Np。a=1,2, 我们虽取未知函数为qa2Pa,但L还是qa,nt的函数,若改用qa,Pa2t的函数 L=L(q,P,)=L(qq,),则求就不方便了。另外方程的形式也不对称。为了解决这 些问题,我们利用 Legendre变换 【数学附录】 Legendre变换:一般地,考虑一个函数f=f(x,y)x,y是独立变量 0a0— (3) (1把(u,y)看成独立变量,则由(2)x=x(u,y),代入(3)和(1) (x,y) v(uy),f=f(x,y)=f(x(xy),y)=f(uy)由于 令(ny)2=2x-(x,y)2=(0=2g(x,y)-f7(xy) 则x= ah(uy,-psh(2y)或由dh=udt+x-drx-hy=xdh-hy也得到左式 (2把(V,x)看作独立变量,则由(3)y=y(v,x),f=f(x,y(v,x)=f(v,x) 令g(x)=-f(,x)+(,x),则y≈m=-《或由 dg=-lx-wa+wdy+ych=-lhx+yhv也得到上式。 3把(L2y)看作独立变量,则由(2)、(3)解得x=x(uy),y=y(u,v) f=f(x,y)=f(x(u,v),y(u,v))=f(u,) 22 1,2, , L p q L p s q        =      = =  我们虽取未知函数为 q p,   ，但 L 还是 q q t , ,   的函数，若改用 q p t , ,   的函数 L = = L q p t L q q t ( , , , , ) ( ) ，则求 q  就不方便了。另外方程的形式也不对称。为了解决这 些问题，我们利用 Legendre 变换。 【数学附录】 Legendre 变换：一般地，考虑一个函数 f f x y x y = ( , , ) 是独立变量 （1）          =   = （ ） （ ） 3 2 y f v x f u (1)把（ u y, ）看成独立变量，则由（2） x x u y = ( , ) ，代入（3）和（1）， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) , , , , , , , , x x x u y f x y v v u y f f x y f x u y y f u y y =    = = = =       由于 ( ) ( ) y y y y y u y u u u f f x x ux u x u x u u u f f x f x ux u v v y x y y y y                  = = = −                                          = + = + = +                         令 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , x x u y h u y ux f x y ux u y f u y = = − = − 则 ( , , ) ( ) , h u y h u y x v u y   = − =   或由 dh udx xdu udx vdy xdu vdy = + − − = − 也得到左式. (2)把（ v x, ）看作独立变量，则由（3） y y v x = ( , ) ， f f (x y(v x)) f (v, x) ~ = , ,  。 令 g v x f v x vy v x ( , , ( , ) ) = − + ( ) ，则 , g g y u v x   = = −   或由 dg udx vdy vdy ydv udx ydv = − − + + = − + 也得到上式。 (3)把（ u v, ）看作独立变量，则由（2）、（3）解得 x x u v y y u v = = ( , , , ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ˆ f f x y f x u v y u v f u v = =  , , , ,