黑龙江八一农垦大学：《高等数学习题课》第九章 重积分

第九章重积分 习题课 巴主要内容 巴曲型例题 回

、主要内容 定义《定义 几何意义几何意义 性质(性质 积 重积 计算法《计算法 士 应用《应用 反回

定 义 几何意义 性 质 计算法 应 用 二 重 积 分 定 义 几何意义 性 质 计算法 应 用 三 重 积 分 一 、主要内容

1、二重积分的定义 上定义设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数,将 闭区域D任意分成n个小闭区域△G1,△o2,…, △σn,其中△a表示第个小闭区域,也表示它的面积, 在每个△上任取一点(5,m), 作乘积∫(5;,m)△a;,(i=1,2,…,n), 并作和∑f(5,m)a; i=1 反回

定义 设 f (x, y)是有界闭区域 D 上的有界函数，将 闭区域 D 任意分成n 个小闭区域 1 ， 2 , ，  n ，其中 i 表示第i个小闭区域，也表示它的面积， 在每个 i 上任取一点( , )  i i ， 作乘积 ( , ) i i f    i ， (i  1,2,,n)， 并作和 i i n i i  f     ( , ) 1 ， 1、二重积分的定义

如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零 上时,这和式的极限存在,则称此极限为函数 ∫(x,y)在闭区域D上的二重积分, 记为∫f(x,y)da, D 即∫(x,yl=lm∑f(5,m)△a → i=1 A2、二重积分的几何意义 当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积 当被积函数小于零时,二重积分是柱体的体积的 负值 反回

如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f (x, y)在闭区域 D 上的二重积分， 记为 D f (x, y)d ， 即 D f (x, y)d i i n i i f          lim ( , ) 1 0 ２、二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值．

3、二重积分的性质 性质1当k为常数时 kf(x, y)do =kI f(x, y)do D 性质2 ∫(x,y)±g(x,y)dσ D =「f(x,y)do±f「g(x,y)dσ D 反回

性质１ 当 k 为常数时， ( , ) ( , ) .    D D kf x y d k f x y d 性质２   D [ f (x, y) g(x, y)]d ( , ) ( , ) .     D D f x y d g x y d ３、二重积分的性质

性质3对区域具有可加性(D=D1+D2) 生/(x,)g=(xy+(xya D 性质4若o为D的面积σ=1·d=o D D 性质5若在D上,∫(x,y)≤g(x,y f(x,y)dσsg(x,y)do 王特殊地∫(xys/(x,nd D 反回

性质３ 对区域具有可加性 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2      D D D f x y d f x y d f x y d ( ) D  D1  D2 性质４ 若为D的面积 1 .      D D  d d 性质５ 若在D上， f (x, y)  g(x, y) ( , ) ( , ) .    D D f x y d g x y d 特殊地 ( , ) ( , ) .    D D f x y d f x y d

上性质6设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最 大值和最小值,σ为D的面积,则 mos』(x,y)dosM D (二重积分估值不等式) 性质7设函数∫(x,y)在闭区域D上连续,σ为D 的面积,则在D上至少存在一点(与,m)使得 ∫(x,y)d=∫(5,m)·σ D (二重积分中值定理) 反回

设M 、m分别是 f (x, y)在闭区域 D 上的最 大值和最小值， 为 D 的面积，则    D m f (x, y)d M （二重积分估值不等式） 性质６ 设函数 f ( x, y)在闭区域D上连续， 为D 的面积，则在 D 上至少存在一点( ,)使得  f ( x, y)d  f ( ,) D . 性质７ （二重积分中值定理）

4、二重积分的计算 (1)直角坐标系下 [X一型]D:a≤x≤b,a(x)≤y≤a2(x) f(x, y)do 女/2 b f∫(x,y)小 φ1(x) D X-型区域的特点:穿过区域且平行于 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 反回

４、二重积分的计算 D : a  x  b, ( ) ( ). 1 2 ［X－型］  x  y   x ( , ) ( , ) . ( ) ( ) 2 1     D b a x x f x y d dx f x y dy    X-型区域的特点： 穿过区域且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. （１）直角坐标系下

[Y一型]D:c≤y≤d,q(y)≤x≤q2(y) d f(, yao q2( 2 c d f(x, y)dc. q1(y) D Y型区域的特点:穿过区域且平行于轴 的直线与区域边界相交不多于两个交点 反回

Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴 的直线与区域边界相交不多于两个交点. ( , ) ( , ) . ( ) ( ) 2 1     D d c y y f x y d dy f x y dx    D : c  y  d, ( ) ( ). 1 2 ［Y－型］  y  x   y

王(2)极坐标系下 D1:c≤θ≤B,φ1(6)Sr≤q2(6) 工工 f(rcos 8, sino)rdrde B 92(6) do e f(rcos e, sino)rdr 反回

( cos , sin ) . ( ) ( ) 2 1          d f r  r  rdr  1 ( cos , sin ) D f r  r  rdrd : , D1      ( ) ( ). 1   r   2  （２）极坐标系下