湘潭大学：《数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章参数估计（3.2）点估计量的求法

二、寻求估计量的方法 1.矩估计法 2.极大似然法 3.最小二乘法 4.贝叶斯方法

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§3.2点估计量的求法湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页 1 §3. 2 点估计量的求法

二、寻求估计量的方法矩估计法 2.极大似然法 3最小二乘法 4.贝叶斯方法这里我们主要介绍前面两种方法湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页 2 二、寻求估计量的方法 1. 矩估计法 2. 极大似然法 3. 最小二乘法 4. 贝叶斯方法 …… 这里我们主要介绍前面两种方法

1.矩估计法它是基于一种简单的“替换” 思想建立起来的一种估计方法是英国统计学家K皮尔逊最早提出的其基本思想是用样本矩估计总体矩理论依据:大数定律或格列汶科定理(见教材177页) 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页 3 1. 矩估计法其基本思想是用样本矩估计总体矩 . 理论依据: 或格列汶科定理（见教材177页）它是基于一种简单的“替换” 思想建立起来的一种估计方法. 是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的. 大数定律

记总体k阶矩为k=E(X) 样本阶矩为A=∑X 记总体阶中心矩为v=EX-E(X) 样本阶中心矩为B=∑(X1-X)4 用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法就称为矩估计法湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页 4 记总体k阶矩为 ( ) k k = E X 样本k阶矩为 = = n i k k Xi n A 1 1 用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法就称为矩估计法. 记总体k阶中心矩为 k  k = E[X − E(X)] 样本k阶中心矩为 = = − n i k k Xi X n B 1 ( ) 1

设总体的分布函数中含有k个未知参数 a1…,4,那么它的前阶矩A…k一般都是这k个参数的函数记为: 1=8(61,…,)i=1,2, 从这k个方程中解出 0,=k(A,…,4)厂=1,2…,k 那么用诸的估计量A分别代替上式中的诸即可得诸6;的矩估计量: 6=h(A,…,A)j=1,2… 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页 5 设总体的分布函数中含有k个未知参数   k , , 1  都是这k个参数的函数,记为：  k , , ,那么它的前k阶矩 1  一般 ( , , ) i = gi 1   k i=1,2,…,k 从这k个方程中解出 j=1,2,…,k 那么用诸的估计量 Ai分别代替上式中的诸 , 即可得诸的矩估计量：  i  i  j ( , , )  j = hj 1  k ( , , ) ˆ  j = hj A1  Ak j=1,2,…,k

例2设总体X的概率密度为 (a+1)x2,0-1 f(x) 0 其它是未知参数, X1X2…,Xn是取自X的样本,求参数的矩估计解:出=E(X)=x(+1)xd 数学期望是一阶 (a+1)x a+1 a+1 原点矩由矩法, a+2 4+1 总体矩样本矩 c+2 从中解得a2X-1即为的矩估计湘大学数学与计算科学院国6/

湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页 6 解: E X x x dx   ( ) ( 1) 1 0 1 = = +  2 1 ( 1) 1 1 0 + + = + = +      x dx 由矩法, 2 1 + + =   X 样本矩总体矩从中解得 , 1 2 1 ˆ X X − −  = 即为  的矩估计. 数学期望是一阶原点矩例2 设总体X的概率密度为    +   = 0, 其它 ( 1) , 0 1 ( ) x x f x   是未知参数, 其中   −1 X1 ,X2 ,…,Xn是取自X的样本,求参数  的矩估计

例3设X12,…X是取自总体X的一个样本 X~f(x)=1 1(x-),x≥0,p为未知参数其它其中>0,求日,的矩估计解:由密度函数知 X-p具有均值为的指数分布故E(X)=6 E(X)=+6 DX-p)乙2即D(x) 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页 7 解:由密度函数知例3 设X1 ,X2 ,…Xn是取自总体X的一个样本为未知参数其它       , 0, , 1 ~ ( ) ( )      = − − e x X f x x 其中  >0,求  ,  的矩估计. X −  具有均值为  的指数分布故 E(X- )=   2 D(X- )=  即 E(X)=  + 2 D(X)= 

E(=u+6 D(X)=02 用样本矩估计总体矩令+6=X 2=∑(X1-X)2 解得=xX1(x-X)1B即为参数 ,O的矩估计 0=1(X-x) 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页 8  ˆ = X − = = − n i Xi X n 1 2 ( ) 1 ˆ  解得 = − n i Xi X n 1 2 ( ) 1 令  + = X = = − n i Xi X n 1 2 2 ( ) 1  用样本矩估计总体矩即 E(X)=  + 2 D(X)=  , . ˆ ˆ, 的矩估计即为参数    

矩法的优点是简单易行,并不需要事先知道总体是什么分布缺点是,当总体类型已知时,没有充分利用分布提供的信息.一般场合下, 矩估计量不具有唯一性其主要原因在于建立矩法方程时, 选取那些总体矩用相应样本矩代替带有一定的随意性湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页 9 矩法的优点是简单易行,并不需要事先知道总体是什么分布 . 缺点是，当总体类型已知时，没有充分利用分布提供的信息 . 一般场合下, 矩估计量不具有唯一性 . 其主要原因在于建立矩法方程时，选取那些总体矩用相应样本矩代替带有一定的随意性

2极大似然法是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的, 然而,这个方法常归功于 auss 英国统计学家费歇费歇在192年重新发现了这一方法,并首先研究了这种方法的一些性质湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页 10 2. 极大似然法是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法 . 它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的 , Gauss Fisher 然而，这个方法常归功于英国统计学家费歇. 费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质

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