中国科学技术大学 数学分析(B1)习题课讲义 I 序 从“1+1=2”谈起 一高等数学2与初等数学的区别，联系与衔接 “1+1=2”是我们接触数学的起点，但老师们几乎都是通过数数或是举具象的例子这样 直观的方式来告诉我们什么是“1+1=2”，而没有深入讲解加法的定义.我们对几何图形的 了解，亦是通过直观感受图形，以及学习老师们所列举的性质、结论，而没有探究其背后的几 何原理.至于有理数和无理数，数学教材带给我们的也仅仅是它们的存在性，并没有探究两者 间的联系，甚至有很多老师都没有阐明有理数和无理数本质的区别（例如，很多学生并不了解 任何有理数都能表示成P,(口，q)=1的形式).初等数学里这些直观上“显然”的内容却恰恰 是学生踏入高等数学的大门后所需要细究的.很多同学对这一转变无法适应，这导致他们在学 习第一门核心基础课程一数学分析时就开始掉队. 当然，笔者列举这些事实并不是要否定初等数学.相反，在初等数学教育阶段，绝大部分 学生对数学的认知能力非常有限，他们很难绕开形象来接触抽象.因此，在这样的起步阶段， 是需要通过这样直观的方式去引导学生学习数学的.较之于高等数学，初等数学所学习的内容 就好比练武中蹲马步、打沙袋、举石锁的过程.如果急功近利，过早地去练复杂的招式，那么 马脚就会逐渐败露，最后很可能一事无成.对此，笔者觉得很有必要从多个角度谈谈高等数学 和初等数学的区别与联系，以及如何完成这二者的衔接 我们先从定义本身讲起： 初等数学：以“1+1=2”为既定事实建立的数学体系.通俗而言，就是更加直观，更强调 数学的工具性。 高等数学：研究何为“1+1=2”及其衍生出的一系列数学内容.较之初等数学更加抽象， 更重视数学的本原性 初等数学直接承认了很多直观上成立的命题.例如，初等函数连续性是可以直接使用的， 其衍生出的各类性质也被视为“显而易见”.而高等数学正是去研究这些在初等数学体系中视 为“直观上成立”的定义及性质，很多定义还被作为起点来构建出新的体系.例如，把“1+1= 2”作为抽象代数课程的起点，以此来引申出“群环域”的概念；在函数连续性、可导性、可积 性的定义中，引入“无穷小”这一工具，亦是为了真正区分直观上的两个“1”，把“1+1=2”真 正抽丝剥茧.同时，在新的体系下，又衍生出新的定义、性质及结论.这些新的定义、性质及结 论相比初等数学而言，不失直观却更为本原 同时，初等数学中的内容或多或少都会被运用到高等数学中去.因为抽象的探索，脱不开 直观的想象；本原的洞察，少不了工具的驾驭.就如初等数学中直观化和形象化的方法，亦作为 1本文发表于中国科大数院学生会主编的《薪火相传》(2021版)，略有删改 2这里的高等数学是广义的，中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 I 序 从 “1 + 1 = 2” 谈起1 ——高等数学2 与初等数学的区别, 联系与衔接 “1 + 1 = 2” 是我们接触数学的起点, 但老师们几乎都是通过数数或是举具象的例子这样 直观的方式来告诉我们什么是 “1 + 1 = 2”, 而没有深入讲解加法的定义. 我们对几何图形的 了解, 亦是通过直观感受图形, 以及学习老师们所列举的性质、结论, 而没有探究其背后的几 何原理. 至于有理数和无理数, 数学教材带给我们的也仅仅是它们的存在性, 并没有探究两者 间的联系, 甚至有很多老师都没有阐明有理数和无理数本质的区别 (例如, 很多学生并不了解 任何有理数都能表示成 p q , (p, q) = 1 的形式). 初等数学里这些直观上 “ 显然” 的内容却恰恰 是学生踏入高等数学的大门后所需要细究的. 很多同学对这一转变无法适应, 这导致他们在学 习第一门核心基础课程——数学分析时就开始掉队. 当然, 笔者列举这些事实并不是要否定初等数学. 相反, 在初等数学教育阶段, 绝大部分 学生对数学的认知能力非常有限, 他们很难绕开形象来接触抽象. 因此, 在这样的起步阶段, 是需要通过这样直观的方式去引导学生学习数学的. 较之于高等数学, 初等数学所学习的内容 就好比练武中蹲马步、打沙袋、举石锁的过程. 如果急功近利, 过早地去练复杂的招式, 那么 马脚就会逐渐败露, 最后很可能一事无成. 对此, 笔者觉得很有必要从多个角度谈谈高等数学 和初等数学的区别与联系, 以及如何完成这二者的衔接. 我们先从定义本身讲起: 初等数学: 以 “1 + 1 = 2” 为既定事实建立的数学体系. 通俗而言, 就是更加直观, 更强调 数学的工具性. 高等数学: 研究何为 “1 + 1 = 2” 及其衍生出的一系列数学内容. 较之初等数学更加抽象, 更重视数学的本原性. 初等数学直接承认了很多直观上成立的命题. 例如, 初等函数连续性是可以直接使用的, 其衍生出的各类性质也被视为 “显而易见”. 而高等数学正是去研究这些在初等数学体系中视 为 “ 直观上成立” 的定义及性质, 很多定义还被作为起点来构建出新的体系. 例如, 把 “1+1 = 2” 作为抽象代数课程的起点, 以此来引申出 “ 群环域” 的概念; 在函数连续性、可导性、可积 性的定义中, 引入 “无穷小” 这一工具, 亦是为了真正区分直观上的两个 “1”, 把 “1 + 1 = 2” 真 正抽丝剥茧. 同时, 在新的体系下, 又衍生出新的定义、性质及结论. 这些新的定义、性质及结 论相比初等数学而言, 不失直观却更为本原. 同时, 初等数学中的内容或多或少都会被运用到高等数学中去. 因为抽象的探索, 脱不开 直观的想象; 本原的洞察, 少不了工具的驾驭. 就如初等数学中直观化和形象化的方法, 亦作为 1本文发表于中国科大数院学生会主编的《薪火相传》(2021 版), 略有删改. 2这里的高等数学是广义的