黑龙江八一农垦大学：《工科高等数学》课程教学资源（PPT课件）第二章 导数与微分（2.4）初等函数的求导问题双曲函数与反双曲函数的导数

第四节初等函数的求导问题 双曲函数与反双曲函数的导数 巴一、初等函数的求导问题 巴二、双曲函数与反双曲函数的导数 巴三、小结思考题

-、初等函数的求导问题 c1常数和基本初等函数的导数公式 (C)=0 lark-I (sin x)=cosx (cos x)=-sinx (tan x)=sec x (cot x)=-csc"x 工工工 (sec x) secton x (cscx)=-csc x (a)=a Ina e e (oga x)'=I (In x)= 上页

一、初等函数的求导问题 x x x x x x x C (sec ) sec tan (tan ) sec (sin ) cos ( ) 0 2  =  =  =  = 1.常数和基本初等函数的导数公式 x x x x x x x x x (csc ) csc cot (cot ) csc (cos ) sin ( ) 2 1  = −  = −  = −  =  −  x a x a a a a x x ln 1 (log ) ( ) ln  =  = x x e e x x 1 (ln ) ( )  =  =

1 (arcsin x) arccos x)=-I 2 2 (arctan x)=I 2 (arccot x) 1+x 1+x 午2函数的和、差、积、商的求导法则 设u=u(x),v=v(x)可导,则 工工工 (1)(u±v)’=n'±v,(2)(cn)=c’(C是常数) (3)(u)=m+u,(4)(“) ≤D )uy 2(v≠0) 上页

2 2 1 1 (arctan ) 1 1 (arcsin ) x x x x +  = −  = 2 2 1 1 ( cot ) 1 1 (arccos ) x x x x +  = − −  = − arc 2.函数的和、差、积、商的求导法则 设u = u( x), v = v( x)可导，则 （1） u v  = u  v  ( ) , （2） cu  = cu  ( ) （3） uv  = u  v + uv  ( ) , （4）( ) ( 0) 2   −   = v v u v uv v u .   ( C 是常数)

3复合函数的求导法则 设y=f(u),而=p(x)则复合函数y=∫|p(x)的 导数为2= dh 或y(x)=f(u)·g(x) dx du dx 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解 决 c注意:初等函数的导数仍为初等函数 上页

3.复合函数的求导法则 ( ) ( ) ( ). ( ), ( ) [ ( )] y x f u x dx du du dy dx dy y f u u x y f x    =   =    = = = 导数为 或 设 而 则复合函数 的 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解 决. 注意:初等函数的导数仍为初等函数

例1求函数 y=x+√x+√x的导数 解y= x+√x+√x 2√x+√x+√x = (1+ 2、x+√x+√x2√x+√/x (x+√x)) 1 (1+ (1+ ) 2√x+√x+√x2√x+√x 2√x 4√x2+x√x+2√x+1 8√x+√x+√x·√x2+x√x 上页

例 1 求函数 y = x + x + x 的导数. 解 ( ) 2 1 + +  + +  = x x x x x x y ( ) ) 2 1 (1 2 1 +  + + + + = x x x x x x x )) 2 1 (1 2 1 (1 2 1 x x x x x x + + + + + = . 8 4 2 1 2 2 x x x x x x x x x x + +  + + + + =

例2求函数y=f"p"(sinx")的导数 解y'=uf"p"(sinx")·f'o"(sinx")l np" (sin x")p(sinx")·cosx"·nx n-1 =n3:x"-cosx"·∫"|o"(sinx") q"(sinx")·fIp"(sinx")·q(sinx") 上页

例 2 求函数 [ (sin )]的导数. n n n y = f  x 解 [ (sin )] [ (sin )] n 1 n n n n y = nf  x  f   x − (sin ) (sin ) n 1 n n  n x   x − 1 cos −   n n x nx (sin ) [ (sin )] (sin ). cos [ (sin )] 13 1 1 n n n n n n n n n n x f x x n x x f x       =     − − −

二、双曲函数与反双曲函数的导数 (sinh x)=cosh x(cosh x)=sinh sInh ∵ tanha= cosh cosh x-sinh x (tanh x) cosh 即( tanh x) cosh 上页

二、双曲函数与反双曲函数的导数 (sinh x) = cosh x (cosh x) = sinh x x x x cosh sinh tanh = x x x x 2 2 2 cosh cosh sinh (tanh ) −   = 即 x x 2 cosh 1 (tanh ) =

arsinh x=ln(x+√1+x2) T:(arsinh x (x+1+x2 2 x+√1+x 2 (1+ )= x+vi+x √1+x2、1+x2 生同理(1hy=1 x2-1 (artanh x) 2 上页

同理 ) 1 (1 1 1 2 2 x x x x + + + + = 2 1 1 + x = 1 1 2 − = x 2 1 1 − x = sinh ln( 1 ) 2  ar x = x + + x 2 2 1 ( 1 ) ( sinh ) x x x x x + + + +   ar  = ( arcosh x) ( artanh x)

例3求函数p= arctan( (tanha)的导数 解y= (tanh x) 1+ tanha 1 1 1+ tanh" x cosh" x 1+ sinh cosh x 2 cosh x coshx+sinh-x 1+2sinh x 上页

例 3 求函数 y = arctan(tanh x)的导数. 解 (tanh ) 1 tanh1 2   +  = x x y x x 2 2 cosh1 1 tanh1  + = x xx 2 22 cosh1 cosh sinh 1 1  + = x x 2 2 cosh sinh 1+ = . 1 2sinh 1 2 + x =

生三、小结 任何初等函数的导数都可以按常数和基本初 等函数的求导公式和上述求导法则求出 关键:正确分解初等函数的复合结构 上页

三、小结 任何初等函数的导数都可以按常数和基本初 等函数的求导公式和上述求导法则求出. 关键: 正确分解初等函数的复合结构