§62两因素方差分析 两因素方差分析是讨论两因素试验的统计推断问题。本 文分非重复试验和重复试验两种情形进行讨论。 、两因素非重复试验的方差分析 设有两个因素A,B,因素A有r个不同水平: A,A2…A,;因素B有个不同水平:B,B2…,B, 在A,B的每一种组合水平(A,B)下作一次试验,试验 结果为Xn=(i=1,,r,j=1,2,…,s),所有X相互独立, 这样共得r个试验结果(表6.8)。 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 1 §6.2 两因素方差分析 两因素方差分析是讨论两因素试验的统计推断问题。本 文分非重复试验和重复试验两种情形进行讨论。 一、两因素非重复试验的方差分析 设 有 两 个 因 素 A，B ，因素 A 有 r 个 不 同 水 平 ： A1， A 2，， A r；因素B 有s个不同水平：B1， B 2，， B s， 在A，B的每一种组合水平( , ) Ai Bj 下作一次试验，试验 结果为X (i 1, ,r, j 1,2, ,s) i j = = = ，所有Xi j相互独立， 这样共得r s个试验结果（表 6.8）
表6.8 因素B B B X 因素A XI XI X X X X X A X X X X X X 这种对每个组合水平(A,B,)(i=1,2,…,r,j=1,2,…,s)各 作一次试验的情形称为两因素非重复试验。 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 2 表6.8 因素B 因素A B1 B2 Bs . Xi A1 X1 1 X1 2 X1s . X1 A2 X2 1 X2 2 X2s . X2 Ar X r1 Xr 2 Xr s . Xr X j . 1 X. 2 X. X s . X 这种对每个组合水平(A ,B )(i 1,2, ,r, j 1,2, ,s) i j = = 各 作一次试验的情形称为两因素非重复试验
假定总体X服从正态分布NA,a2),其中 H=H+a1+B,i=1,2,…,r,j=1,2,…,S,(6.13) 而∑a=0,∑B=0。于是x可表示为 i=1 i=u+a:+B+8, i=1,2,…,r;j=1,2,…,s,(6.14) En~N(0,a2) 其中诸E相互独立,a称为因素A在水平4引起的效应, 它表示水平A在总体平均数上引起的偏差。 同样,称为因素B在水YB引起的效应,它表示水 平B在总体平均数上引起的偏差。 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 3 假定总体Xi j服从正态分布 ( , ) 2 N i j ，其中 , i 1,2, ,r, j 1,2, ,s, i j = + i + j = = （6.13） 而 = = = = r i s j ai j 1 1 0, 0。 于是Xij可表示为 = + + + ~ (0, ), , 2 N X i j i j i j i j i = 1,2,,r; j = 1,2,,s, （6.14） 其中诸 i j 相互独立， i称为因素 A 在水平Ai 引起的效应， 它表示水平Ai 在总体平均数上引起的偏差。 同样， j称为因素B 在水平Bj 引起的效应，它表示水 平Bj在总体平均数上引起的偏差
所以要推断因素A的影响是否显著,就等价于要检验假设 H,:a,= a=04)H, 至少有一个 c1≠0,i=1,…,r。 类似地,要推断因素B的影响是否显著,就等价于要检验 假设 Hn:B1=B2=…=B=04>H12 至少有一个 B,≠0,j 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 4 所以要推断因素A的影响是否显著，就等价于要检验假设 01 1 2 0 11 H : = = r = H ; 至少有一个 i r i 0, = 1,, 。 类似地，要推断因素B 的影响是否显著，就等价于要检验 假设 02 1 2 0 12 H : = = = r = H ; 至少有一个 j s j 0, = 1,,
当H成立时,从式(6.13)可以看出,均值与a1无关, 这表明因素A对试验结果无显著影响 同理,当H成立时,从式(6.13)可以看出,均衠书 无关,这表明因素B对试验结果无显著影响,当Hn,H2都 成立时,=p,X的波动主要是由随机因素引起的。 导出检验假设H与H统计量的方式与单因素方差分析 相类似,可采用离差平方和分解的方法。 记 X.=∑X(i=12,…,, 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 5 当H01成立时，从式（6.13）可以看出，均值 i j 与 i 无关， 这表明因素A对试验结果无显著影响。 同理，当H02 成立时，从式（6.13）可以看出，均值i j 与 j 无关，这表明因素B对试验结果无显著影响，当H01 ，H02 都 成立时，i j = ，Xi j 的波动主要是由随机因素引起的。 导出检验假设H01与H02统计量的方式与单因素方差分析 相类似，可采用离差平方和分解的方法。 记 ( 1,2, , ), 1 . 1 X i r s X s j i = i j = =
X,=∑X x=1x=∑x=1∑x 于是总离差平方和 =∑∑(X-X) ∑∑I(X-X.-X+X)+(X,X)+(X,-X) ∑∑(X-X…-X,+x)+∑∑X,X) +∑∑(X,-X)2 湘潭大学数学与计算科学院一页一页6
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 6 ( 1,2, , ) 1 . 1 X j s r X r i j = i j = = = = = = = = = r i s j r i s j i j i X j s X r X rs X 1 1 1 1 . 1 . 1 1 于是总离差平方和 = = = − r i s j Qr Xij X 1 1 2 ( ) = = = − − + + − + − r i s j Xi j Xi X j X Xi X X j X 1 1 2 [( . . ) ( . ) ( . )] = = = = = = + − = − − + + − r i s j j r i s j r i s j i j i j i X X X X X X X X 1 1 2 1 1 2 1 1 2 ( . ) ( . . ) ( . )
+2∑∑(X0-X…-X.,+X)(X,-X) +2∑∑(X-X,-X,+X)X,-X) +2∑∑(X,-X(X,-X) i=1j=1 ∑(X,-X +∑(X,-X)+∑∑(X-X.-X,+X) 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 7 = = + − − + − r i s j Xi j Xi X j X Xi X 1 1 2 ( . . )( . ) = = + − − + − r i s j Xi j Xi X j X X j X 1 1 2 ( . . )( . ) = = + − − r i s j Xi X X j X 1 1 2 ( . )( . ) = = = + − + − − + s j s i s j r X j X Xi j Xi X j X 1 1 1 2 2 ( . ) ( . . ) = = − s i s Xi X 1 2 ( . )
令 ∑(X,-X), Q=r∑(X.,-X) (6.15) =∑∑(X-X,一X,+X) 则可得 Q=0+Or+Q 上式称为总离差平方和分解式。其电,为因素A引起 的离差平方和,Q为因素B引起的离差平方和,Q称 为随机误差平方和 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 8 令 = − − + = − = − = = = = r i s j E i j i j s j B j r i A i Q X X X X Q r X X Q s X X 1 2 1 1 2 1 2 ( . . ) , ( . ) , ( . ) , （6.15） 则可得 Q = QA + QB + QE 上式称为总离差平方和分解式。其中QA 为因素A 引起 的离差平方和，QB 为因素B 引起的离差平方和，QE 称 为随机误差平方和
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为了更清楚地看出各离差平方和的意义,与x,X.,X的 表达式相类似,引进E,E.字, ∑, S 8=1EE2=E2,=1 rs7=1 应用式(6.14)可把式(6.15)写成 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 10 为了更清楚地看出各离差平方和的意义，与Xi ., X. j , X 的 表达式相类似，引进 i j ., . 与 ， = = = s j i i j i r s 1 , 1,2, , , 1 . = = = r i j i j j s r 1 , 1,2, , , 1 . = = = = = = = r i s j s j j r i i j i rs 1 1 r 1 s 1 . 1 . 1 1 应用式（6.14）可把式（6.15）写成