下面来证唯一性。 假如又有V内的半单线性变换S1,幂零线性变换N1,满足条件。那么: (a)S1与N1显然与A可交换,而S=g(A),N=h(A),故它们也可与S,N交换 对于任意α∈M,有 (A-E)S1=S1(A-E)a=0, (A-入E)N=N1(A-E)a=0 故M1=Ker(A-AE)°(i=12,…,s)为A,SN,S1,N1的公共不变子空间。令L=N-N1, 则M也是L的不变子空间,N,N1均幂零且可交换,故L也幂零,而M1内S=E,故 在M,内有 S1=S+(N-N1)=E+1 根据第七章关于 Jordan标准型的讨论我们有:在M,内存在一组基,在该组基下S1M的矩 阵成 Jordan形,其主对角线上的元素全为入;,把各M1中的基合并为V的基,则在此基下S1 的矩阵成 Jordan形,主对角线元素为入1,22,…,,∈K,即S1的特征多项式的根全属于K (b)这样S1的矩阵可对角化,从而S1LM的矩阵也可对角化(见第四章)。但S1LM仅 有一个特征值λ,于是 LM=lE=s 由于V=M1M④…⊕M,,所以又上式知S,=S,从而N=N,。唯一性得证。下面来证唯一性。 假如又有 V 内的半单线性变换 S1 ，幂零线性变换 N1 ，满足条件。那么： （a） S1 与 N1 显然与 A 可交换，而 S A N A = = g h ( ), ( ) ，故它们也可与 S ，N 交换。 对于任意 Mi 有 ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0. 1 1 1 1 A E S S A E A E N N A E i i i i e e i i e e i i −   = −   = −   = −   = 故 ( ) ( 1,2,..., ) A E i e M Ker i s i i = − =  为 A,S,N,S ,N1 1 的公共不变子空间。令 L=N N− 1 ， 则 Mi 也是 L 的不变子空间， N ， N1 均幂零且可交换，故 L 也幂零，而 Mi 内 S= Ei ，故 在 Mi 内有 ( ) S S N N E L 1 1 = + − =  + i 根据第七章关于 Jordan 标准型的讨论我们有：在 Mi 内存在一组基，在该组基下 | S1 Mi 的矩 阵成 Jordan 形，其主对角线上的元素全为 i ，把各 Mi 中的基合并为 V 的基，则在此基下 S1 的矩阵成 Jordan 形，主对角线元素为 1 2 , ,...,    s K ，即 S1 的特征多项式的根全属于 K 。 （b）这样 S1 的矩阵可对角化，从而 | S1 Mi 的矩阵也可对角化（见第四章）。但 | S1 Mi 仅 有一个特征值 i ，于是 | | S E=S 1 M i M i i =  由于 V M M M =    1 2 s ，所以又上式知 S S 1 = ，从而 N N= 1 。唯一性得证