第三节分部积分法 基本内容 小结 三、思考题
生一、基本内容 问题「xex=? 解决思路利用两个函数乘积的求导法则 王设函数u=以()和=叫(x)具有连续导数 工工工 (uv)=u'v+uv, uv=uv)-uv uv'dx=uv=lu'vdx udy=uv-vdu 分部积分公式 王页下
问题 xe dx = ? x 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u = u(x)和v = v(x)具有连续导数, (uv) = uv + uv , uv (uv) − uv, = uv dx uv u vdx, = − udv uv vdu. = − 分部积分公式 一、基本内容
例1求积分 xcos o 解(一)令=c0sx,xx=bux2=dh xcosxdxt? :coSx+/t 2 sin xdx 2 2 显然,L,ν选择不当,积分更难进行 解(二)令u=x,cosx= d sinx=h xcos xa=xd sin x=xsin- sin xdx sinx+cosx+c 上页
例1 求积分 cos . x xdx 解（一） 令 u = cos x, xdx = dx = dv 2 2 1 xcos xdx = + xdx x x x sin 2 cos 2 2 2 显然， u,v 选择不当，积分更难进行. 解（二） 令 u = x, cos xdx = d sin x = dv xcos xdx = xd sin x = xsin x − sin xdx = xsin x + cos x +C
例2求积分x2ex. 解=x2,e‘b=de= 王ed=xe-xk (再次使用分部积分法)u=x,e=h xe-2(xe-e)+C 总结若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幕函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函 数为a,使其降幂一次(假定幂指数是正整数) 上页
例2 求积分 . 2 x e dx x 解 , 2 u = x e dx de dv, x x = = x e dx 2 x = x e − xe dx x x 2 2 2( ) . 2 x e xe e C x x x = − − + （再次使用分部积分法） u = x, e dx dv x = 总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为 u , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
王例3求积分∫ xarctanxa. 2 解令u= arctan,xkx=d=h 2 2 x2 rarctanxar= x2 arctan . d(arctan x) 2 2 =— arctan x 2 21+x 2 2 工工工 arctan 2 2 ×x2)d 2 arctanx-(x-arctanx)+C 2 2 上页
例3 求积分 arctan . x xdx 解 令 u = arctan x , dv x xdx = d = 2 2 xarctan xdx (arctan ) 2 arctan 2 2 2 d x x x x = − dx x x x x 2 2 2 1 1 2 arctan 2 + = − dx x x x ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 2 2 + = − − ( arctan ) . 2 1 arctan 2 2 x x x C x = − − +
例4求积分 x'In xdx 解=lnx,x3b=d=bv, x'Inxdx- 1-41 x=lxx =-x4Inx一 4 C 4 16 总结若被积函数是幂函数和对数函数或幂 王函数和反三角函数的乘积就考虑设对数函 数或反三角函数为. 上页
例4 求积分 ln . 3 x xdx 解 u = ln x, , 4 4 3 dv x x dx = d = x ln xdx 3 = x x − x dx 4 3 4 1 ln 4 1 . 16 1 ln 4 1 4 4 = x x − x + C 总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂 函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函 数或反三角函数为 u
例5求积分sim(mx 庄解∫smxk= x sin(In a)- diSin(nx) 1 xsin(n x)-xcos(In x).dx xsin(In x)-xcos(In x)+xd(cos(n x) x(sin(In x)-cos(nx)]-sin(In x) jsin(n x)dx=, Isin(n x)-cos(n x)+C 2 上页
例5 求积分 sin(ln ) . x dx 解 sin(ln x)dx = − xsin(ln x) xd[sin(ln x)] = − dx x x x x x 1 sin(ln ) cos(ln ) = − + xsin(ln x) xcos(ln x) xd[cos(ln x)] = − − x[sin(ln x) cos(ln x)] sin(ln x)dx sin(ln x)dx [sin(ln ) cos(ln )] . 2 x x C x = − +
例6求积分」 e sin xd 解e^ sin xdx= sin xde =e sin x-Se'd(sinx) T -e"sinx-fe cos xrd=e"sin x- cos rde e sinx(e cos x-ed cos x) =c(inx-cosx)- Je sin xdx注意循环形式 Je sin xdx=.(sin x)+C 2 上页
例6 求积分 sin . e xdx x 解 e xdx x sin = x sin xde = − e sin x e d(sin x) x x = − e x e xdx x x sin cos = − x x e sin x cos xde = − − e sin x (e cos x e d cos x) x x x = − − e x x e xdx x x (sin cos ) sin e xdx x sin (sin cos ) . 2 x x C e x = − + 注意循环形式
例7求积分 cartan dx 1+x 解 1+x 2 arctan dx= arctan xd√1+x 2 1+x 2 1+x2arctanx-V1+ d(arctanx =√1+x2 arctan-y11 dx 1+x 2 上页
例7 求积分 + . 1 arctan 2 dx x x x 解 ( ) , 1 1 2 2 x x x + = + + dx x x x 2 1 arctan = + 2 arctan xd 1 x 1 arctan 1 (arctan ) 2 2 x x x d x = + − + dx x x x x 2 2 2 1 1 1 arctan 1 + = + − +
=√1+x2 arctan dx 2 +x」令x=tant d xe sec tdt= sectdt √1+x 1+ tan't In(sect+tant)+C=In(x+1+x)+C 工工工 arctan -dx 1+x 2 =√1+x2 arctan-ln(x+√1+x2)+C 上页
dx x x x + = + − 2 2 1 1 1 arctan 令 x = tant dx x + 2 1 1 + = tdt t 2 2 sec 1 tan 1 = sectdt = ln(sec t + tant) +C = ln( x + 1+ x ) + C 2 + dx x x x 2 1 arctan 1 x arctan x 2 = + ln( 1 ) . 2 − x + + x + C