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.102 北京科技大学学报 第30卷 函数，将使指标函数获得最小值的那个滤波器的输 PA(k+1)= 出切换为MMAKF的滤波输出.仿真实验表明此 [Im,一KA(k十1)H]PA(k+1|k),Hk≥0 种MMAKF可以极大地改善AKF的瞬态响应，并 (12) 能获得和常规AKF一样的收敛性质， XA(0)=EX(0),PA(0)=varX(0) (13) 1模型描述 P,(0-1)△0 (14) 考虑如下离散时间系统： T=[(H)'(H)](H)', X(k+1)=Φx(k)+W(k) Hk≥0 T2△T1H,R△T1Ri (15) y(k+1)=Hx(k+1)+V(k+1)Hk≥0 其中，下标A表示自适应滤波器，P,(k十1|k)为新 (1) 息序列yA(k十1k)的方差3] 式中，X∈R"是系统的状态向量，y∈R",是系统的 这里假设矩阵(H)(HD)可逆.自适应求解 观测向量，W∈Rm是系统的动态噪声，V∈Rm·是 的过程中，可以看出动态噪声W的协方差矩阵Q 观测噪声向量，Φ∈Rm,×m,是系统的状态转移矩 是被逐渐辨识出来的，因此如果辨识的初值选取不 阵，『∈RmXm是干扰输入矩阵，H∈Rm,Xm是观 恰当，就会造成过渡过程的瞬态响应很差，采用多 测矩阵 模型方法将是解决此类问题的一个很好的方法 关于系统的随机性：动态噪声{W(k),k≥O}和 2.2多模型自适应卡尔曼滤波器 观测噪声V(k十1)，k≥0是不相关的零均值白噪 基于不同的动态噪声协方差矩阵，设计多个固 声，初始状态是mx维高斯随机向量，且 定卡尔曼滤波器，即每一个卡尔曼滤波器的动态噪 EW(k)W'(j)= 声的协方差矩阵已知，但各不相同，考虑系统(1)的 08(k,j),00,Hk,j≥0 (2) 动态噪声的协方差矩阵的变化范围2∈Rm.xm已 EV(k+1)V'(G+1)= 知，即： R(k,j),R0,Hk,j≥0 (3) Q∈2=QlQ>0的所有可能取值1. EW(k)V'(G+1)=0,varx(0)=P(0)(4) 针对2，采用n个Q可能取值的离散的协方差 EX(0)W'(j)=0, Ex(0)V'(k+1)=0,Hk≥0 矩阵Q1,Q2,,Qm}∈2，建立n个卡尔曼滤波 (5) 器， 其中，Q和R皆为正定矩阵，P(O)为系统状态在0 X:(k+1)=X:(k十1|k)+ 时刻的协方差矩阵。 K:(k+1)[y(k+1)一：(k+1k)](16) 2多模型自适应卡尔曼滤波器 X:(k+1k)=r:(k) (17) 2.1常规自适应卡尔曼滤波器 :(k+1k)=H(k+1)X:(k+1k)(18) 对于离散时间系统(1)，系统的动态噪声W的 K:(k+1)=P:(k+1k)H(k+1)· 协方差矩阵Q很难精确的获得，因此常常采用如下 [Hk+1)P:(k+1)k)H(k+1)+R]-1 的自适应卡尔曼滤波器进行求解 (19) XA(k十1)=ΦKA(k)十Ka(k十1)yA(k十1k) P:(k十1|k)=ΦP:(k)Φ'+T0 (20) (6) P:(k+1)= yA(+1)=y(+1)-H(k) (7) [1m一K:(k+1)H(k+1)]P:(k+1|k)(21) KA(k十1)= X:(0)=EX(0)=X(0),P:(0)=varX(0), PA(k+1)HHP(k+1)H+R](8) Hk≥0，i=1,2,…,n (22) PA(k+1k)=ΦPa(k)Φ'+TQ(k)T'(9) 其中，下标i取不同值代表基于不同动态噪声协方 Q(k)=TP,(k+1lk)Ti-R-T2PA(k)2 差矩阵的卡尔曼滤波器. (10) 同时建立一个基于输出误差的指标切换函数， P,(k+1k)= 用于多个滤波器之间的切换 本P,(k-)十中(k+1k)少(k+1) 定义1固定卡尔曼滤波器指标切换函数： (11) o=Ie()2+le0)3,函数将使指标函数获得最小值的那个滤波器的输 出切换为 MMAKF 的滤波输出．仿真实验表明此 种 MMAKF 可以极大地改善 AKF 的瞬态响应并 能获得和常规 AKF 一样的收敛性质． 1 模型描述 考虑如下离散时间系统： X（ k＋1）＝ΦX（ k）＋ΓW（ k） ∀k≥0 y（ k＋1）＝ HX（ k＋1）＋V（ k＋1） ∀k≥0 （1） 式中X∈R mx是系统的状态向量y∈R my是系统的 观测向量W∈R mw 是系统的动态噪声V∈R mv 是 观测噪声向量Φ∈R mx×mx 是系统的状态转移矩 阵Γ∈R mx×mw 是干扰输入矩阵H∈R my×mx 是观 测矩阵． 关于系统的随机性：动态噪声｛W（ k）k≥0｝和 观测噪声｛V（ k＋1）k≥0｝是不相关的零均值白噪 声初始状态是 mx 维高斯随机向量且 E W（ k） W′（ j）＝ Qδ（ kj）Q≥0∀kj≥0 （2） E V（ k＋1）V′（ j＋1）＝ Rδ（ kj）R＞0∀kj≥0 （3） E W（ k）V′（ j＋1）＝0var X（0）＝P（0） （4） E X（0） W′（ j）＝0 E X（0）V′（ k＋1）＝0∀k≥0 （5） 其中Q 和 R 皆为正定矩阵P（0）为系统状态在0 时刻的协方差矩阵． 2 多模型自适应卡尔曼滤波器 2∙1 常规自适应卡尔曼滤波器 对于离散时间系统（1）系统的动态噪声 W 的 协方差矩阵 Q 很难精确的获得因此常常采用如下 的自适应卡尔曼滤波器进行求解． ＾XA（ k＋1）＝Φ＾XA（ k）＋ KA（ k＋1） y ～ A（ k＋1｜k） （6） y ～ A（ k＋1｜k）＝y（ k＋1）— HΦ＾XA（ k） （7） KA（ k＋1）＝ PA（ k＋1｜k） H′［ HP（ k＋1｜k） H′＋ R］ —1 （8） PA（ k＋1｜k）＝ΦPA（ k）Φ′＋ΓQ（ k）Γ′ （9） Q（ k）＝Γ1Py（ k＋1｜k）Γ′1— R—Γ2PA（ k）Γ′2 （10） Py（ k＋1｜k）＝ k k＋1 Py（ k｜k—1）＋ 1 k＋1 y ～ A（ k＋1｜k） y ～ ′A（ k＋1｜k） （11） PA（ k＋1）＝ ［ Imx— KA（ k＋1） H］ PA （ k＋1｜k）∀k≥0 （12） ＾XA（0）＝E X（0）PA（0）＝var X（0） （13） Py（0｜—1）≜0 （14） Γ1＝［（ HΓ）′（ HΓ）］ —1（ HΓ）′ Γ2≜Γ1HΦR≜Γ1RΓ′1 （15） 其中下标 A 表示自适应滤波器Py（ k＋1｜k）为新 息序列 y ～ A（ k＋1｜k）的方差［3］ 这里假设矩阵（ HΓ）′（ HΓ）可逆．自适应求解 的过程中可以看出动态噪声 W 的协方差矩阵 Q 是被逐渐辨识出来的．因此如果辨识的初值选取不 恰当就会造成过渡过程的瞬态响应很差．采用多 模型方法将是解决此类问题的一个很好的方法． 2∙2 多模型自适应卡尔曼滤波器 基于不同的动态噪声协方差矩阵设计多个固 定卡尔曼滤波器即每一个卡尔曼滤波器的动态噪 声的协方差矩阵已知但各不相同．考虑系统（1）的 动态噪声的协方差矩阵的变化范围 Ω∈R mv×mv 已 知即： Q∈Ω＝｛Q｜Q＞0的所有可能取值｝． 针对 Ω采用 n 个 Q 可能取值的离散的协方差 矩阵｛Q1Q2…Qn｝∈Ω建立 n 个卡尔曼滤波 器． ＾Xi（ k＋1）＝＾Xi（ k＋1｜k）＋ Ki（ k＋1）［ y（ k＋1）—＾yi（ k＋1｜k）］ （16） ＾Xi（ k＋1｜k）＝Φ＾Xi（ k） （17） ＾yi（ k＋1｜k）＝ H（ k＋1）＾Xi（ k＋1｜k） （18） Ki（ k＋1）＝Pi（ k＋1｜k） H′（ k＋1）· ［ H（ k＋1） Pi（ k＋1）｜k） H′（ k＋1）＋ R］ —1 （19） Pi（ k＋1｜k）＝ΦPi（ k）Φ′＋ΓQiΓ′ （20） Pi（ k＋1）＝ ［ Imx— Ki（ k＋1） H（ k＋1）］ Pi（ k＋1｜k） （21） ＾Xi（0）＝E X（0）＝X（0）Pi（0）＝var X（0） ∀k≥0i＝12…n （22） 其中下标 i 取不同值代表基于不同动态噪声协方 差矩阵的卡尔曼滤波器． 同时建立一个基于输出误差的指标切换函数 用于多个滤波器之间的切换． 定义1 固定卡尔曼滤波器指标切换函数： Ji（ t）＝‖ei（ t）‖2＋ ∑ t—1 j＝0 ‖ei（ j）‖2 ·102· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷