第一章基础知识 §1.1多维随机变量及其分布 随机向量的概念 多维随机变量也就是多个随机取值的变量, 也称为随机向量。 定义如果随机变量X,,Xn定义在同一概率空间 (2,3P)上,则称 X.X 构成一个n维随机向量,称之为n维随机变量。 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 1 第一章 基础知识 §1.1 多维随机变量及其分布 一 随机向量的概念 多维随机变量也就是多个随机取值的变量， 也称为随机向量。 定义 如果随机变量 1 , , X Xn 定义在同一概率空间 ( , , ) P 上，则称 X=( 1 , , X Xn ) 构成一个 n 维随机向量，称之为 n 维随机变量
定义设x12x2…x为实数,称n元函数 F(x12x2…xn)=P{X1≤x12X2≤x2…,Xn≤xn} 为随机向量X=(x1,X)的联合分布函数。 n元分布函数具有以下性质: (1)对任一X是单调不减的; (2)、对任一x是右连续的; 3)F(+∞,+0,…,+∞)=1imF(x1x2…,x)=1 →)+ F(x2…,x=1,-O,x12…x,)=limF(x12…,x,)=0 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 2 定义 设 1 2 , , n x x x 为实数，称 n 元函数 1 2 1 1 2 2 ( , , ) { , , , } F x x x P X x X x X x n n n = 为随机向量 1 ( , , ) X X X = n 的联合分布函数。 n元分布函数具有以下性质： ⑴、对任一 i x 是单调不减的； ⑵、对任一 i x 是右连续的； ⑶ 1 1 2 ( , , , ) ( , , , ) 1; lim n n x x F F x x x →+ →+ + + + = = 1 1 1 1 ( , , , , , , ) lim ( , , ) 0. i i i n n x F x x x x F x x − + →− − = =
对n元离散随机变量还有其联合概率分布 P(X1=x,X2=x2,…,Xn=xn).而对n元连续随机变量 则存在非负可积函数f(x1,x2,…xn),使得 F(x,x2x)=…/( ) dy,dy2…d 这里的f(x1x2…xn)称为联合密度函数,满足条件: f(x,2x2…,x)≥0, +0O f(x12x2,…,xn)dxx2…dh 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 3 对 n 元 离 散 随 机 变 量 还 有 其 联 合 概 率 分 布 1 1 2 2 ( , , , ). P X x X x X x = = =n n 而对 n 元连续随机变量 则存在非负可积函数 1 2 ( , , , ) n f x x x ，使得 1 1 2 1 2 1 2 ( , , ) ( , , , ) . n x x F x x x f y y y dy dy dy n n n − − = 这里的 1 2 ( , , , ) n f x x x 称为联合密度函数，满足条件： 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) 0, ( , , , ) 1. n n n f x x x f x x x dx dx dx + + − − =
例1多项分布M(n,P1P2…,Pm) 做n次重复独立试验,每次试验的结果为 --m3 P(A1)=p2i=1,2 且 pi=l,p >0 若记X表示在n次试验中A出现的次数,则m维随机 变量(X1,X2…,Xm)的概率分布为 P(X …,Xm=n) 这里 n.20.>n,=n 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 4 例 1 多项分布 1 2 ( , , , , ) M n p p pm 做 n 次重复独立试验，每次试验的结果为 1 2 , , , , ( ) , 1,2, , . A A A P A p i m m i i = = 且 1 1, 0. m i i i p p = = 若记 Xi 表示在 n 次试验中 Ai 出现的次数，则 m 维随机 变量 1 2 ( , , , ) X X X m 的概率分布为 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ! ( , , , ) , ! ! ! n n n m m m m m n P X n X n X n p p p n n n = = = = 这里 1 0, . m i i i n n n = =
例2设∑=(a)为n阶正定对称矩阵,风表示的行列 式的值,H=(4132,…:)为任意向量,则有密度函数 ∫(x12x2…,xn) exp{-=(x-p)2-(x-) (2xz)2|>p 定义的分布称为n元正态分布,简记为N(A,2 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 5 例 2 设 ( ) = ij 为 n 阶正定对称矩阵， 表示 的行列 式的值， 1 2 ( , , , ) = n 为任意向量，则有密度函数 定义的分布称为 n 元正态分布，简记为N( , ). 1 1 2 1 2 2 1 1 ( , , , ) exp{ ( ) ( )} 2 (2 ) T n n f x x x x x − = − − −
二、边缘分布 设F(x1,x2…x)为n元分布函数,任意保留k0sksn) 个x例如x,x2…X,而令其它的,都趋向于+∞0,即 F(X,x27Nk ● F 2 xk+1>+0 xn->+0 显然,F(x1,x2…xk,+02…,+0)是一k元分布函 数,称为F(x1,x2…x)的k元边缘分布函数。 湘潭大学数学与计算科学院一页一页]6
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 6 二、边缘分布 设 1 2 ( , , ) F x x xn 为 n 元分布函数，任意保留 k (0 ) k n 个 , i x 例如 1 2 , , k x x x ，而令其它的 j x 都趋向于+ ，即 1 1 2 1 2 ( , , , , , ) ( , , , ) lim k n k n x x F x x x F x x x + →+ →+ + + = 显然， 1 2 ( , , , , , ) F x x xk + + 是一 k 元分布函 数，称为 1 2 ( , , ) F x x xn 的 k 元边缘分布函数
如果F(x2x2…xn)是连续型的,即有密度函数 f(x1,x2…,x),则F(x1,x2,…xk2+,…+0)也是连续型 的,其密度函数为 2,k(12 D…丁。f(x,x2…x)k2…d 如果F(x1x2x)是离散型的,则 F(X12x2 ·· k +∞)也是离散型的,其边缘 概率分布为 P(X1=x12X2=x2,…,Xk=xk)= ∑ P(X=X,X2=x2,",Xn=xn) 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 7 如 果 1 2 ( , , ) F x x xn 是连续型的，即有密度函数 1 2 ( , , , ) n f x x x ， 则 1 2 ( , , , , , ) F x x xk + + 也是连续型 的，其密度函数为 1,2, , 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) k k n k k n f x x x f x x x dx dx dx + + + + − − = 如 果 1 2 ( , , ) F x x xn 是 离 散 型 的 ， 则 1 2 ( , , , , , ) F x x xk + + 也是离散型的，其边缘 概率分布为 1, , 1 1 2 2 1 1 2 2 ( , , , ) ( , , , ). k n k k n n x x P X x X x X x P X x X x X x + = = = = = = =
注:边缘分布函数由联合分布函数惟一确定;反之不然,即 不同的分布函数可能有相同的边缘分布函数。 例设有两个二元分布函数F(xy)和G(xy),密度函数分别为 f(x,)=x+y如果0≤x10≤y 0,其他 x 2y),如果0≤x≤1,0≤y≤1, 0,其他; 显然,F(x,y)和G(xy)不恒等。但它们的边缘密度函数分别为 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 8 注：边缘分布函数由联合分布函数惟一确定；反之不然，即 不同的分布函数可能有相同的边缘分布函数。 例 设有两个二元分布函数F(x,y)和G(x,y)，密度函数分别为 , 0 1,0 1, ( , ) 0, ; x y x y f x y + = 如果 其他 1 1 ( )( ), 0 1,0 1, ( , ) 2 2 0, ; x y x y g x y + + = 如果 其他 显然,F(x,y)和G(x,y)不恒等。但它们的边缘密度函数分别为
f(x)=f(x, y)dy=(x+)dy =x+-.0<x<1 2 8x(x)= g(x,y)dy +x)(+y)=x+=,0≤x≤l 2 所以fx(x)=gx(x)同理可知f(y)=81(y) 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 9 1 0 1 ( ) ( , ) ( ) ,0 1; 2 X f x f x y dy x y dy x x + − = = + = + 1 0 1 1 1 ( ) ( , ) ( )( ) ,0 1; 2 2 2 X g x g x y dy x y dy x x + − = = + + = + 所以 ( ) ( ). X X f x g x = 同理可知 ( ) ( ). Y Y f y g y =
三、随机变量的独立性 定义设X1…Xn为n个随机变量,如果对任意实数 x2x2,…x成立 P{X1≤x12X2≤x2…,Xn≤xn}=P{X1≤x1}P{X2≤x23…P{Xn≤xn} 则称X1…X是相互独立的。 如果X的分布函数为F(x),它们的联合分布函数为 F(x1,x2…xn),则相互独立性等价于对一切x,x2…xn, 成立 ,)=F1(x1)F2(x2)…Fn( 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 10 三、随机变量的独立性 定 义 设 1 , , X Xn 为 n 个随机变量，如果对任意实数 1 2 , , n x x x 成立 1 1 2 2 1 1 2 2 { , , , } { } { } { }, P X x X x X x P X x P X x P X x = n n n n 则称 1 , , X Xn 是相互独立的。 如 果 Xi 的分布函数为 ( ), F x i 它们的联合分布函数为 1 2 ( , , ) F x x xn ，则相互独立性等价于对一切 1 2 , , n x x x ， 成立 1 2 1 1 2 2 ( , , ) ( ) ( ) ( ). F x x x F x F x F x n n n =