力2+4+n(n-1)A1 )+A+-(1 2! )A(1-—) )(1 再证它有界 x.≤1+1+-+A+ 2! 1+1 A 由定理3,知imxn存在,值记为e,它是一个无理数e=27182818A 称logx=hx为自然对数,何以称为“自然”,下章将见分晓。 §2.4确界存在定理与区间套定理 2.4.1确界存在定理 我们曾引入有界数集的确界概念,今证明它的存在性(记号a、b、c表示实数) 定理1非空有上界的数集E必存在上确界。 证明设E={x}非空,有上界b:x∈E,x≤b。 (1)若E中有最大数x0,则x0即为上确界 (2)若E中无最大数,用下述方法产生实数的一个分划:取E的一切上界归入上类 B,其余的实数归入下类A,则(A|B)是实数的一个分划 1°A、B不空。首先b∈B。其次x∈E,由于x不是E的最大数,所以它不是E 的上界,即x∈A。这说明E中任一元素都属于下类A °A、B不漏性由A、B定义即可看出28 n n n n n n n n n n n x 1 ! 1 ( 1) 1 2! ( 1) 1 1 ) 1 (1 2 L L - + + - = + + = + ) 1 ) (1 1 (1 ! 1 ) 1 (1 2! 1 1 1 n n n n n - = + + - +L + - L - ， n n x n n n n n n n n n x > + - + - + + + - - + + + - + + = + + - ) 1 ) (1 1 1 (1 ( 1)! 1 ) 1 1 ) (1 1 1 (1 ! 1 ) 1 1 (1 2! 1 1 1 1 L L L 再证它有界 1 3 2 1 2 1 1 1 ! 1 2! 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 = + < £ + + + + £ + + + + - - - n n n n x L L 由定理 3，知 n n x ®¥ lim 存在，值记为e ，它是一个无理数 e = 2.7182818L 。 称 x x e log = ln 为自然对数，何以称为“自然”，下章将见分晓。 §2.4 确界存在定理与区间套定理 2.4.1 确界存在定理 我们曾引入有界数集的确界概念，今证明它的存在性（记号a 、b 、c 表示实数） 定理 1 非空有上界的数集E 必存在上确界。 证明 设E = {x} 非空，有上界b ： "x Î E ， x £ b。 （1） 若E 中有最大数 0 x ，则 0 x 即为上确界； （2） 若E 中无最大数，用下述方法产生实数的一个分划；取 E 的一切上界归入上类 B ，其余的实数归入下类 A ，则(A | B) 是实数的一个分划。 o 1 A 、B 不空。首先bÎ B 。其次 "x Î E ，由于 x 不是 E 的最大数，所以它不是 E 的上界，即 x Î A。这说明 E 中任一元素都属于下类 A ； o 2 A 、 B 不漏性由 A 、 B 定义即可看出；