配分常数Z时的求和项太多,从而常会出现大量被求和的项的值小于计算机误差的精度, 以致使计算在实际上失去可能.用 Markov链 Monte carlo方法(MCMC)可以解决这个困难 即先近似地得到 Gibbs分布,再进行参数估计.所以MMC是一个重要的计算手段 MCMC方法就是构造以 Gibbs分布为可逆分布的 Markov链的转移矩阵.因为这里的随机 场的 Gibbs分布远比 Ising模型的 Gibbs分布复杂,我们只构造离散时间的 Markov转移矩 阵,而且还希望如 Glauber动力学那样,每次只在一个格点上改变(称为按 Gibbs方式转移) 最后还要保证由这样得到的转移矩阵的各行都收敛于 Gibbs分布 为了使构造更为透明,我们先对任给的格点子集J定义如下的“部分转移” B)={Z en(v)(a,B在/外坐标相同) (其它) 其中β,as表示:把组态a中在J处的坐标换成组态B中的相应坐标,而Z(a)是一个归 化常数(“局部的配分常数) ∑e (9.5) 这种“部分转移”表示组态间只在位置J外的坐标相同时才可能转移 在此基础上我们定义转移矩阵如下:记G中的全部格点的一个给定的排序为 {x1…,xa,(G|=N1N2).任给组态a,B∈S,定义 P,=(P,(a, B))a,Bes,P= 则P是一个转移矩阵.注意由于P中的转移只在一个格点x,上进行,由P构造的 Markov 链的一次转移,可以视为G|次连续转移的结果,其中每次转移只在一个格点上进行,而且 要做遍所有的格点 下面的遍历收敛定理是 Markov链的 Monte carlo方法的理论基础.而 Markov链 Monte Carlo方法主要用于获得 Gibbs分布的样本,以便进一步得到Gibs场的各种统计平均量. 对于任意格点x∈G,任意组态a∈S,记 Hu(r,aGuri)=m,=min n, Hu(nraGyr) 那么 (Hu(,:)-m,I Pir(a, B -Hu(B! -m, e max( Hu(B)Hu(y)BGx=yGx)A G 其中δx为能量函数HU在格点x上的振幅,Δ为Hu的振幅,其确切定义为234 配分常数 Z 时的求和项太多，从而常会出现大量被求和的项的值小于计算机误差的精度， 以致使计算在实际上失去可能．用 Markov 链 Monte Carlo 方法 (MCMC)可以解决这个困难， 即先近似地得到 Gibbs 分布, 再进行参数估计. 所以 MCMC 是一个重要的计算手段. MCMC 方法就是构造以 Gibbs 分布为可逆分布的 Markov 链的转移矩阵. 因为这里的随机 场的 Gibbs 分布远比 Ising 模型的 Gibbs 分布复杂, 我们只构造离散时间的 Markov 转移矩 阵, 而且还希望如Glauber动力学那样, 每次只在一个格点上改变（称为按 Gibbs方式转移）, 最后还要保证由这样得到的转移矩阵的各行都收敛于 Gibbs 分布. 为了使构造更为透明, 我们先对任给的格点子集 J 定义 如下的“部分转移” ï î ï í ì = - 0 ( ) ( , ) ( ) 1 ( , ) ( ) \ 其它 e 在J外坐标相同 p Z HU J S J J J a b a b a b a , (9. 4) 其中 b JaS \ J 表示: 把组态a 中在 J 处的坐标换成组态 b 中的相应坐标, 而 (a) ZJ 是一个归 一化常数(“局部的”配分常数): å - = J HU J S J J Z e b b a a ( ) \ ( ) . (9. 5) 这种 “部分转移”表示组态间只在位置 J 外的坐标相同时才可能转移. 在此基础上我们定义转移矩阵如下：记 G 中的全部格点的一个给定的排序为 { , , ),(| | ) 1 | | G N1N2 x x L G = . 任给组态a,b Î S , 定义 P J J S p = a b a ,bÎ ( ( , )) , P = Õ= | | 1 G k P ( xk } , (9. 6) 则 P 是一个转移矩阵. 注意由于 P ( xk } 中的转移只在一个格点 i x 上进行, 由 P 构造的Markov 链的一次转移,可以视为| G |次连续转移的结果, 其中每次转移只在一个格点上进行, 而且 要做遍所有的格点. 下面的遍历收敛定理是 Markov 链的 Monte Carlo 方法的理论基础. 而 Markov 链 Monte Carlo 方法主要用于获得 Gibbs 分布的样本, 以便进一步得到 Gibbs 场的各种统计平均量. 对于任意格点 x ÎG ,任意组态a Î S , 记 ( ) min ( } HU xa G\{ x} mx x HU hxaG\{ x} g h D D = = . (9. 7) 那么 ( , ) p{x} a b åÎ - - - - = y G H m H m U y G y x U x G x x e e [ ( ) ] [ ( ) ] \{ } \{ } b a b a - -D D - - = ³ = ³ e G e G G e x HU HU G x G x | | 1 | | 1 | | max( ( ) ( ): ) \{ } \{ } d b g b g , 其中 x d 为能量函数 HU 在格点 x 上的振幅, D 为 HU 的振幅, 其确切定义为