本科课程考试参考答案与评分标准 2006/2007学年第2学期 课程名称:高等代数(2) 考试性质:考试试卷类型:C 考试班级:信息0601-02数学0601考试方法:闭卷命题教师:王忠义 (10分)设η,n2,…,ns,ns,…,nst是线性空间的元素,证明: t+rank({n,n2,…,ns})≥rank({n,n2,…,ns,ns,…,nst}) 证记V1=Span(m,n2,…,ns),V2=Span(n+1,…,ns+), 则V1+V2=Span(n,n2,…,ns,np+1,…,nst) 因为dim(V1+V2)=dm(V1)+dim(V2)-dim(Vnv2)≤dm(V+dim(V2)≤dim(V)+t 所以rank({n,n2,…,ns,ns+1,…,npt})≤dm(V1)+t= t+rank({n,n2,…,ns}) (12分)在F中,求由基(I)到基(I)的过渡矩阵 (Ⅲ1):{a1= 0 (){B1=4B2=53 388 解β1=4=11+31-10 (3分) (3分) :=-8|=31-51+00 (3分) 11-3 ()到基()的过渡矩阵A-34-5 、(此题12分,每小题6分)①设()(Ⅲ,(Ⅵ)是线性空间V的三个基.如果 第1页共5页第 1 页 共 5 页 本科课程考试参考答案与评分标准 2006/2007 学年第 2 学期 课程名称：高等代数(2) 考试性质：考试 试卷类型：C 考试班级：信息 0601-02 数学 0601 考试方法：闭卷 命题教师：王忠义 一、（10 分）设η1，η2，…，ηs，ηs+1，..., ηs+t是线性空间 V 的元素，证明： t+rank({η1，η2，…，ηs})≥rank({η1，η2，…，ηs，ηs+1，..., ηs+t})． 证 记 V1= Span(η1，η2，…，ηs) ，V2 = Span(ηs+1，..., ηs+t), 则 V1+V2=Span(η1，η2，…，ηs，ηs+1，..., ηs+t) 因为 dim(V1+ V2)= dim(V1)+dim(V2) -dim(V1∩V2)≤dim(V1)+dim(V2)≤dim(V1)+t 所以 rank({η1，η2，…，ηs，ηs+1，..., ηs+t})≤dim(V1)+t= t+rank({η1，η2，…，ηs}) 二、（12 分）在 F 3中，求由基(Ⅲ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵． (Ⅲ)：                                1 0 0 , 1 1 0 , 1 1 1 1 2 3 (Ⅱ)：                                  8 8 3 , 3 5 1 , 3 4 1 1  2 3 解 β1=       3 4 1 =1       1 1 1 +3       1 1 0 -1       1 0 0 (3 分) β2=       3 5 1 =1       1 1 1 +4       1 1 0 -2       1 0 0 (3 分) β3=         8 8 3 =-3       1 1 1 -5       1 1 0 +0       1 0 0 (3 分) (Ⅲ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵 A=          1 2 0 3 4 5 1 1 3 (3 分) 三、（此题 12 分，每小题 6 分）①设(Ⅱ),(Ⅲ), (Ⅵ)是线性空间 V 的三个基．如果