中国科学技术大学 数学分析(B1)习题课讲义 II 工具被用于高等数学的研究中.再如“变量代换及换元”这一我们在初等数学中学习的技巧， 即使在积分及微分的处理中也经常使用，它甚至还起到了关键乃至决定性作用.这些贯穿整个 数学阶段的思想方法及工具，在不同阶段有不同的地位及用途，时而宏观，时而具化，亦或两者 兼具. 再从学习模式的角度谈起： 初等数学的教学一般都是以“简单的定义→适量的性质及推论→大量的例子→衍生 出大量课本之外的技巧及结论”的模式进行.如前所说，这些内容始终是高等数学学习及数学 研究的基本工具，在初等数学的学习阶段，必须对这些“工具”先要熟练掌握，再要灵活运用， 最后融会贯通.在绝大部分学生几乎不具备抽象思维的时候，这种如同“学工具”的学习模式 在初等数学的学习中是适用的. 高等数学的教学一般都是以“困难的定义→大量的性质及推论→适量的例子→衍生 出极少量课本之外的技巧及结论”的模式进行.高等数学里的课程本身起点很高，因此高等数 学的学习绝不能抱着“学工具”的想法，而是要文火慢炖，勤于思考和探究，最后要融入所学 课程的体系和思维方式，这是第一要义.就如数学分析这一课程，它开门见山地引入了无穷小 的概念，进而定义了极限.要想尽快适应这样的转变，就要在学习过程中深入课程，适应体系， 探明本质 为了让同学们更好地适应高等数学的学习，笔者还想谈一谈如何更好地进行初高等数学 间的衔接 (1)一定要理解无穷（包括大和小）的内涵，深究无穷性与有穷性的区别，并在无穷性中继 续深挖根源.“无穷小”是研究为何“1+1=2”成立（实数的构造）及其衍生出的内容的一个 重要手段： (2)要以工具性的观点运用初等数学，要持求知的态度探索高等数学，切忌高等数学学习 “工具化”； (3)学习高等数学不能忽视初等数学里常用的直观化和形象化的方法，他们很有可能为高 等数学中一些问题的解决提供了动机，再加上数学本身具有理科语言学的特性.因此，具备良 好的洞察力及语言逻辑能力是任何阶段的数学学习中不可或缺的一部分： (4)学习高等数学要学会探索规律，追溯本质.看似复杂的体系及问题，其关键往往归结 于核心的处理手段及思维方式，同时，在学习任何知识过程中都要具备类比、归纳、演绎以及 多维推广等数学思想方法： (⑤)学习完高等数学中的每一门课程，都应该回头思考课程的真正核心内容，明确课程主 线，理清一些重要的定理或命题的地位及用途，并探究其中的联系， 最后，祝各位USTCer在科大四年里能够治学修身，畅游数学之领域，感悟生活之乐趣 2019级数学科学学院1班宗语轩 2021年2月于杭州 有关初高等数学衔接的推荐用书： 程艺：数学基础选讲，高等教育出版社，2022，中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 II 工具被用于高等数学的研究中. 再如 “变量代换及换元” 这一我们在初等数学中学习的技巧, 即使在积分及微分的处理中也经常使用, 它甚至还起到了关键乃至决定性作用. 这些贯穿整个 数学阶段的思想方法及工具, 在不同阶段有不同的地位及用途, 时而宏观, 时而具化, 亦或两者 兼具. 再从学习模式的角度谈起: 初等数学的教学一般都是以 “简单的定义 → 适量的性质及推论 → 大量的例子 → 衍生 出大量课本之外的技巧及结论” 的模式进行. 如前所说, 这些内容始终是高等数学学习及数学 研究的基本工具, 在初等数学的学习阶段, 必须对这些 “工具” 先要熟练掌握, 再要灵活运用, 最后融会贯通. 在绝大部分学生几乎不具备抽象思维的时候, 这种如同 “ 学工具” 的学习模式 在初等数学的学习中是适用的. 高等数学的教学一般都是以 “困难的定义 → 大量的性质及推论 → 适量的例子 → 衍生 出极少量课本之外的技巧及结论” 的模式进行. 高等数学里的课程本身起点很高, 因此高等数 学的学习绝不能抱着 “ 学工具” 的想法, 而是要文火慢炖, 勤于思考和探究, 最后要融入所学 课程的体系和思维方式, 这是第一要义. 就如数学分析这一课程, 它开门见山地引入了无穷小 的概念, 进而定义了极限. 要想尽快适应这样的转变, 就要在学习过程中深入课程, 适应体系, 探明本质. 为了让同学们更好地适应高等数学的学习, 笔者还想谈一谈如何更好地进行初高等数学 间的衔接: (1) 一定要理解无穷 (包括大和小) 的内涵, 深究无穷性与有穷性的区别, 并在无穷性中继 续深挖根源. “无穷小” 是研究为何 “1 + 1 = 2” 成立 (实数的构造) 及其衍生出的内容的一个 重要手段; (2) 要以工具性的观点运用初等数学, 要持求知的态度探索高等数学, 切忌高等数学学习 “工具化”; (3) 学习高等数学不能忽视初等数学里常用的直观化和形象化的方法, 他们很有可能为高 等数学中一些问题的解决提供了动机, 再加上数学本身具有理科语言学的特性. 因此, 具备良 好的洞察力及语言逻辑能力是任何阶段的数学学习中不可或缺的一部分; (4) 学习高等数学要学会探索规律, 追溯本质. 看似复杂的体系及问题, 其关键往往归结 于核心的处理手段及思维方式, 同时, 在学习任何知识过程中都要具备类比、归纳、演绎以及 多维推广等数学思想方法; (5) 学习完高等数学中的每一门课程, 都应该回头思考课程的真正核心内容, 明确课程主 线, 理清一些重要的定理或命题的地位及用途, 并探究其中的联系. 最后, 祝各位 USTCer 在科大四年里能够治学修身, 畅游数学之领域, 感悟生活之乐趣. 2019 级 数学科学学院 1 班 宗语轩 2021 年 2 月于杭州 有关初高等数学衔接的推荐用书: 程艺: 数学基础选讲, 高等教育出版社, 2022