例27Iim 例8设极限lm存在(有限)试证明:若limg(x)=0,则 lim f(x)=0 2+16-A 例29已知lim x-3=B.求A和B.参阅[4Pb9 例30 Im sinx x→-x coS x 例31lim x→0 例32 lim sin 5x x→0sin3x arcsin x 例33Iin x→0 例34lim1+ 特别当k=-1,k=二等 例35lim(1+2x)x 例36Iin Ex [1]P8431)(提示:利用式//=1(1 有界),41 P977(2)(4) [4]P79-8249,50,52,54,56,58,59,60,89,90,91, 113-116. 七.函数极限存在的充要条件: 1. Heine归并原则函数极限与数列极限的关系:
例 27 . 11 11 lim 3 0 −+ −+ → x x x 例 28 设极限 )( )( lim0 xg xf →xx 存在( 有限 ). 试证明: 若 0)(lim0 = → xg xx , 则 0)(lim0 = → xf xx . 例 29 已知 . 3 16 lim 2 3 B x Ax x = − −+ → 求 A 和 B. 参阅[4]P69. 例 30 . sin lim x x x→π π − 例 31 2 0 cos1 lim x x x − → . 例 32 . 3sin 5sin lim 0 x x x→ 例 33 . arcsin lim 0 x x x→ 例 34 ,1lim x x x k ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∞→ 特别当 2 1 ,1 kk =−= 等. 例 35 .) 21 (lim 1 0 x x + x → 例 36 . 12 32 lim 3 5 x x x x − ∞→ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − Ex [1]P84 3⑴（提示： 利用式 , 111 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ xxx 而 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ x 1 有界）, 4⑴; P97 7⑵⑷. [4]P79—82 49，50，52，54，56，58，59，60，89，90，91， 93—96，113—116. 七. 函数极限存在的充要条件： 1． Heine 归并原则——函数极限与数列极限的关系： 26
Th8limf(x)=A,◇对任何xn≠x且xn→x(n→∞),有f(xn)→A (n→∞).(解释xn∈Dr,下面不再每次声明) (证) Heine归并原则的意义:整体与部分,连续与离散,证明函数极限不存在 Th9limf(x)存在,◇对任何xn≠x0且xn→x(n→∞),{(xn)收敛 )(证明对任何xn→x0且xn≠x0,{f(xn)}收敛于同一极限) 设xn→x0,xn≠x0;x"→>x,x≠x0·∫(x)→A,f(xn)→B (n→∞).现证A=B.考虑数列{Ln},其中 n=2k-1 ln (即{tn}:x,x1,x 易见ln→x,且Ln≠x。,因此{f(Ln)}收敛 A= B 例37证明函数∫(x)=in-在点x=0没有极限jP78E6 例38证明 Dirichlet函数D(x)在每一点都没有极限 例39利用数列极限的双逼原理证明函数极限的双逼原理 例40证明:f(x0-0)=+∞,分对任何从左方收敛于x0的数列 {xn}(xn+∞,(n→∞) 作业提示 2. Cauchy收敛原理 Th0设函数∫在点x0的某空心邻域U(x0,δ)内有定义则极限lmf(x) 存在,台VE>0,彐>0(<′),使对vx’,x"∈U°(x0,6),有 f(x')-f(x")|<E
Th 8 ,)(lim0 = ⇔ → Axf xx 对任何 0 xxn ≠ 且 )( n 0 nxx →→ ∞ ，有 Axf . n )( → n ∞→ )( . （ 解释 ∈ Dx fn ，下面不再每次声明 ） ( 证 ) Heine 归并原则的意义：整体与部分 ，连续与离散 ，证明函数极限不存在 . Th 9 )(lim 存在, 对任何 0 xf →xx ⇔ 0 xxn ≠ 且 )( n 0 nxx →→ ∞ , )}({ 收敛. n xf 证 ⇒) ⇐) ( 证明对任何 n → xx 0 且 0 xxn ≠ ， )}({ 收敛于同一极限. ) n xf 设 , 0 xxn ′ → 0 xxn ′ ≠ ； ，0 xxn ′′ → 00′′ ≠ xx . Axf n ′ )( → , Bxf n ′′)( → , ( n ∞→ ) . 现证 A = B . 考虑数列 tn } { , 其中 ⎩ ⎨ ⎧ ′′ = ′ −= = . 2 , , 12 , knx knx t k k n ( 即 } { : nt ′ ′′ ′ xxxx 2211 ′′ , , , , " ). 易见 n → xt 0 , 且 0 xtn ≠ . 因此 } )( { 收敛, … ntf ⇒ A = B . 例 37 证明函数 x xf 1 = sin)( 在点 x = 0没有极限. [1]P78 E6 例 3 8 证明 Dirichlet 函数 在每一点都没有极限 xD )( . 例 39 利用数列极限的双逼原理证明函数极限的双逼原理. 例 40 证明: xf 0 − = +∞ ,)0( ⇔ 对任何从左方收敛于 的数列 0 x )( }{ 0 xxx nn ∀ 0 ，∃δ > 0 ( δ < δ ′ ) ，使对∀ ′ , xx ′′∈ ) , (x0 δ D ∪ , 有 ′ − xfxf ′′ < |)()(| ε . 27
证→)设Iimf(x)=A,… )(证明对任何{xn}cU(x0,"),xn→>x,{f(xn)收敛 然后利用Th9的充分性) 对任何{xn}c∪°(x0,6'),xn→x0,证明{f(xn)是 Cauchy列 Ex[]P857,9 §2连续函数(5时) 函数在一点的连续性: 1.连续的直观图解:由图解引出解析定义 2.函数在一点连续的定义:设函数∫(x)在点x0某邻域有定义 定义(用limf(x)=f(x0)) x→x0 定义(用f(xo-0)=f(x0+0)=f(x0)) 定义(用Iim△y=0.)先定义Ax和△y 定义 E-”定义) 例1试证明若A∈R,VE>0,36>0.,Wx,|x-x<,→ f(x)-A|<E,则f(x)在点x连续 例2用“-6”定义验证函数f(x)=3x-1 在点x0=1连续 例3由§1例5得,函数sinx在R内每一点连续.同理可得函数cosx也
证 ⇒) 设 Axf , …… xx = → )(lim0 ( ⇐) 证明对任何 ) , (} { ， ， 收敛. ⊂ xx 0 δ ′ n D ∪ 0 xxn → )}({ n xf 然后利用 Th 9 的充分性 ) 对任何 ) , (} { , ， 证明 是 Cauchy 列 . ⊂ xx 0 δ ′ n D ∪ 0 xxn → )}({ n xf Ex [1]P85 7，9； § 2 连续函数( 5 时 ) 一． 函数在一点的连续性： 1． 连续的直观图解： 由图解引出解析定义. 2. 函数在一点连续的定义: 设函数 在点 某邻域有定义 xf )( . 0 x 定义 ( 用 ).()(lim ) . 0 0 xfxf xx = → 定义 ( 用 ).()0()0( ) 0 0 0 − += = xfxfxf 定义 ( 用 .0lim ) 0 Δ = →Δ y x 先定义 Δx 和 Δy. 定义 ( “ε −δ ”定义.) 例1 试证明: 若∃A R , ∀∋∈ ε > ∃δ > ,0 ,0 xxx 0 δ , , ⇒<−∀ Axf <− ε, )( 则 在点 连续 xf )( . 0 x 例2 用“ε −δ ”定义验证函数 13 2 )( 2 − + = x x xf 在点 x0 = 1连续. 例3 由§1 例 5 得，函数 在 sin x R 内每一点连续. 同理可得函数cos x也 28
在R内每一点连续 3.单侧连续:定义单侧连续,并图解 Th(单、双侧连续的关系) x>0 例4f(x)={A,x=0,讨论函数∫(x)在点x0=0的连续或单侧连续性 二.区间上的连续函数 开区间上连续,闭区间上连续,按段连续 例5指数函数f(x)=a2(a>0,a≠1)在(-∞,+∞)内连续.[1jP88E4 Ex[1]P96-971(1)2),3,4,6 三.连续函数的局部性质:叙述为Th1-4 1.局部有界性: Th 1 2.局部保号性: Th 2 3.四则运算性质: 註讨论函数F(x)=f(x)+g(x)在下列条件下在点x0的连续性:i>f(x)在 点x连续,而函数g(x)在点x0不连续,i>函数f(x)和g(x)都在点x0不连续 对函数G(x)=f(x)g(x)讨论上述问题 4.复合函数连续性 Th4若函数∫在点x连续,函数g在点l连续,且o=∫(xo),则复合函数
在 R 内每一点连续. 3. 单侧连续: 定义单侧连续, 并图解. Th ( 单、双侧连续的关系 ) 例4 讨论函数 在点 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = .0 ,2 ,0 , ,0 ,2 )( xx xA xx xf xf )( x0 = 0 的连续或单侧连续性. 二． 区间上的连续函数： 开区间上连续， 闭区间上连续, 按段连续. 例 5 指数函数 aaaxf ≠>= )1 , 0( )( 在 x − ∞ + ∞ ) , ( 内连续. [1]P88 E4. Ex [1]P96—97 1⑴⑵，3，4，6. 三. 连续函数的局部性质: 叙述为 Th 1—4. 1. 局部有界性： Th 1 2. 局部保号性： Th 2 3. 四则运算性质： Th 3 註 讨论函数 = + xgxfxF )()()( 在下列条件下在点 的连续性: ⅰ> 在 点 连续, 而函数 在点 不连续; ⅱ> 函数 和 都在点 不连续. 0 x xf )( 0 x xg )( 0 x xf )( xg )( 0 x 对函数 = xgxfxG )()()( 讨论上述问题. 4. 复合函数连续性： Th 4 若函数 在点 连续，函数 在点 连续 f x0 g u0 , 且 )( 0 0 = xfu , 则复合函数 29