这里我用的是 Einstein的符号:如果有一它指数重复的话就相加.因为我们 的空间是3维的,,j,k都是从1到3,那么ue;就是对j相加.所以这是3项, 即j=1,2,3,有3项.这是 Einstein在微分几何引进的符号. Einstein还做了 件事情:比方说,从前你比有它数目,个比有它指数,即x,i这它指数都写 成下标. Einstein说不写下标,他就写了上标,因此往来的微分几何的书里 头,上标非常多.坐标的这它指标都写成上标,其实,上下没有关临.所以 我用下标写成公式(43).公式(43)是基本的公式,个表示两它临近坐标的 关临,一它de跟原来的坐标e的关临.是什么呢?个是一次微分式.因 为de是一次微分式,个的值是矢上的一次微分式,所以你如果写成个的分 上的话,就有3它分上,而且每一它都是de的分上,那么山是一次微分式,因 为,j都是从1到3,所以一共有9它.但是这些不是任并的,这是几何上, 力学上最基本的一它公式.因为我们一切都是正交的临统,所以ω对于下 标,j是反对称的,即 为什么呢?因为e;e满足(e;,e)=6y,你把个微分,又因为 deltai是常数, 所以微分个之往是0,于是就能得到下面公式: (de,e;)+(e,de)=0. 由于de2=kEk,并且e,Ek是互相正交的,所以由上式就得到u+uyn=0,即 公式(4.4).对于所有的,j从1到3,,是反对称的,因此(u)看成一它3×3的 方阵.那么这它方阵是反对称的,个不是有9它元素,实际上,只有3它,并且 因为反对称,所以主(对角)线上的元素都是0,其他的对于主线是反对称的 也就是有 0 ()= 023 (4 因此只剩下3它元素,即只有12,13,23,这3它都是一次微分式.而这3它 次微分式对曲面几何性质是非常比紧的,即个们都可以由微分式来表 普通研究情数论,搞分析的时候,都是讲情数,讨论情数或者是把情数微分❨➦➲⑦④✹Einstein④♥❘: ➌✯❿✘➬➁❥➢❹④➏Ò★✜. ❖➃➲➣ ④✽✲✹3 ➅④, i, j, kÑ✹✱1t3, ￾➃ωijej Ò✹éj ★✜. ➘✶❨✹3 ✶, ýj = 1, 2, 3, ❿3✶. ❨✹Einstein ó❻■✁❬❩➓④♥❘. Einstein↕✮ê ✘●✴❁: ✞✵⑨, ✱✄✜✞❿➬❥ø, ➬✞❿➬➁❥, ýxi , i❨➬➁❥Ñ❯ ➘✆✮. Einstein⑨❳❯✆✮, ➷Ò❯êÞ✮, ❖✩⑨✉④❻■✁❬④❱➦ ❃, Þ✮✿➒õ. ✰✮④❨➬➁✮Ñ❯➘Þ✮, Ù✧, Þ✆➊❿✞ø. ➘✶, ➲⑦✆✮❯➘Ú✯(4.3). Ú✯(4.3)✹äý④Ú✯, ➬✱✰Ü➬ø↔✰✮④ ✞ø, ✘➬dei ❐➷✉④✰✮ei ④✞ø. ωij✹✤➃✑? ➬✹✘✬❻■✯. ❖ ➃dei ✹✘✬❻■✯, ➬④❾✹✪Þ④✘✬❻■✯, ➘✶✜➌✯❯➘➬④■ Þ④➏, Ò❿3➬■Þ, ✌✪➎✘➬Ñ✹dei④■Þ, ￾➃ωij✹✘✬❻■✯. ❖ ➃i, jÑ✹✱1 t3, ➘✶✘á❿9➬. ❜✹❨❏ωij ❳✹⑧❄④, ❨✹✁❬Þ, ➴➛Þ✦äý④✘➬Ú✯. ❖➃➲➣✘★Ñ✹t❜④ø✿, ➘✶ωijé➉✆ ✮i, j✹✬é➪④, ý ωij + ωji = 0. (4.4) ➃✤➃✑? ❖➃ei , ej ✇✖(ei , ej ) = δij , ✜➨➬❻■, ➅❖➃ deltaij ✹➒❥, ➘✶❻■➬❷⑨✹0➬➉✹Ò✕③t✆➪Ú✯: (dei , ej ) + (ei , dej ) = 0. (4.5) ❸➉dei = ωikek, ❄✪ei , ek✹➄★t❜④, ➘✶❸Þ✯Ò③tωij+ωji = 0, ý Ú✯(4.4). é➉➘❿④i, j✱1 t3, ωij✹✬é➪④, ❖✩(ωij ) ✗➘✘➬3×3④ ✵❥. ￾➃❨➬✵❥✹✬é➪④, ➬❳✹❿9➬➹↔, ✧✓Þ, ➄❿3➬, ❄✪ ❖➃✬é➪, ➘✶❒(é♥)✧Þ④➹↔Ñ✹0, Ù➷④é➉❒✧✹✬é➪④. ✎Ò✹❿ (ωij ) =   0 ω12 ω13 −ω12 0 ω23 −ω13 −ω23 0   . (4.6) ❖✩➄✏✆3➬➹↔, ý➄❿ω12, ω13, ω23, ❨3➬Ñ✹✘✬❻■✯. ✌❨3➬ ✘✬❻■✯é▼➪✁❬✉➓✹✿➒✞➏④, ý➬➣Ñ✱✶❸❻■✯✉✱✰. ✃✴Ï➘❁❥❳, ➫■Û④✣⑧, Ñ✹❨❁❥, ÿ❳❁❥Ý❱✹➨❁❥❻■ 3