一、在扩展域从描述和构成循环码 定理1：设Fg上的循环码的生成多项式g(凶)在最小分裂域Fqm上的根为o1, 02,,0nk。则Fq上多项式c(X)=Cn-X1+Cn2X2+..+c1+c是一个码字多项 式的充要条件是Hc=0,其中： a H= "1 号* 。C=(Cm-1,Cn-2,,C1,C0) a a Cn-k 1 计算在Fgm上进行。 证明：（一）必要性 C(x)=a(x)g(X)=Cn-1X-1 +Cn2x2+...+Cx+Co c()=Cn14r1+cn24n2+.+C141+co=a(c)g()=a(c)*0=0,G=1,2,,n-k) (二)充分性 设c(X)满足Hc=0,c(X)=g(X)q(X)+s(X),对于j=1,2,,n-k, c(o)=g(o)9(o)+s(c)=0*q(c)+s(c)=cn-14n1+cn-241n-2+.+c14,+co=0 则s(c)=0,即s()在Fm上的根为a1,2,,nk,又as(X)<0g(),所以s(=0 即c()=g()q(),所以c(X)是码字多项式。一、在扩展域从描述和构成循环码 定理1：设Fq上的循环码的生成多项式g(x)在最小分裂域Fqm上的根为1， 2，…, n-k。则Fq上多项式c(x)= cn-1x n-1 +cn-2x n-2+…+c1x+c0是一个码字多项 式的充要条件是Hc T=0,其中: , ( , ,..., , ) ....... 1 ....... ...... ...... ...... ...... ...... 1 ...... 1 H 1 2 1 0 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 c c c c c n n n k n n k n n k n n n n − − − − − − − − − − − =               =          计算在Fqm上进行。 证明：（一）必要性 设c(x)=a(x)g(x)= cn-1x n-1 +cn-2x n-2+…+c1x+c0 c(j )= cn-1j n-1 +cn-2j n-2+…+c1j +c0=a(j )g(j )=a(j )*0=0，(j=1,2,…, n-k) (二）充分性 设c(x)满足HcT=0，c(x)=g(x)q(x)+s(x)，对于j=1,2,…, n-k， c(j )=g(j )q(j )+s(j )=0*q(j )+s(j )=cn-1j n-1 +cn-2j n-2+…+c1j +c0=0 则s(j )=0，即s(x)在Fqm上的根为1，2，…, n-k，又s(x)< g(x), 所以s(x)=0 即c(x)=g(x)q(x)，所以c(x)是码字多项式