例3设f(x)在[a,b上连续,在(a,b)内可导,且 05a≤b试证存在5,7∈(a,b)使r(=a+br(m 2 证:欲证/(3)=()即要证f(5b-a)=(m) a+b 2n b 2 因f(x)在|a,b上满足拉氏中值定理条件故有 f(b)-f(a)=f()(b-a),E∈(a,b)① 又因f(x)及x2在[a,b上满足柯西定理条件故有 f(b)-f(a)f"(7) ,m∈(a,b) ② b 2 n atb 将①代入②,化简得f"(=2m f(m)2,m∈(a,b例3. 且 试证存在 证: 欲证 , 2 ( ) ( )   f  a b f  = +  因 f ( x ) 在 [ a , b ] 上满足拉氏中值定理条件, 故有 f (b) − f (a) = f ()(b − a),  (a, b) ( ) [ , ] , 又因f x 及x 2 在 a b 上满足柯西定理条件 将①代入② , 化简得 故有 ① ② ( ), 2 ( )    f a b f  +  =  ,(a,b) 即要证 . 2 ( )( ) ( ) 2 2   f  b a f b a  = −  −