第三十一讲变分法初步 第3页 §31.2泛函的极值 何谓泛函极值? ·泛函取极值的必要条件 ·先回忆一下有关函数极值的概念 所谓函数f(x)在r0点取极小值,是指当x在xo点及其附近|x-ro<ε时,恒有 ∫(x)≥f(x0); 而如果恒有 f(x)≤f(x0), 则称函数f(x)在x0点取极大值 函数f(x)在x0点取极值(极小或极大)的必要条件是在该点的导数为0 f(co)=0 ·可以用同样的方法定义泛函的极值 当变量函数为y(x)时,泛函J回取极小值”的含义就是:对于极值函数y(x)及其“附近” 的变量函数y(x)+8y(x),恒有 Jy+y≥Jyl 所谓函数y(x)+6y(x)在另一个函数y(x)的“附近”,指的是: 1.|y(x)<; 2.有时还要求|6y)(x)< 这里的8y(x)称为函数y(x)的变分 ·可以仿照函数极值必要条件的导出办法,导出泛函取极值的必要条件 不妨不失普遍性地假定,所考虑的变量函数均通过固定的两个端点 x0)=a y(x1)=b, 考虑泛函的差值 F(,y+8y,y+(5y))-F(a,y,y' 当函数的变分8y(x)足够小时,可以将被积函数在极值函数附近作 Taylor展开,于是,有 Jy+8y]-JlyI {py7+7+ Syo+(8y FWu Chong-shi ￾✁✂✄☎ ✆ ✝ ✞ ✟ ✠ ✡ 3 ☛ §31.2 ✖ ✗ ✘ ✷ ✸ • ✹✼✛✜✺❈ ✻ • ✛✜➢ ✺❈ ✱✼➐➣↔ ✻ • ✽ ✾✿❇ ✞ ❉ ❜✜✬✺❈ ✱✴✵✲ ✻✼✜✬ f(x) ❁ x0 ✠➢ ✺❀❈✢★✽❁ x ❁ x0 ✠❂❘❃❄ |x − x0| < ε ✓ ✢❅ ❉ f(x) ≥ f(x0); ❫ õö❅ ❉ f(x) ≤ f(x0), ➉ ■✜✬ f(x) ❁ x0 ✠➢ ✺❆❈✲ ✜✬ f(x) ❁ x0 ✠➢ ✺❈ (✺❀❇✺❆) ✱✼➐➣↔★❁✮✠✱➠✬✭ 0 ✢ f 0 (x0) = 0. • ✶✩ í❳➡✱❈❉✿❀✛✜✱ ✺❈✲ ❊❁✯✰✜✬✭ y(x) ✓ ✢✛✜ J[y] ➢ ✺❀❈❋ ✱➏❀✧★● ●❪✺❈✜✬ y(x) ❂ ❘ ❊ ❃❄❋ ✱✯✰✜✬ y(x) + δy(x) ✢❅ ❉ J[y + δy] ≥ J[y]. ✻✼✜✬ y(x) + δy(x) ❁➈❇✫✜✬ y(x) ✱ ❊ ❃❄❋✢ ✽✱★● 1. |δy(x)| < ε ➘ 2. ❉✓❍➐➑ |(δy) 0 (x)| < ε ✲ ✳➊✱ δy(x) ■✭✜✬ y(x) ✱ ■❏ ✲ • ✶✩❑▲✜✬✺❈ ✼➐➣↔✱➠✪▼❉ ✢ ➠ ✪✛✜➢ ✺❈ ✱✼➐➣↔✲ ❲◆❲❖P◗❘✥❙✿ ✢✻❚❯✱✯✰✜✬❱ ➌✔ ❲✿✱❳✫✕✠ y(x0) = a, y(x1) = b, ❩ δy(x0) = 0, δy(x1) = 0. ❚❯✛✜✱❨ ❈ J[y + δy] − J[y] = Z x1 x0 h F (x, y + δy, y0 + (δy) 0 ) − F(x, y, y0 ) i dx, ❁ ✜✬✱✯ï δy(x) ➓✫❀✓ ✢ ✶✩❩ ✶î✜✬❁ ✺❈✜✬❃❄✝ Taylor ❬❭✢❪★ ✢ ❉ J[y + δy] − J[y] = Z x1 x0 h δy ∂ ∂y + (δy) 0 ∂ ∂y0 i F + 1 2! h δy ∂ ∂y + (δy) 0 ∂ ∂y0 i2 F + · · ·  dx