第四章哈密顿力学(上) 4.1.哈密顿正则方程 1.第三章介绍了拉格朗日力学。本章介绍分析力学的另一重要组成部分:哈密顿力学。 2.广义坐标和共轭动量正则共轭坐标(正则变量)。 力学的发展是和坐标概念的拓展紧密相连,力学问题的顺利解决往往借助于坐标的适当选择。 我们已经看到了坐标概念的拓展:直角坐标系→曲线坐标→广义坐标。哈密顿正则方程的建立也 是和坐标概念的拓展紧密相连的。 我们已经学过,对于广义坐标qn,可以引入广义动量P。第个义动量可能是动量,角 OL 动量等,总之不是原来意义下的“坐标”;我们还注意到:如果两个拉氏量只满足如下的关系式: L(q,1)-L(q,9) df(a, t) d,它们将给出同样的拉氏方程,但给出不同的广义动量,由于 ∫和λ是完全任意的,所以广义动量与广义坐标是相互独立的,并处于平等(但并不相同)的地 位,合称为正则共轭坐标(或正则变量)。于是s维广义坐标的位形空间就被拓广为2s维的正则 共轭坐标的相空间。相空间的“正则共轭坐标”不仅刻划质点的位置,而且刻划质点的运动状态。 这样,以广义坐标为未知函数的拉格朗日方程就代之以以正则共轭坐标为未知函数的正则方程。 由广义坐标到正则共轭坐标,是坐标概念的又一次重要的飞跃,对力学以至对整个物理学的 发展产生了深刻的影响。随着正则共轭坐标的引入而建立起来的哈密顿正则方程和由此发展起来 的内容极为丰富的哈密顿力学,不仅为求解拉格朗日方程提供了又一有效方法和途径,而且对理 论物理的发展产生了深刻的影响,特别是对量子力学的建立与发展起了积极推动作用 3.勒让德变换 从数学的角度看,引入广义动量,也就是用降阶法(高阶常微分方程(组)可以化为未知函 数个数更多,方程数更多的一阶常微分方程组)来解拉格朗日方程。因此哈密顿正则方程的建立 提供了解拉格朗日方程的又一种方法 最简单易行的降阶法:只要令q。≡y’就可以把拉格朗日方程(含S个未知函数q。的S个二 阶常微分方程组成的方程组)。 d a aL dt 化为含2个未知函数qn,y的2S个一阶常微分方程组成的方程组 d a aL o L=L(qa, Ja, u=L(qa,qa, 1) dt ay 1.2 但是这样做对解方程可能帮助不大。另一种方法,25个未知函数取为,P=2,则得到如下 的一阶常微分方程组1 第四章 哈密顿力学 （上） 4．1．哈密顿正则方程 1．第三章介绍了拉格朗日力学。本章介绍分析力学的另一重要组成部分：哈密顿力学。 2．广义坐标和共轭动量 正则共轭坐标（正则变量）。 力学的发展是和坐标概念的拓展紧密相连，力学问题的顺利解决往往借助于坐标的适当选择。 我们已经看到了坐标概念的拓展：直角坐标系  曲线坐标  广义坐标。哈密顿正则方程的建立也 是和坐标概念的拓展紧密相连的。 我们已经学过，对于广义坐标  q ，可以引入广义动量   q L p    = ，广义动量可能是动量，角 动量等，总之不是原来意义下的“坐标”；我们还注意到：如果两个拉氏量只满足如下的关系式： ( ) ( ) ( , ) , , , , df q t L q q t L q q t dt − =  ，它们将给出同样的拉氏方程，但给出不同的广义动量，由于 f 和  是完全任意的，所以广义动量与广义坐标是相互独立的，并处于平等（但并不相同）的地 位，合称为正则共轭坐标（或正则变量）。于是 s 维广义坐标的位形空间就被拓广为 2s 维的正则 共轭坐标的相空间。相空间的“正则共轭坐标”不仅刻划质点的位置，而且刻划质点的运动状态。 这样，以广义坐标为未知函数的拉格朗日方程就代之以以正则共轭坐标为未知函数的正则方程。 由广义坐标到正则共轭坐标，是坐标概念的又一次重要的飞跃，对力学以至对整个物理学的 发展产生了深刻的影响。随着正则共轭坐标的引入而建立起来的哈密顿正则方程和由此发展起来 的内容极为丰富的哈密顿力学，不仅为求解拉格朗日方程提供了又一有效方法和途径，而且对理 论物理的发展产生了深刻的影响，特别是对量子力学的建立与发展起了积极推动作用。 3．勒让德变换 从数学的角度看，引入广义动量，也就是用降阶法（高阶常微分方程（组）可以化为未知函 数个数更多，方程数更多的一阶常微分方程组）来解拉格朗日方程。因此哈密顿正则方程的建立 提供了解拉格朗日方程的又一种方法。 最简单易行的降阶法：只要令 q y    ，就可以把拉格朗日方程（含 s 个未知函数 q 的 s 个二 阶常微分方程组成的方程组）。 0 d L L dt q q     − =   ， =1,2, ,s 化为含 2s 个未知函数 , s s q y 的 2s 个一阶常微分方程组成的方程组 0 , , , , ( ) ( ) 1,2, , d L L L L q y t L q q t dt y q y q s              − = =       = = 但是这样做对解方程可能帮助不大。另一种方法， 2s 个未知函数取为 , L q p q       ，则得到如下 的一阶常微分方程组