第1期 李晓理等：动态噪声特性未知系统的多模型自适应卡尔曼滤波 103. e:(t)=:(tt-1)-y(t),=1,2,…,n. 定义2自适应卡尔曼滤波器指标切换函数： k(a)=Ie,()+Ie,O)3, ea(t)=4(tlt-1)-y(t), 给定一个任意小的正数>0，由指标切换函数 构成多模型自适应卡尔曼滤波器(MMAKF): 203040 t/s (1)t=0,X(t)=X(0): (2)t>0,若 图1多模型自适应卡尔曼滤波器（一）与噪声方差已知的卡尔 ‖Q(k+1)-Q(k)‖<e, 曼滤波器（一）的滤波效果比较 Fig.1 Comparison of filtering result by a multiple model adaptive 则 Kalman filter(-)with that by a Kalman filter with a known noise x(t)=xA(t): covariance matrix(一) 否则，计算 1()=arg in(). 并有 XA(t), JA≤J() X(t)= X(t),JA>() (3)令t=t+1,返回(2). 从MMAKF的构成可以看出，当MMAKF中 10 20304050 常规AKF对动态噪声的辨识逐渐收敛时， s MMAKF就被切换成为一个常规AKF,因此 图2常规自适应卡尔曼滤波（一）与噪声方差已知的卡尔曼滤 MMAKF与常规的AKF具有同样的收敛特性.但 波器（一）的滤波效果比较 由于多个固定卡尔曼滤波器的存在，在滤波的初始 Fig.2 Comparison of filtering result by a conventional adaptive 阶段滤波效果将得到极大地改善. Kalman filter (-)with that by a Kalman filter with a known noise covariance matrix(一) 3仿真研究 考虑被估值系统的状态方程和量测方程： 4 结论 X(k+1)=0.5X(k)+W(k) Hk≥0 将基于指标切换函数的多模型自适应控制的思 y(k+1)=X(k+1)+V(k+1)Hk≥0 想推广到卡尔曼滤波器的设计过程当中.基于多个 (23) 固定的动态噪声协方差矩阵建立多个固定的卡尔曼 var W(k)=Q(k)=1 (24) 滤波器，并与常规自适应卡尔曼滤波器相结合，基于 varV(k+1)=R(k+1)=2 指标切换函数构成多模型自适应卡尔曼滤波器，与 (25) 常规的卡尔曼滤波器相比，这种多模型卡尔曼滤波 EX(0)=0,P(0)=varX(0)=1 (26) 器在保证了常规卡尔曼滤波器的收敛性质的同时， 假设动态噪声的统计特性未知，分别采用MMAKF 极大地改善了瞬态响应， 和常规AKF对此系统进行状态估计，并将滤波估计 的结果同Q已知的卡尔曼滤波结果相比较.其中 参考文献 MMAKF由四个固定卡尔曼滤波器和一个自适应 [1]Mehra R K.On the identification of variances and adaptive 卡尔曼滤波器共同构成，四个卡尔曼滤波器分别基 Kalman filtering.IEEE Trans Autom Control,1970.15(2): 175 于Q为0.1,0.5,1.0和1.5建立.从图1和图2 [2]Mehra R K.Online identification of linear dynamie system with 的比较可以看出，在滤波的初始阶段，MMAKF极 application to Kalman filtering.IEEE Trans Auom Control. 大地改善了滤波效果，整个滤波效果与Q已知的卡 1971,16(1):12 尔曼滤波结果基本上一致， [3]LiS Y.Xu MZ.Filtering and Control of Stochastie System. Beijing:Defense Industry Publishing House,1991ei（ t）＝＾yi（ t｜t—1）—y（ t）‚i＝1‚2‚…‚n． 定义2 自适应卡尔曼滤波器指标切换函数： JA（ t）＝‖eA （ t）‖2＋ ∑ t—1 j＝0 ‖eA （ j）‖2‚ eA（ t）＝＾yA （ t｜t—1）—y（ t）‚ 给定一个任意小的正数ε＞0‚由指标切换函数 构成多模型自适应卡尔曼滤波器（MMAKF）： （1） t＝0‚＾X（ t）＝X（0）． （2） t＞0‚若 ‖ Q（ k＋1）— Q（ k）‖＜ε‚ 则 ＾X（ t）＝＾XA（ t）； 否则‚计算 l（ t）＝arg min 1≤ i≤ n Ji（ t）‚ 并有 ＾X（ t）＝ ＾XA（ t）‚ JA≤Jl（ t） ＾Xl（ t）（ t）‚ JA＞Jl（ t） （3） 令 t＝t＋1‚返回（2）． 从 MMAKF 的构成可以看出‚当 MMAKF 中 常规 AKF 对 动 态 噪 声 的 辨 识 逐 渐 收 敛 时‚ MMAKF 就 被 切 换 成 为 一 个 常 规 AKF‚因 此 MMAKF 与常规的 AKF 具有同样的收敛特性．但 由于多个固定卡尔曼滤波器的存在‚在滤波的初始 阶段滤波效果将得到极大地改善． 3 仿真研究 考虑被估值系统的状态方程和量测方程： X（ k＋1）＝0∙5X（ k）＋ W（ k） ∀k≥0 y（ k＋1）＝X（ k＋1）＋ V （ k＋1） ∀k≥0 （23） var W（ k）＝ Q（ k）＝1 （24） var V （ k＋1）＝ R（ k＋1）＝2 （25） E X（0）＝0‚P（0）＝var X（0）＝1 （26） 假设动态噪声的统计特性未知‚分别采用 MMAKF 和常规 AKF 对此系统进行状态估计‚并将滤波估计 的结果同 Q 已知的卡尔曼滤波结果相比较．其中 MMAKF 由四个固定卡尔曼滤波器和一个自适应 卡尔曼滤波器共同构成‚四个卡尔曼滤波器分别基 于 Q 为0∙1‚0∙5‚1∙0和1∙5建立．从图1和图2 的比较可以看出‚在滤波的初始阶段‚MMAKF 极 大地改善了滤波效果‚整个滤波效果与 Q 已知的卡 尔曼滤波结果基本上一致． 图1 多模型自适应卡尔曼滤波器（---）与噪声方差已知的卡尔 曼滤波器（—）的滤波效果比较 Fig．1 Comparison of filtering result by a multiple model adaptive Kalman filter （---） with that by a Kalman filter with a known noise covariance matrix （—） 图2 常规自适应卡尔曼滤波（---）与噪声方差已知的卡尔曼滤 波器（—）的滤波效果比较 Fig．2 Comparison of filtering result by a conventional adaptive Kalman filter （---） with that by a Kalman filter with a known noise covariance matrix （—） 4 结论 将基于指标切换函数的多模型自适应控制的思 想推广到卡尔曼滤波器的设计过程当中．基于多个 固定的动态噪声协方差矩阵建立多个固定的卡尔曼 滤波器‚并与常规自适应卡尔曼滤波器相结合‚基于 指标切换函数构成多模型自适应卡尔曼滤波器．与 常规的卡尔曼滤波器相比‚这种多模型卡尔曼滤波 器在保证了常规卡尔曼滤波器的收敛性质的同时‚ 极大地改善了瞬态响应． 参 考 文 献 ［1］ Mehra R K．On the identification of variances and adaptive Kalman filtering．IEEE T rans A utom Control‚1970‚15（2）： 175 ［2］ Mehra R K．On-line identification of linear dynamic system with application to Kalman filtering． IEEE T rans A utom Control‚ 1971‚16（1）：12 ［3］ Li S Y‚Xu M Z．Filtering and Control of Stochastic System． Beijing：Defense Industry Publishing House‚1991 第1期 李晓理等： 动态噪声特性未知系统的多模型自适应卡尔曼滤波 ·103·