=M1dM2④…⊕M, 且A-λE限制在M内为幂零线性变换。(证明略) 定理( Jordan- Chevally分解定理)设V是数域K上的n维线性空间,A是V内一个 线性变换,且A的特征多项式的根全属于K。那么 (i)存在V内唯一的半单线性变换S,幂零线性变换N,使得A=S+N 而且SN=NS (i)存在g(x),h(x)∈K[x],g(0)=h(O)=0,使得 S=g(A,N=f(a) 证明现在A的特征多项式f(4)有分解式 f(4)=(2-4)(-2)°…(-1)(4≠) 按照引理,V=M1⊕M2⊕…⊕M,其中M1=Ker(A-1E(i=1,2,…,s) 现令m(A)=(4-A)°,m()=(当A,2,…,中有0的时候,不要m(4)),则 m(A)m2(A)2…,m,(),m()两两互素,按照中国剩余定理,有g()∈K[x],使 g()=n(modm ), g()=0(mod m(a) 令h(4)=-g(4),现在g(4)=k(),故g(0)=h(0)=0 现在取S=g(A),N=h(A),显然有SN=NS。由于 8()=λ1+k(m()=入1+k(Ox0x-,), S-hE=g(A)-n E=k (A(A-2E) 因为(A-xE)限制在M,内变为0,故S-λE限制在M1内变为0,亦即有 Sx=λEMx,而V=M1由M2由…④M,于是S的矩阵可对角化,即S为内的半单 线性变换。另一方面 h(A)=A-g(A)=A-入E-k(AA-入E) 因为(A-E)°限制在M内变为0,故NLM=(A-入E)为M内的幂零线性变换,而 =M1④M2⊕…M,由此可知N为V内的幂零线性变换。V M M M =    1 2 s 且 A E −i 限制在 Mi 内为幂零线性变换。（证明略） 定理（Jordan-Chevally 分解定理）设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间， A 是 V 内一个 线性变换，且 A 的特征多项式的根全属于 K 。那么 （i） 存在 V 内唯一的半单线性变换 S ，幂零线性变换 N ，使得 A=S+N ， 而且 SN=NS ； （ii） 存在 g x h x K x ( ), ( ) [ ]  ， g h (0) (0) 0 = = ，使得 S= A),N= A g f ( ( ) 证明 现在 A 的特征多项式 f ( )  有分解式 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s e e e s i j f          = − − −  按照引理， V M M M =    1 2 s ，其中 ( ) ( 1,2,..., ) A E i e M Ker i s i i = − =  。 现令 ( ) ( ) , ( ) i e m m i i      = − = （当 1 2 , ,...,   s 中有 0 的时候，不要 m( )  ），则 1 2 ( ), ( ),..., ( ), ( ) m m m m     s 两两互素，按照中国剩余定理，有 g K x ( ) [ ]   ，使 ( ) (mod ( )), ( ) 0(mod ( )) i i g m g m        令 h g ( ) ( )    = − ，现在 g k ( ) ( )    = ，故 g h (0) (0) 0 = = 。 现在取 S A N A = = g h ( ), ( ) ，显然有 SN=NS 。由于 ( ) ( ) ( ) ( )( ) i e i i i i i i g k m k  =  +   =  +   −  ， 故 S E= A E= A A E ( ) ( )( ) i e i i i i −  −  −  g k 因 为 ( ) A E i e − i 限制在 Mi 内变为 0 ， 故 S E −i 限制在 Mi 内变为 0 ，亦即有 S E | | M i M i i =  ，而 V M M M =    1 2 s ，于是 S 的矩阵可对角化，即 S 为 V 内的半单 线性变换。另一方面， N A A A A E A A E ( ) ( ) ( )( ) i e i i i = = − = −  − −  h g k 因为 ( ) A E i e − i 限制在 Mi 内变为 0 ，故 N A E | ( ) | M i M i i = −  为 Mi 内的幂零线性变换，而 V M M M =    1 2 s ，由此可知 N 为 V 内的幂零线性变换