其中ux≡Ou/x,uy≡Ou/oy 对于更多个自变量的多元函数,也可以有类似的定义 例31.1如图31.1所示,在重力作用下,一个质点从(xo,o)点沿平面曲线y(x)无摩擦地自 由下滑到(x1,)点,则所需要的时间 (x0,o)√29(90-3) 2a(00-u) 就是y(x)的泛函.这里,要求变量函数y(x)一定通过端点(x03)和(x1,y1).(此问题最早由 Galileo galilei提出) 例31.2弦的横振动问题.设在弦上隔离出足够短的一段弦,则该段弦的 动能=5△x/2)2 ot 势能=T△r(m ar 其中u(x,t)是弦的横向位移,ρ是弦的线密度,T是张力.这样,弦的 Hamilton作用量 2四八(就 也是位移u(x,t)的泛函 Ir/du 称为 Lagrange量 Lagrangian),而被积函数 称为 Lagrange量密度Wu Chong-shi §31.1 ø ù ú û ü ✡ 2 ☛ ❘ è ux ≡ ∂u/∂x, uy ≡ ∂u/∂y ✲ ●❪ýä✫ ✮ ✯✰✱ä÷✜✬✢❨✶✩❉þÿ✱✿❀✲ ￾ 31.1 ✁ 31.1 õ✂ 31.1 ✻✄✢ ❁☎✆✝í✞✢ ❇✫✟✠✡ (x0, y0) ✠☛▲▼ P◗ y(x) ☞✌✍✥ ✮ ✎ ✞✏✑ (x1, y1) ✠ ✢ ➉ ✻✒ ➐✱✓❄ T = Z (x1,y1) (x0,y0) ds p 2g(y0 − y) = Z x1 x0 p 1 + y 02 p 2g(y0 − y) dx ✧★ y(x) ✱ ✛✜✲✳➊✢ ➐➑✯✰✜✬ y(x) ❇✿➌✔✕✠ (x0, y0) ❵ (x1, y1) ✲ (✖ ✗✘✙✚ ✛ Galileo Galilei ✜ ♠ ) ✁ 31.2 ✢ ✱✣✤✥✦✧✲❑❁ ✢◆★✩✪➓✫✬✱❇✭ ✢✢ ➉✮✭ ✢ ✱ ✥✯ = 1 2 ρ∆x  ∂u ∂t 2 , ✰ ✯ = 1 2 T ∆x  ∂u ∂x2 , ❘ è u(x, t) ★ ✢ ✱✣ ✱✲✳✢ ρ ★ ✢ ✱◗✴ ❚✢ T ★✵✆✲ ✳➡✢✢ ✱ Hamilton ✝ í ✰ S = Z t1 t0 dt Z x1 x0 1 2 h ρ  ∂u ∂t 2 − T  ∂u ∂x2 i dx ❨ ★✲✳ u(x, t) ✱ ✛✜✲ L = Z x1 x0 1 2 h ρ  ∂u ∂t 2 − T  ∂u ∂x2 i dx ■✭ Lagrange ✰ (Lagrangian) ✢❫✶î✜✬ 1 2 h ρ  ∂u ∂t 2 − T  ∂u ∂x2 i ■✭ Lagrange ✰✴ ❚✲