第二届中国大学生数学竞赛预赛试卷 参考答案及评分标准 (非数学类,2010) (本题共5小题,每小题5分,共25分)、计算下列各题(要求写出重要步骤). 1)设x=(1+a)(1+a2)…(1+a2),其中ak1,求lmxn 解将x。恒等变形 xn=(1-a)1+a)(1+a2)…(1+a2),=(1-a2)(1+a2)…(1+a2) (1-a)(1+a)…(1+a2) 由于ak1,可知ima=0,从而 (2)求1ime1+ 解lime1 =exp lim In 1+--1xFexpl lim x xInI x→① exp lim x (3)设>0,求,=exd(n=12…) 解因为S>0时, lim e- x"=0,所以 cdx S 由此得到,ln=-1n1=第二届中国大学生数学竞赛预赛试卷 参考答案及评分标准 （非数学类，2010） 一（本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）、计算下列各题（要求写出重要步骤）. (1) 设 2 (1 ) (1 ) (1 ) n n 2 x = + ⋅+ + aa a " ，其中 |a| < 1，求 . n n x ∞→ lim 解    将 n x 恒等变形 2 2 1 (1 )(1 ) (1 ) (1 )1 n n x aa a a a = − + ⋅+ + − " 22 2 1 (1 ) (1 ) (1 )1 n aa a a = − ⋅+ + − "          44 2 1 (1 ) (1 ) (1 )1 n aa a a = − ⋅+ + − " 1 2 1 1 n a a + − = − ， 由于 |a| < 1，可知 2 lim 0 n n a →∞ = ，从而                             a xn n − = ∞→ 1 1 lim .      (2) 求 lim x x x e x − →∞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ 2 1 1 .       解    lim x x x e x − →∞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ 2 1 1 = 1 1 lim 1 x x x e x − →∞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ + ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦          = 1 exp lim ln 1 1 x x x →∞ x ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎢ ⎜ ⎟ + − ⎥ ⎝ ⎠ ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦ = 1 exp lim ln 1 1 x x x →∞ x ⎛ ⎞ ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + − ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦          = 2 2 11 1 exp lim ( ) 1 x 2 x x xx x ο →∞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −+ − ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ = 2 1 − e . (3) 设s > 0 ，求 0 sx n n I e x dx +∞ − = ∫ ( 1, 2, n = ") . 解    因为s > 0 时， lim 0 sx n x e x − →+∞ = ，所以， 1 0 0 0 1 1 n sx n sx sx n n n n I x de x e e dx I s s +∞ +∞ +∞ − −− s − ⎡ ⎤ = − =− − = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ 由此得到， 1 20 1 1 ! n n n n n n nn n n II I I s ss s s − − ! + − = =⋅ = = = " 1