第4页 5+a62J+ 其中 6J[列≡ / dy ay' 0 +(6y)y y20)2+2aF i raF 分别是泛函J的一级变分和二级变分这样就得到:泛函J取极小值的必要条件是泛函的 级变分为0 F OF 6J(≡ 广y +(by) 将上式积分中的第二项分部积分,同时代入边界条件,就有 g dr oy' d aF sydr 0. 由于Sy的任意性,就可以得到 oF d OF dy dr ay 这个方程称为 Euler- Lagrange方程,它是泛函J取极小值的必要条件的微分形式.一般说来, 这是一个二阶常微分方程 对于泛函J取极大值的情形,也可以类似地讨论,并且也会得到同样形式的必要条 在导出 Euler- Lagrange方程时,实际上用到了变分法的一个重要的基本引理: 设叭a)是x的连续函数,m)具有连续的士阶导数,且m()=xn=mx)=n,=0,若 对于任意n(x) p(r)n(r)dz=0 均成立,则必有叭(x)≡0 例313设质点在有势力场中沿路径q=q(t)由to,q(to)点运动到t1,q(t1)点,它的 Hamilton 作用量是 L(t, g, i) dt 其中q和q是描写质点运动的广义坐标和广义动量,L V是动能T和势能V之差,称为 量Wu Chong-shi §31.2 ø ù ú ❪ ❫ ✡ 4 ☛ = δJ[y] + 1 2!δ 2J[y] + · · · , ❘ è δJ[y] ≡ Z x1 x0 h ∂F ∂y δy + ∂F ∂y0 (δy) 0 i dx, δ 2J[y] ≡ Z x1 x0 h δy ∂ ∂y + (δy) 0 ∂ ∂y0 i2 Fdx = Z x1 x0 h ∂ 2F ∂y2 (δy) 2 + 2 ∂ 2F ∂y∂y0 δy(δy) 0 + ∂ 2F ∂y02 (δy) 02 i dx ï❴ ★ ✛✜ J[y] ✱❇❵✯ ï❵➞❵✯ ï✲✳➡✧❛ ✑ ● ➤➥ J[y] ❜❝❞❡➫❢❣❤✐➦➤➥➫❥ ❦■❏❧ 0 ✢ δJ[y] ≡ Z x1 x0 h δy ∂F ∂y + (δy) 0 ∂F ∂y0 i dx = 0. ❩ ◆ ã îï è✱♠➞♥ ï♦îï✢❳✓♣q➔→➣↔✢ ✧❉ δJ[y] = ∂F ∂y0 δy     x1 x0 + Z x1 x0 h δy ∂F ∂y − δy d dx ∂F ∂y0 i dx = Z x1 x0 h ∂F ∂y − d dx ∂F ∂y0 i δy dx = 0. ✎ ❪ δy ✱❆➇❘✢ ✧✶✩❛ ✑ ∂F ∂y − d dx ∂F ∂y0 = 0. ✳✫❈r■✭ Euler–Lagrange ❈r✢ ð★✛✜ J[y] ➢ ✺❀❈ ✱✼➐➣↔✱s ï âã✲ ❇t✦✉ ✢ ✳★❇✫➞➟➍s ï ❈r✲ ➲➳➁➂ J[y] ✈✇①➽ ❢②③✢❼❥ ❦❞❡④⑤⑥✢⑦⑧❼⑨ÏÐ Ó⑩ ③❶❢ ➬❷❸ ❹ ✲ ❁➠✪ Euler–Lagrange ❈r✓✢❺❻◆í✑❼✯ ï ❉✱❇✫☎➐✱❽æ❾❿● ❑ φ(x) ★ x ✱➜➝✜✬✢ η(x) ➛❉➜➝✱➞➟➠✬✢➙ η(x)   x=x0 = η(x)   x=x1 = 0 ✢ ➀ ●❪❆➇ η(x) ✢ Z x1 x0 φ(x) η(x) dx = 0 ❱ ✸➁ ✢ ➉✼❉ φ(x) ≡ 0 ✲ ✁ 31.3 ❑ ✟✠❁❉✰ ✆➂ è☛➃➄ q = q(t) ✎ t0, q(t0) ✠➅✥✑ t1, q(t1) ✠ ✢ ð✱ Hamilton ✝ í ✰★ S = Z t1 t0 L(t, q, q˙) dt ❘ è q ❵ q˙ ★➆➇✟✠➅✥✱✺❀➈➉❵ ✺❀✥✰ ✢ L = T − V ★✥✯ T ❵✰ ✯ V ❋ ❨ ✢■✭ Lagrange ✰ ✲